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【课件一】26.3实际问题与二次函数

发布时间:2014-01-18 17:10:06  

26.3实际问题与二次函数 (1)

同学们,今天就让我们 一起去体会生活中的数 学给我们带来的乐趣吧!

1、求下列二次函数的最大值或最小值:
⑴ y=-x2+2x-3; ⑵ y=-x2+4x

y

2、图中所示的二次函数图像的 解析式为:

y ? 2 x 2 ? 8 x ? 13
⑴若-3≤x≤3,该函数的最大值、最小值 分别为( 55 )、( 5 )。 ⑵又若0≤x≤3,该函数的最大值、最小 值分别为( 55 )、( 13)。
-4 -2 6 4 2

0
2

x

求函数的最值问题,应注意什么?

y
9 8 7 6 5 4 3 2

1 2 将抛物线y ? x 2 向右平移4个单位后,

再向下平移4个单位,
1 y ? ( x ? 4) 2 ? 4 2

会得到哪条抛物线?

1
? 3 ? 2 ?1
0

1 2 3 4 5 ?1 ?2

x

某商品现在的售价为每件60元,每 星期可卖出300件,市场调查反映: 每涨价1元,每星期少卖出10件;每 降价1元,每星期可多卖出18件,已 知商品的进价为每件40元,如何定 价才能使利润最大?
请大家带着以下几个问题读题

(1)题目中有几种调整价格的方法? (2)题目涉及到哪些变量?哪一个量是 自变量?哪些量随之发生了变化?

某商品现在的售价为每件60元,每星期 可卖出300件,市场调查反映:每涨价1 元,每星期少卖出10件;每降价1元,每 星期可多卖出18件,已知商品的进价为 每件40元,如何定价才能使利润最大? 分析: 调整价格包括涨价和降价两种情况 先来看涨价的情况:⑴设每件涨价x元,则每星期售出商 品的利润y也随之变化,我们先来确定y与x的函数关系式。 涨价x元时则每星期少卖 10x件,实际卖出 (300-10x)件,销额 为 (60+x)(300-10x)元,买进商品需付 40(300-10x) 元因此, y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x) 所得利润为 元


y ? ?10 x ? 100 x ? 6000
2

(0≤X≤30)

b x?? ? 5时,y最大值 ? ?10 ? 52 ? 100 ? 5 ? 6000 ? 6250 2a

y ? ?10 x ? 100 x ? 6000
2

(0≤X≤30)

所以,当定价为65元时,利润最大,最大利润为6250元
y \元

6250 6000

0

5

30

x\元

可以看出,这个函数的 图像是一条抛物线的一 部分,这条抛物线的顶 点是函数图像的最高点, 也就是说当x取顶点坐 标的横坐标时,这个函 数有最大值。由公式可 以求出顶点的横坐标.

在降价的情况下,最大利润是多少? 请你参考(1)的过程得出答案。 解:设降价x元时利润最大,则每星期可多卖18x件,实 际卖出(300+18x)件,销售额为(60-x)(300+18x)元,买 进商品需付40(300-10x)元,因此,得利润
做一做

y ? ?60 ? x ??300 ? 18 x ? ? 40?300 ? 18 x ?
2

b 5 5 ?5? 当x ? ? ? 时,y最大 ? ?18 ? ? ? ? 60 ? ? 6000 ? 6050 2a 3 3 ?3?

? ?18 x ? 60 x ? 6000

(0≤x≤20)
2

1 答:定价为 58 元时,利润最大,最大利润为6

050元 3 由(1)(2)的讨论及现在的销售 情况,你知道应该如何定价能 使利润最大了吗?

(1)列出二次函数的解析式,并根 据自变量的实际意义,确定自变量的 取值范围; (2)在自变量的取值范围内,运用 公式法或通过配方求出二次函数的最 大值或最小值。

想一想

何时橙子总产量最大

驶向胜利 的彼岸

?还记得本章一开始涉及的“种多少棵橙子树”的 问题吗? ?我们还曾经利用列表的方法得到一个数据,现在请 你验证一下你的猜测(增种多少棵橙子树时,总产量最 大?)是否正确. ?与同伴进行交流你是怎么做的.

做一做

何时橙子总产量最大

驶向胜利 的彼岸

?某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现 准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么 树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据 经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子. ?(1)问题中有那些变量?其中哪些 是自变量?哪些是因变量?
?(2)假设果园增种x棵橙子树,那么 果园共有多少棵橙子树?这时平 均每棵树结多少个橙子? ?(3)如果果园橙子的总产量为y个, 那么请你写出y与x之间的关系式.

想一想

何时橙子总产量最大

驶向胜利 的彼岸

?果园共有(100+x)棵树,平均每棵树结(600-5x) 个橙子,因此果园橙子的总产量

?y=(100+x)(600-5x)=-5x2 +100x+60000.
在上述问题中,种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量 最多? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
X/棵
Y/个
你能根据表格中的数据作出猜想 吗



议一议

何时橙子总产量最大
y ? ?100 ? x ??600 ? 5 x ? ? ?5 x 2 ? 100 x ? 60000
2

驶向胜利 的彼岸

?1.利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的 棵数之间的关系.

? ?5?x ? 10? ? 60500.
?2.利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的 棵数之间的关系? ?3.增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量在60400个 以上? 当y ? 60400时, 得

? 5?x ? 10? ? 60500 ? 60400.
2

y
20 9

( 4, 4)

1 2 ? ? ? y ? ? x ? 4 ? 4 (0≤x≤8) 9

1 ?a ? ? 9

0

4

8

x

20 当x ? 8时,y ? 9

如图,建立平面 直角坐标系, 点(4,4)是图中这段抛物 线的顶点,因此可设这段抛 物线对应的函数为:

∵篮圈中心距离地面3米

∴此球不能投中

y ? a?x ? 4? ? 4 (0≤x≤8)
2

? 20 ? ? 抛物线经过点? 0, ? ? 9 ?

20 2 ? ? a?0 ? 4? ? 4 9

若假设出手的角度和力度都不变, 则如何才能使此球命中?

探究

(1)跳得高一点 (2)向前平移一点

?

在出手角度和力度都不变的情况下,小明的出手高度 为多少时能将篮球投入篮圈?
6

y
(4,4)

4

(8,3)
? 20 ? ? 0,

? 9 ? ?
2

? 20 ? ? 8, ? 9 ? ?

0

1

2

3

4

5 5

6

7

8

9

10

x
-2

?

在出手角度、力度及高度都不变的情况下,则小明朝 着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮也能将篮球投 入篮圈?
6

y

(4,4) (5,4)
4

? 20 ? ? 0, ? ? 9 ?
2

(7,3) (8,3)


0

1

2

3

4

5 5

6

7

8

9

10

X
-2

用抛物线的知识解决运动场上或者生 活中的一些实际问题的一般步骤:
建立直角坐标系 二次函数 问题求解 找出实际问题的答案

寄语

生活是数学的源泉, 探索是数学的生命线.

作业
习题26.3 第 2、3、4


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