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圆解答题

发布时间:2014-01-18 17:10:02  

17.解答题

1.(天津8分)已知AB与⊙O相切于点C,OA=OB.OA、OB与⊙O分别交于点D、E.

(I) 如图①,若⊙O的直径为8,AB=10,求OA的长(结果保留根号);

(Ⅱ)如图②,连接CD、CE,若四边形ODCE为菱形.求OD的值.

OA

【答案】解:(I) 如图①,连接OC,则OC=4。

∵AB与⊙O相切于点C,∴OC⊥AB。

∴在△OAB中,由OA=OB,AB=10得

1AC?AB?5。 2

∴ 在△RtOAB

中,OA?

(Ⅱ)如图②,连接OC,则OC=OD。

∵四边形ODCE为菱形,∴OD=DC。

∴△ODC为等边三角形。∴∠AOC=600。

1OC1OD1 ∴∠A=300。∴OC?OA ?, 即?。 2OA2OA2

【考点】线段垂直平分线的判定和性质,勾股定理,等边三角形的

判定和性质,300角直角三角形的性质。

【分析】(I) 要求OA的长,就要把它放到一个直角三角形内,故作辅助线OC,由AB与⊙O相切于点C可知OC是AB的垂直平分线,从而应用勾股定理可求OA的长。

1

(Ⅱ)由四边形ODCE为菱形可得△ODC为等边三角形,从而得300角的直角三角形OAC,根据300角所对的边是斜边的一半的性质得到所求。

2.(河北省10分)如图1至图4中,两平行线AB、CD间的距离均为6,点M为AB上一定点.

思考

如图1,圆心为0的半圆形纸片在AB,CD之间(包括AB,CD),其直径MN在AB上,MN=8,点P为半圆上一点,设∠MOP=α.

当α= ▲ 度时,点P到CD的距离最小,最小值为 ▲ .

探究一

在图1的基础上,以点M为旋转中心,在AB,CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片,直到不能再转动为止,如图2,得到最大旋转角∠BMO= ▲ 度,此时点N到CD的距离是 ▲ .

探究二

将如图1中的扇形纸片NOP按下面对α的要求剪掉,使扇形纸片MOP绕点M在AB,CD之间顺时针旋转.

(1)如图3,当α=60°时,求在旋转过程中,点P到CD的最小距离,并请指出旋转角∠BMO的最大值;

(2)如图4,在扇形纸片MOP旋转过程中,要保证点P能落在直线CD上,请确定α的取值范围.

(参考数椐:sin49°=错误!未找到引用源。,cos41°=错误!未找到引用源。,tan37°=错误!未找到引用源。.)

2

【答案】解:思考:90,2。

探究一:30,2。

探究二(1)当PM⊥AB时,点P到AB的最大距离是

MP=OM=4,

从而点P到CD的最小距离为6﹣4=2。

当扇形MOP在AB,CD之间旋转到不能再转时,弧

MP与AB相切,

此时旋转角最大,∠BMO的最大值为90°。

(2)如图4,由探究一可知,

点P是弧MP与CD的切线时,α大到最大,即OP⊥CD, 此时延长PO交AB于点H,

α最大值为∠OMH+∠OHM=30°+90°=120°,

如图5,当点P在CD上且与AB距离最小时,MP⊥CD,α达到最小, 连接MP,作HO⊥MP于点H,由垂径定理,得出MH=3。

3

在Rt△MOH中,MO=4,∴sin∠MOH=

源。。∴∠MOH=49°。

∵α=2∠MOH,∴α最小为98°。

∴α的取值范围为:98°≤α≤120°。 MH3?错误!未找到引用OM4

【考点】直线与圆的位置关系,点到直线的距离,平行线之间的距离,切线的性质,旋转的性质,解直角三角形。

【分析】思考:根据两平行线之间垂线段最短,直接得出答案,当α=90度时,点P到CD的距离最小,

∵MN=8,∴OP=4,∴点P到CD的距离最小值为:6﹣4=2。

探究一:∵以点M为旋转中心,在AB,CD 之间顺时针

旋转该半圆形纸片,直到不能再转动为止,如图2,

∵MN=8,MO=4,NQ=4,∴最大旋转角∠BMO=30度,

点N到CD的距离是 2。

探究二:(1)由已知得出M与P的距离为4,PM⊥AB时,点MP到AB的最大距离是4,从而点P到CD的最小距离为6﹣4=2,即可得出∠BMO的最大值。

(2)分别求出α最大值为∠OMH+∠OHM=30°+90°以及最小值α=2∠MOH,即可得出α的取值范围。

3.(内蒙古呼和浩特8分)如图所示,AC为⊙O的直径且PA⊥AC,BC是⊙O的一条弦,直线PB交直线AC于点D,错误!未找到引用源。.

(1)求证:直线PB是⊙O的切线;

(2)求cos∠BCA的值.

【答案】(1)证明:连接OB、OP

4

∵DBDC2??且∠D=∠D,∴ DPDO3

△BDC∽△PDO。

∴∠DBC=∠DPO。∴BC∥OP。

∴∠BCO=∠POA ,∠CBO=∠BOP。

∵OB=OC,∴∠OCB=∠CBO。∴∠BOP=∠POA。

又∵OB=OA, OP=OP, ∴△BOP≌△AOP(SAS)。

∴∠PBO=∠PAO。又∵PA⊥AC, ∴∠PBO=90°。

∴ 直线PB是⊙O的切线 。

(2)由(1)知∠BCO=∠POA。

设PB?a,则BD=2a,

又∵PA=PB?a,∴

AD=。

又∵ BC∥OP ,∴

∴OP 1DC?

2。∴DC?CA???

。∴OA 。

CO2∴cos∠BCA=cos∠

。 【考点】切线的判定和性质,平行的判定和性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数的定义,勾股定理,切线长定理。

【分析】(1)连接OB、OP,由错误!未找到引用源。,且∠D=∠D,根据三角形相似的判定得到△BDC∽△PDO,可得到BC∥OP,易证得△BOP≌△AOP,则∠PBO=∠PAO=90°。

(2)设PB?a,则BD=2a,根据切线长定理得到PA=PB?a,根据勾股定理

1得到

AD=,又BC∥OP,得到DC=2CO

,得到DC?CA???

,则2

5

OA,利用勾股定理求出OP,然后根据余弦函数的定义即可求出cos∠BCA=cos∠POA的值。

4.(内蒙古巴彦淖尔、赤峰12分)如图,等圆⊙O1 和⊙O2 相交于A,B两

点,⊙O2 经过⊙O1 的圆心O1,两圆的连心线交⊙O1于点M,交AB于点N,

连接BM,已知AB=23。

(1) 求证:BM是⊙O2的切线;

(2)求 AM ⌒ 的长。

【答案】解(1)证明:连结O2B,

∵MO2是⊙O1的直径,∴∠MBO2=90°。

∴BM是⊙O2的切线。

(2)∵O1B=O2B=O1O2,∴∠O1O2B=60°。

BN=2。 sin?O1O2B

∵AB=23,∴BN=3,∴O2B?

120π×24π∴AM= ⌒BM= ⌒。 1803

【考点】切线的判定和性质,相交两圆的性质,锐角三角函数,特殊角的三角函数值,弧长的计算。

【分析】(1)连接O2B,由MO2是⊙O1的直径,得出∠MBO2=90°从而得出结论:BM是⊙O2的切线。

(2)根据O1B=O2B=O1O2,则∠O1O2B=60°,再由已知得出BN与O2B,从而计算出弧AM的长度。

5.(内蒙古包头12分)如图,已知∠ABC=90°,AB=BC.直线l与以BC为直径的圆O相切于点C.点F是圆O上异于B、C的动点,直线BF与l相交于点E,过点F作AF的垂线交直线BC与点D.

6

(1)如果BE=15,CE=9,求EF的长;

(2)证明:①△CDF∽△BAF;②CD=CE;

(3)探求动点F在什么位置时,相应的点D位于线段BC的延长线上,且使BC=错误!未找到引用源。CD,请说明你的理由.

【答案】解:(1)∵直线l与以BC为直径的圆O相切于点C,

∴∠BCE=90°,

又∵BC为直径,∴∠BFC=∠CFE=90°。∴∠CFE=∠BCE。

∵∠FEC=∠CEB,∴△CEF∽△BEC。∴CEEF错误!未找到引用源。。 ?BEEC

∵BE=15,CE=9,即:9EF27,解得:EF=。 ?1595

(2)证明:①∵∠FCD+∠FBC=90°,∠ABF+∠FBC=90°,

∴∠ABF=∠FCD。

同理:∠AFB=∠CFD。∴△CDF∽△BAF。

②∵△CDF∽△BAF,∴CFCD错误!未找到引用源。。 ?BFBA

又∵△CEF∽△BCF,∴

∴CFCE错误!未找到引用源。。?BFBCCDCE错误!未找到引用源。。 ?BABC

又∵AB=BC,∴CE=CD。

??2BC?时,相应的点(3)当F在⊙O的下半圆上,且BF3

D位于线段BC的延长线上,且使BC=错误!未找到引用源。CD。理由如下:

∵CE=CD,∴BC=错误!未找到引用源。CD=错误!未找到引用源。CE。 在Rt△BCE中,tan∠

CBE=CE?错误!未找到引用源。,

BC7

∴∠CBE=30°,∴错误!未找到引用源。所对圆心角为60°。

??2BC?。 ∴F在⊙O的下半圆上,且BF3

【考点】相似三角形的判定和性质,勾股定理,圆周角定理,切线的性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。

【分析】(1)由直线l与以BC为直径的圆O相切于点C,即可得∠BCE=90°,

∠BFC=∠CFE=90°,则可证得△CEF∽△BEC,然后根据相似三角形的对应边成比例,即可求得EF的长。

(2)①由∠FCD+∠FBC=90°,∠ABF+∠FBC=90°,根据同角的余角相等,即可得∠ABF=∠FCD,同理可得∠AFB=∠CFD,则可证得△CDF∽△BAF。

②由△CDF∽△BAF与△CEF∽△BCF,根据相似三角形的对应边成比例,

易证得错误!未找到引用源。,又由AB=BC,即可证得CD=CE。

(3)由CE=CD,可得BC=错误!未找到引用源。CD=错误!未找到引用源。CE,然后在Rt△BCE中,求得tan∠CBE的值,即可求得∠CBE的度数,则可得F在

??2BC?。 ⊙O的下半圆上,且BF3

6.(内蒙古乌兰察布10分)如图,在 Rt△ABC中,∠ACB=900D是AB 边

上的一点,以BD为直径的 ⊙0与边 AC 相切于点E,连结DE并延长,

与BC的延长线交于点 F .

( 1 )求证: BD = BF ;

( 2 )若 BC = 12 , AD = 8 ,求 BF 的长.

【答案】解:(1)证明:连结OE,

∵OD=OE,∴∠ODE=∠OED。

∵⊙O与边 AC 相切于点E,

∴OE⊥AE。∴∠OEA=90°。

8

∵∠ACB=90°,∴∠OEA=∠ACB。∴OE∥BC。∴∠F=∠OED。

∴∠ODE=∠F。∴BD=BF。

(2)过D作DG⊥AC于G,连结BE,

∴∠DGC=∠ECF,DG∥BC。

∵BD为直径,∴∠BED=90°。

∵BD=BF,∴DE=EF。

在△DEG和△FEC中,

∵∠DGC=∠ECF,∠DEG=∠FEC,DE=EF,∴△DEG≌△FEC

(AAS)。∴DG=CF。

∵DG∥BC,∴△ADG∽△ABC。∴ADDG。 ?ABBC

(舍去)。 8CF,∴CF2?20CF?96?0,∴CF?4或CF??24?8?12?CF12

∴BF=BC+CF=12+4=16。

【考点】等腰三角形判定和性质,圆切线的性质,平行的判定和性质,圆周角定理,对顶角的性质,全等三角形判定和性质,相似三角形判定和性质。

【分析】(1)连接OE,易证OE∥BC,根据等边对等角即可证得∠ODE=∠F,则根据等角对等边即可求证。

(2)易证△AOE∽△ABC,根据相似三角形的对应边的比相等即可证得圆的半径,即可求解。

(宁夏回族自治区)如图,在两个半圆中,大圆的弦MN与小圆相切,D为切点,且MN∥AB,MN=a,ON、CD分别为两圆的半径,求阴影部分的面积.

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(四川省)已知,如图,以△ABC的边AB作直径的⊙O,分别并AC、BC于点D、E,弦FG∥AB,S△CDE︰S△ABC=1︰4,DE=5cm,FG=8cm,求梯形AFGB的面

积.

(贵阳市)如图所示:PA为⊙O的切线,A为切点,PBC是过点O的割线, PA=10,PB=5,求:

(1)⊙O的面积(注:用含π的式子表示);

(2)cos∠BAP的值.

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