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圆的知识

发布时间:2014-01-18 17:10:05  

清大教育

知识点:

一、圆

1、圆的有关性质

在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的图形叫圆,固定的端点O叫圆心,线段OA叫半径。

由圆的意义可知:

圆上各点到定点(圆心O)的距离等于定长的点都在圆上。

就是说:圆是到定点的距离等于定长的点的集合,圆的内部可以看作是到圆。心的距离小于半径的点的集合。

圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。连结圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点间的部分叫圆弧,简称弧。

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫半圆,大于半圆的弧叫优弧;小于半圆的弧叫劣弧。由弦及其所对的弧组成的圆形叫弓形。

圆心相同,半径不相等的两个圆叫同心圆。

能够重合的两个圆叫等圆。

同圆或等圆的半径相等。

在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫等弧。

二、过三点的圆

l、过三点的圆

过三点的圆的作法:利用中垂线找圆心

定理不在同一直线上的三个点确定一个圆。

经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆,外接圆的圆心叫外心,这个三角形叫圆的内接三角形。

2、反证法

反证法的三个步骤:

①假设命题的结论不成立;

②从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾;

③由矛盾得出假设不正确,从而肯定命题的结论正确。

例如:求证三角形中最多只有一个角是钝角。

证明:设有两个以上是钝角

则两个钝角之和>180°

与三角形内角和等于180°矛盾。

∴不可能有二个以上是钝角。

即最多只能有一个是钝角。

三、垂直于弦的直径

圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。

推理1:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对两条弧。

弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。

平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一个条弧。

推理2:圆两条平行弦所夹的弧相等。

四、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

实际上,圆绕圆心旋转任意一个角度,都能够与原来的图形重合。

顶点是圆心的角叫圆心角,从圆心到弦的距离叫弦心距。

定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦心距相等。

推理:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

五、圆周角

顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角。

推理1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。 推理2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。 推理3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 由于以上的定理、推理,所添加辅助线往往是添加能构成直径上的圆周角的辅助线。

六、圆的内接四边形

多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫圆内接多边形,这个圆叫这个多边形的外接圆

定理:圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角。 例如图6—1,连EF后,可得:

∠DEF=∠B

∠DEF+∠A=180°

∴∠A+∠B=18ry

∴BC∥DA

七、直线和圆的位置关系

1、直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫圆的割线

直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫圆的切线,唯一的公共点叫切点。

直线和圆没有公共点时,叫直线和圆相离。

2、若圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则:

直线和圆相交?d<r;直线和圆相切?d=r;直线和圆相离?d>r;直线和圆相交?d<r

例如:图6-2中,直线与圆O相割,有:

r>d

图6-3中,直线与圆O相切,r=d

图6-4中,直线与圆O相离,r<d

八、切线的判定和性质

切线的判定:经过半径的外端并且垂直于

这条半径的直线是圆的切线。

切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径

推理1:经过圆心且垂直干切线的直线必经过切点。

推理2:经过切点且垂直于切线的直线必经过

圆心。

例如图6-5中,O为圆心,AC是切线,

D

为切点。

∠B=90°

则有BC是切线

OD是半径

OD⊥AC

九、三角形的内切圆

要求会作图,使它和己知三角形的各边都相切

∵分角线上的点到角的两边距离相等。

∴两条分角线的交点就是圆心。

这样作出的圆是三角形的内切圆,其圆心叫内心,三角形叫圆的外切三角形。 和多边形各边都相切的圆叫多边形的内切圆,多边形叫圆的外切多边形。

十、切线长定理

经过圆外一点可作圆的两条切线。在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长,叫这点到圆的切线长。

切线长定理从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等。圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角,如图6-6

B、C为切点,O为圆心。

AB=AC,∠1=∠2

十一、弦切角

顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫

弦切角。

弦切角定理弦切角等于它所央的弧对的圆周角。

推理如果两个弦切角所央的弧相等,那么这两个弦切角也相等。

例如图6-7,AB为切线,

则有:∠C=∠BAE,∠BAE=∠D

∴∠C=∠D

十二、和圆有关的比例线段

相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。

推理:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。 切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

推理:从圆外一点引两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等,如图6-8,若F为切点

则有:AF2=AH·AC,AG·AB=AF2

EM·MD=BM·MG

CN·NH=DN·NE

十三、圆和圆的位置关系如图6-9

若连心线长为d,两圆的半径分别为

R,r,则:

1、两圆外离?d >R+r;

2、两圆外切?d = R+r;

3、两圆相交?R-r<d<R+r(R>r)

4、两圆内切?d = R-r;(R>r)

5、两圆内含?d<R-r。(R>r)

定理相交两圆的连心线垂直平分丙两圆的公共弦。

如图6-10,O1,O2为圆心,

则有:AB⊥O1O2,且AB被O1O2

平分

十四、两圆的公切线

和两个圆都相切的直线叫两圆的

公切线,两圆在公切线同旁时,叫外

公切线,在公切线两旁时,叫内公切线,公切线上两个切点的距离叫公切线的长。 如图6-11,若 A、B、C、D为切点,则AB为内公切线长,CD为外公切线长 内外公切线中的重要直角三角形,如图6-12,OO1A为直角三角形。

d2=(R-r)2+e2为外公切线长,

又如图 6-13, OO1C为直角三角形。

d2=(R十r)2+ e’2为内公切线长。

十五、相切在作图中的应用

生活、生产中常常需要由一条线(线段或孤)平滑地渡到另一条线上,通常称为圆弧连接,简称连接,连接时,线段与圆弧,圆弧与圆弧在连接外相切,如图 6-

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十六、正多边形和圆

各边相等,各角也相等的多边形叫正多边形。

定理:把圆分成n(n>3)等分:

(l)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内按正多边形;

(2)经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。

定理:任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆。

正多边形的外接(或内切)圆的圆心叫正多边形的中心。外接圆的半径叫正多边形的半径,内切圆的半径叫正多边形的边心距。

正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等,叫正多边形的中心角。

360?

正n边形的每个中心角等于 n

正多边形都是轴对称图形,一个正n边形共有n条对称轴,每条对称轴都通过正n边形的中心。

若n为偶数,则正n边形又是中心对称图形,它的中心就是对称中心。

边数相同的正多边形相似,所以周长的比等于边长的比,面积的比等于边长平方的比。 十七、正多边形的有关计算

(n?2)180?

正n边形的每个内角都等于 n

定理:正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。正多边形的有关计算都归结为解直角三角形的计算。

十八、画正多边形

1、用量角器等分圆

2、用尺规等分圆

正三、正六、正八、正四及其倍数(正多边形)。

正五边形的近似作法;

二十、圆周长、弧长

1、圆周长C=2πR;2、弧长L?

二十一、圆扇形,弓形的面积

l、圆面积:S??R;

2、扇形面积:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。

在半径为R的圆中,圆心角为n°的扇形面积S扇形的计算公式为:S扇形

注意:因为扇形的弧长L?2n?R 180n?R2 ?360n?R1。所以扇形的面积公式又可写为S扇形?LR 1802

(3)弓形的面积

由弦及其所对的弧组成的圆形叫做弓形。

弓形面积可以在计算扇形面积和三角形面积的基础上求得。如果

弓形的弧是劣弧,则弓形面积等于扇形面积减去三角形面积。若弓形

的弧是优弧,则弓形面积等于扇形面积加上三角形面积。

二十二、圆柱和圆锥的侧面展开图

1、圆柱的侧面展开图

圆柱可以看作是由一个矩形旋转得到的,如把矩形ABCD绕边

AB旋转一周得到的图形是一个圆柱。(图6一16)

AB叫圆柱的轴,圆柱侧面上平行轴的线段CD, C’D’,…都叫

圆柱的母线。

圆柱的母线长都相等,等于圆柱的高。

圆柱的两个底面是平行的。

圆柱的侧面展开图是一个长方形,如图6-17,其中AB=高,AC=底面圆周长。 ∴S侧面=2πRh

圆柱的轴截面是长方形一边长为h,一边长为2R

R是圆柱底半径,h是圆柱的高。见图6-

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(2)圆锥的侧面展开图

圆锥可以看作由一个直角三角形旋转得到。

如图6-19,把Rt△OAS绕直线SO旋转一周

得到的图形就是圆锥。

旋转轴SO叫圆锥的轴,连通过底面圆的圆心,

且垂直底面。

连结圆锥顶点和底面圆的任意一点的SA、

SA’、…都叫圆锥的母线,母线长都相等。

圆锥的侧面展开图如图6一19是一个扇形SAB

半径是母线长,AB是2πR。(底面的周长),

所以圆锥侧面积为S侧面=πRL

题:

例1、如图7.2-1,AB是⊙O的直径,AD⊥CD,BC⊥CD,且AD+BC=AB,

1、求证:⊙O与CD相切;

2、若CD=3,求AD?BC.

[特色]本题来源于教材,主要考查切线的判定方法及相似三角形的知识.

[解答](1)过O点作OE⊥CD于E.

∵ AD⊥CD, BC⊥CD, ∴ AD∥OE∥BC,

又∵AO=BO, ∴DE=CE,

∴ OE=1(AD+BC). 而AB=AD+BC, 2

∴ OE=OA, 而OE⊥CD, ∴⊙O与CD相切.

(2)连结AE、BE,∵⊙O与CD相切,

∴ OE⊥CD , ∠ BAE=∠BEC. 而∠ BAE=∠ OEA, ∠ OEA+∠ DEA=90, ∴∠ DEA+∠BEC=90. 又∵AD⊥CD, ∴∠ DEA+∠ DAE=90,

∴∠ DAE=∠BEC, ∴ △AED∽△EBC,

∴AD?EC=DE?BC, 即AD?BC=DE?EC=???19CD2=. 24

例2、如图7.1-2.已知,AB为⊙O的直径,D为弦AC的中点,BC=6cm,则OD= .

[特色] 以上几道中考题均为直接运用圆的有关性质解题.

[解答]由三角形的中位线定理知OD=1

BC 2

例3、如图7.3-1⊙O为△ABC的内切圆,∠C=90,AO的延长线交BC

于点D,AC=4,CD=1,则⊙O的半径等于( ).

A 、?4535 B、 C、 D、 5446

[特色]本题考查内心的性质.

[解答] 过点O半径OE,则OE∥CD,AE∶AC=OE∶CD,设半径为R,则

(4-R)∶4=R∶1,解之得R=4,选A. 5

例4、圆内接四边形ABCD,∠A、∠B、∠C的度数的比是1∶2∶3,则这个四边形的最大角是 .

[特色]运用圆内接四边形的性质进行简单计算.

[解答]设A=x,则∠B=2x,∠C=3x . ∵∠A+∠C=180, ∴x+3x=180, ∴ x=45.

∴∠A=45, ∠ B=90, ∠C=135, ∠ D=90.

∴ 最大角为135.

例5、如图7.5-1,O1和O2外切于点C,直线AB分别外切

⊙O1于A,⊙O2于B,⊙O2的半径为1,AB=22,则⊙O1的半

径是 .

[特色]以上各题都是圆与圆的位置关系中常见的基本题

型,着眼于考查学生对两圆的位置关系的理解及运用.

[解答] (1)选B,利用两圆相交,连心线垂直平分公共弦,

再根据勾股定理可求得.

例6、将两边长分别为4cm和6cm的矩形以其一边所在的直线为轴旋转一周,所得圆柱的表面积为 cm.

[特色]考查圆柱的表面积的计算,着眼于考查学生思维的全面性.

[解答]以边长为4cm作母线所得到的圆柱的表面积为80?cm;以边长为6cm作母线所得到的圆柱的表面积为120?cm.

例7、如图7.6-2,正六边形内接于半径为1的圆,其中阴影部

的面积是 .

[特色]考查学生对基本概念的理解以及基本运算能力.

[解答] 答案:

分22????????2?6?.作半径,用扇形的面积减去三角形的面积.

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