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专题训练相似三角形的计算与证明

发布时间:2014-01-18 17:10:09  

1、(2013四川绵阳)如图,四边形ABCD是菱 形,对角线AC=8cm,BD=6cm,DH⊥AB于 点H,且DH与AC交于G,求GH的长.
解:∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD,AO=4cm,BO=3cm.

? AB ? AO2 ? BO2 ? 5cm 1 ? S菱 形ABCD ? AC ? BD ? AB ? DH 2 24 7 2 2 AH ? AD ? DH ? cm ? DH ? cm 5 5

∵∠GAH=∠BAO,∠AHG=∠AOB=90°

∴△GAH∽△BAO

GH AH ? ? BO AO

7 GH 5 ? ? 3 4 21 ? GH ? cm 20

2.(2013山东菏泽)如图所示,在△ABC中, BC=6,E、F分别是AB、AC的中点,动点P在射 线EF上,BP交CE于点D,∠CBP的平分线交CE

1 于Q,当CQ= CE时,求 EP+BP的长. 3
解: 延长BQ交EF于点G ∵ E、F分别是AB、AC的中点 ∴EG∥BC ∴∠2=∠G, △CQB∽△EQG

G
2

BC CQ ? ? EG EQ
1 ? CQ ? CE 3

BC CQ 1 ? ? ? EG EQ 2

∴EG=2BC=12

∵∠1=∠2,∠2=∠G ∴∠1=∠G
∴PB=PC
2

∴ EP+BP=EP+PG=BC=12

3.(2013四川巴中10分)如图,在平行四边形 ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E,连接DE, F为线段DE上一点,且∠AFE=∠B (1)求证:△ADF∽△DEC; (2)若AB=8,AD=6 3 ,AF= 4 3,求AE的长. 证明:(1) ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD,AD∥BC ∴∠B+∠C=180°,∠4=∠3 ∵∠1=∠B, ∠1+∠2=180° ∴∠2=∠C

∴ △ADF∽△DEC

解:(2)

∵△ADF∽△DEC
DE CD ? ? AD AF
DE 8 ? ? 6 3 4 3
8

4 3

6 3 8

∴DE=12
? AE ? DE 2 ? AD 2 ? 12 2 ? (6 3 ) 2 ? 6

4.(2013泰安)如图,四边形ABCD中,AC平分 ∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,E为AB的中点, (1)求证:AC2=AB?AD; (2)求证:CE∥AD; AC (3)若AD=4,AB=6,求 的值. AF 证明:(1) ∵∠1=∠2,∠ADC=∠ACB= 90° ∴△ADC∽△ACB

AC AD ? ? AB AC

2

∴ AC2=AB?AD

(2)求证:CE∥AD ∵ ∠ACB=90°,E是AB中点 ∴CE=AE=EB
4
3

∴∠2=∠3 ∵∠1=∠2 ∴∠1=∠3 ∴CE∥AD

AC AF

3
2

6

解(3) ∵CE∥AD ∴△CFE∽△AFD

CF CE ? ? AF AD

1 ∵AD=4,CE= AB=3 2 CF 3 ? ? AF 4 CF ? AF 3 ? 4 ? ? AF 4 CF 7 ? ? AF 4

5、(2009年安徽)如图,M为线段AB的中 点,AE与BD交于点C,∠DME=∠A=∠B=α, 且DM交AC于F,ME交BC于G. (1)写出图中三对相似三角形,并证明其中的一对; (2)连结FG,如果α=45°,AB= 4 , 2 AF=3,求FG的长

解:(1) △EMF∽△EAM △DMG∽△DBM △AFM∽△BMG

解:(2)

4 2

45° ∵∠A=∠B=∠1=45° 1 3 ∴∠ACB=90°,AC=BC ∵AB= 4 2,AB=BC=4 ∴AF=3,CF=1 ∵M为线段AB的中点 ? AM ? BM ? 2 2 8 4 ? BG ? , CG ? ∵△AFM∽△BMG 3 3

AF AM ? ? BM BG

2 2 ? ? 2 2 BG

3

5 ? FG ? FC ? CG ? 3
2 2

6.(2009泰安)如图,△ABC是直角三角形, ∠ACB=90°,CD⊥AB于D,E是AC的中点, ED的延长线与CB的延长线交于点F。 (1)求证:FD2=FB FC。 (2)若G是BC的中点,连接GD,GD与EF 垂直吗?并说明理由。 A 证明:(1) ∵∠ACB=90°,CD⊥AB ∴∠2+∠4 =∠4+∠A=90 ° E 3 D ∴∠2=∠A 4 2

∵ E是AC的中点, ∠1=∠3 C G B F ∴DE=AE ∴∠3=∠A

∴∠1=∠2 ∵∠F=∠F ∴△FDB∽△FCD FD FB ? ? FC FD ∴FD2=FB FC

A E
4 2

3

D
6

C

G

B

F

(2) GD⊥EF
∵ E是AC的中点,CD ⊥AB ∴GD=GC,∠5+∠ 6=90° ∴∠2=∠5 ∵∠1=∠2 ∴∠1+∠6=90° ∴ GD⊥EF

7、(2013四川南充8分)如图,等腰梯形ABCD中, AD∥BC,AD=3,BC=7,∠B=60°,P为BC边上 一点(不与B,C重合),过点P作∠APE=∠B,PE 交CD于E. (1)求证:△APB∽△PEC; 1 (2)若CE=3,求BP的长.
证明:(1) ∵四边形ABCD是等腰梯形 ∴∠B=∠3=∠C,AB=CD ∵∠2+∠3=∠1+∠B ∴∠1=∠2
3 2

∴ △APB∽△PEC

解:(2)
1 作AF⊥AC于F,DG⊥BC于G ∴四边形AFGD是矩形 ? ∴AF=DG,FG=AD=3 ∵AB=CD, ∠B=60° x F ∴△ABF≌△DCG(HL)

3

3
3 2

G 7-x

∴BF=CG=2 ∵△APB∽△PEC
BP AB ? ? EC PC

∴BP2-7BP+12=0 ∴BP=3或BP=4

BP 4 ? ? 3 7 ? BP

8、(2013湖南株洲) 已知在△ABC中,∠ABC=90°, AB=3,BC=4,点Q是线段AC上的一个动点,过 点Q作AC的垂线交线段AB(如图1)或线段AB的 延长线(如图2)于点P. ①当点P在线段AB上时,求证:△AQP∽△ABC; ②当△PQB为等腰三角形时,求AP的长.

图1

图2

证明:(1) ∵∠ABC=90°,PQ⊥AC ∴∠APQ =∠ABC ∵∠A=∠A ∴△AQP∽△ABC 解:(2) 连接CP 如图1,当△PQB为等腰三角形时 ∵∠QPB>90° ∴∠QPB只能为顶角,PQ=PB ∵PQ⊥AC, ∠ABC=90°,CP=CP ∴△PQC≌△PBC ∴CQ=CB=4

图1

? AC ?

AB2 ? BC 2 ? 5

∴AQ=AC-CQ=1 ∵△AQP∽△ABC AP AQ AP 1 ? ? ? ? AC AB 5 3 5 ? AP ? 3 如图2,当P在AB延长线上时 ∠QPB>90° 当△PQB为等腰三角形时,BP=BQ ∴∠1=∠P ∵∠P+∠A=∠1+∠2=90° ∴∠2=∠A ∴AB=BQ=BP ∴AP=2AB=6

图1

2

图2

9、(2013四川宜宾10分)如图1,在Rt△ABC中, ∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,点O是AC边上的 一点,连接BO交AD于F,OE⊥OB交BC边于点E. (1)求证:△ABF∽△COE;
AC (2)当O为AC边中点, =2 时, AB OF 如图2,求 的值; OE AC

(3) 当O为AC边中点,

OF 如图2,请直接写出 的值 OE

AB

= n 时,

图1

图2

证明: (1) ∵∠BAC=90°, 2 AD⊥BC,BO⊥OE ∴∠2+∠3=∠3+∠1=90° 4 ∠C+∠ABD=∠ABD+∠4=90° ∴∠2=∠1,∠4=∠C ∴△ABF∽△COE (2)作OG⊥AC,交AD的延长线于G ∵AC=2AB,O是AC边的中点 ∴AB=OC=OA 由(1) 知△ABF∽△COE ∴△ABF≌△COE ∴BF=OE

3

1

图1
G

∵∠BAD+∠DAC=90° ∠BAD+∠ABD=90° ∴∠DAC=∠ABD 又∠BAC=∠AOG=90°, AB=OA ∴△ABC≌△OAG ∴OG = AC = 2AB ∵OG⊥OA,∠BAC=90° ∴AB∥OG ∴△ABF∽△GOF

G

OF OG ? ? ?2 BF AB OF OF ? ? ?2 OE BF

OF ( 3) ?n OE

10、(2013年福建莆田8分)定义:如图1,点C在 线段AB上,若满足AC2= BC?AB,则称点C为线段 AB的黄金分割点;如图2,△ABC中,AB=AC=l, ∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D ①(5分)求证:点D是线段AC的黄金分割点; ②(3

分)求出线段AD的长 证明:①
1 ? ? ? ( 180 ? 36 ) ? 72 ∴∠ABC=∠C= 2

∵∠A=36°,AB=AC=1 ∵BD平分∠ABC ∴∠1=∠2=∠A=36°

图1

3 2

∴∠3=∠1+∠A=72 ° =∠C

图2

∴AD=BD=BC

∵∠C=∠C ∴△BCD∽△ACB BC CD ? ? 即BC2=AC· CD AC BC ∴AD2=AC· CD

3 2

∴点D是线段AC的黄金分割点
②∵ AD2=AC· CD ,AC=1 ∴AD2=AC · (AC-AD) ∴AD2=1-AD
?1? 5 ?1? 5 ? AD ? , AD ? ( 舍 去) 2 2 ?1? 5 ? AD ? 2

图2

11、(2013年广东珠海9分)如图,在Rt△ABC中, ∠C=90°,点P为AC边上的一点,将线段AP绕点 A顺时针方向旋转(点P对应点P′),当AP旋转至AP′ ⊥AB时,点B、P、P′恰好在同一直线上,此时 作P′E⊥AC于点E. (1)求证:∠CBP=∠ABP; 3 (2)求证:AE=CP;
CP 3 ? ,BP′=5 (3)当 PE 2

时 5,
2

4

5

求线段AB的长.

′ AB,P′E ⊥AC,AP=AP ′ 证明(1): ∵∠C=90°,AP⊥ ∴BC∥ P′E , ∠4= ∠5=∠PP′A, ∴∠1=∠3, ∠3+∠5=∠2+∠PP′A =90 °

∴∠2=∠3

∴∠1=∠2

证明(2): 作PF⊥AB与F ∴∠PFA=∠AEP ′ =90°, 36 4 5 ∠6+∠8=∠7+∠8=90° 8 ∴∠6=∠7 2 7 F ∵AP= AP′ ∴△AFP≌△P′EA ∴PF=AE ∵PC⊥BC,PF⊥AB , ∠1=∠2 ∴PF=PC ∴AE=CP ? BP ? PP' ? 5 5 解(3): ∵ BC∥ P′E ? PP' ? 2 5 , BP ? 3 5 ∴△BCP∽△P′PE ∴设PE=2x,CP=AE=3x

BP CP 3 ? ? ? PP' PE 2

∴AP=AP ′=5x

? AE ? P' A ? AE ? 4 x
2 2



PE2+P′ E2=P′ P2
2 2 2

4
2

5

36
8

?(2 x) ? (4 x) ? (2 5 )
∴x=1,AP′=5

F

7

? AB ?

AB ? P' A ? 10
2 2

总结与体会:
多条线段具有某一关系,用一个字母 表示其中的一条线段,其余的线段就 可用这个字母的代数式表示出来。

12、(2013?泸州)如图,点E是矩形ABCD 的边CD上一点,把△ADE沿AE对折,点D的 对称点F恰好落在BC上,已知折痕AE=10 5 3 cm,且tan∠EFC= ,求该矩形的周长。
4 解: ∵四边形ABCD是矩形 A 1 ∴∠B=∠C=∠D=90° ∵ △ADE与△AFE关于 AE轴对称 ∴∠D=∠AFD,AF=AD=BC B ∴∠1+∠2=∠2+∠3=90° ∴∠1=∠3

D E
2

F

3

C

BF 3 ? tan? 3 ? tan?1 ? ? AB 4

∴BF=3x,AB=4 x

A
2

D
1

? AF ? AB ? BF ? 5 x ∴BC=5x,FC=BC-BF=2x
2

EC 3 ? tan? 3 ? ? FC 4 3 3 ? EC ? FC ? x 4 2 5 2 2 ? EF ? FC ? EC ? x 2 2 2 2
5 2 ? (5 x ) ? ( x ) ? (10 5 )2 2
2

E
2

B

F

3

C

∴该矩形的周长为:

∵AF +EF =AE

64 5cm

?x ? 4 5 ? 2( AB ? AC ) ? 16x ? 64 5

13、(2013湖北鄂州)如图,Rt△ABC中, ∠BAC=90°,AD⊥BC于点D, A 若BD∶CD=3∶2,求 tanB的值。
解: ∵AD⊥BC,∠BAC=90°, ∴ ∠ BDA= ∠ADC= 90° D B ∴∠B+∠BAD=90°, 2=6x2 ∴ AD ∠BAD+ ∠ DAC=90°, ∴ ∠B=∠DAC ? AD ? 6 x ∴△BDA∽△ADC AD
CD AD

C

6 ? tan B ? ? AD BD 2 ? ? , 既AD ? BD ? CD BD 3
∵ BD∶CD=3∶2

∴设BD=3x,CD=2x

14、如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,D是

1 边AB上一点,

且tan∠BCD= . 2 (1)试求sinB的值;
(2)试求△BCD的面积. 解:(1) 作AE⊥BC交BC于E ∵AB=AC=5,BC=8 ∴BE=CE=4

E

? AE ? AB ? BE ? 3

2

2

AE 3 ? sin B ? ? AB 5

(2)作DF⊥BC于F

DF 1 ? tan ?BCD ? ? CF 2
∴设DF=x,则 CF=2x,BF=8-2x ∵AE⊥BC, DF⊥BC ∴DF∥AE ∴△BFD∽△BEA
F

DF BF ? ? AE BE x 8 ? 2x ? ? 3 4

12 ?x ? 5 1 ? S ?BCD ? ? BC ? DF 2 1 12 48 ? S ?BCD ? ? 8 ? ? 2 5 5

∴设DF=x,则 CF=2x,BF=8-2x

DF AE ? tan B ? ? BF BE
AE ? AB 2 ? BE2 ? 3 x 3 ? ? 8 ? 2x 4

F

12 ?x ? 5

15、(2013四川南充)如图,正方形ABCD 的边长为2 2 ,过点A作AE⊥AC,AE=1, 连接BE,求 tan E的值。
解:

作EF⊥BA交BA的延长线于F
∵正方形ABCD的边长为2 2

AE=1, AE⊥AC F 2 ? EF ? AF ? , AM∥EF ? AM ? 2 2 2 2 5 2 ∴△BAM∽△BFE 2 2
AM BA ? ? EF BF
2 2 ? AM ? 5

M

N

2 2 ? AM ? 5

△AMN∽△CBN 2 2 AN AM 1 5 ? ? ? ? NC BC 2 2 5 ∵AC=4,AN+NC=4

M
F

N

AN 2 ? tan E ? ? AE 3

2 ? AN ? 3

16、如图△ABC中,D是BC中点,AD=AC, A DE⊥BC,垂足为D,DE与AB相交于点E, E EC与AD相交于点F. F ①求证:△ABC∽△FCD。 1 2 ②若S△FCD=5,BC=10,求DE的长。 G B D C 证明: ①∵DB=DC,ED⊥BC ∴BE=EC ∴S △ABC=20 ∴∠B=∠2 1 ∵ S △ABC= BC AG=20 又∵AD=AC 2 ∴∠ACB=∠1 ∴AG=4,DG=CG=2.5 ∴△ABC∽FCD 又∵ED⊥BC,AG⊥BC ②作AG⊥BC于G ∴ED∥AG ∵ △ABC∽△FCD ∴△BDE∽△BGA S ?FCD CD 2 ? ?( ) DE BD DE 5 ? ? , ? S ?ABC BC GA BG 4 5 ? 2.5 5 5 2 8 ? ?( ) ? DE ? S ?ABC 10 3

17、(2011资阳)如图1,在梯形ABCD中,已知 AD∥BC,∠B=90°,AB=7,AD=9,BC=12, 在线段BC上任取一点E,连结DE,作EF⊥DE, 交直线AB于点F. (1) 若点F与B重合,求CE的长;(3分) (2) 若点F在线段AB上,且AF=CE,求CE的长;(4分) (3) 设CE=x,BF=y,写出y关于x的函数关系式 (直接写出结果即可).(2分)

图1

图2(备用图)

解:(1)当F与B重合时,四边形AFEB是矩形 ∴CE=BC-BE=BC-AD=3 (2) 作DG⊥BC于G ∴四边形ABGD是矩形 4 ∴∠B=∠1=900 ∴∠3+∠4=90° 31 2 ∵DE⊥EF ∴∠2+∠3=90° 则AF=CE=7-m,EG=4-m ∴∠2=∠4 BE=5+m,AB=DG=7 ∴△DGE∽△EBF 7 4?m ? ? DG GE 5?m m ? ∴m1=2, EB BF m2=-10(不合题意,舍去) 设BF=m ∴CE=5

∴△DGE∽△EBF

DG GE ? EB BF

7 3? x ? ① 12 ? x y

7 x?3 ? ② 12 ? x y

y=

1 2 15 36 x ? x ? ( 0 ? x ? 3) 7 7 7
1 2 15 36 ? x ? x ? ( 3 ? x ? 12) 7 7 7

18、(2012安徽)如图1,在△ABC中,D、E、F 分别为三边的中点,G点在边AB上,△BDG与四 边形ACDG的周长相等,设BC=a、AC=b、AB=c. (1)求线段BG的长; (2)求证:DG平分∠EDF; (3)连接CG,如图2,若△BDG与△DFG相似, 求证:BG⊥CG.

(图1)

(图2)

解:(1) ∵△BDG与四边形ACDG周长相等 ∴ BD+DG+BG=AC+CD+DG+AG

∵D、C、F分别是 △ABC三边中点 ∴BG=AC+AG DE∥AB 1 又∵BG+AG+AC=b+c

b?c ? BG ? 2

(2) ∵D、C、F分别是 △ABC三边中点
b c ? DF ? , BF ? 2 2

b?c ? BG ? 2

∴DF+BF=BG=BF+FG ∴DF=FG ∴∠1=∠3 ∵DE∥AB ∴∠2=∠3 ∴∠1=∠2 ∴DG平分∠EDF

(3) ∵△BDG与△DFG ∴∠1=∠B ∵∠1=∠3 ∴∠3=∠B ∴BD=DC=DG
∴BG⊥CG

1

19、如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2 5 sin B ? ,点P为BC上一动点,PD∥AB,PD 5 交AC于点D,连结AP (1)求AC、BC的长 (2)设PC的长为x, △ADP的面积为y,当x为 何值时,y最大?并求出最大值。

5,

, AB ? 2 5 解:∵∠C=90°

AC 5 ? sin B ? ? AB 5 ∴AC=2
? BC ? AB 2 ? AC 2 ? 4

AC CD ? tan B ? , tan ?DPC ? BC PC CD 2 1 ? ? ? CD ? x x 4 2
1 ? AD ? AC ? CD ? 2 ? x 2 1 1 1 ? y ? ? AD ? PC ? x ? ( 2 ? x) 2 2 2 1 1 2 2 ? y ? ? ( x ? 2 ) ?1 ?y ? ? x ? x 4 4

∵PD∥AB ∴tanB=tan∠DPC

20、(2010资阳)如图,在直角梯形ABCD中,已知AD∥BC, AB=3,AD=1,BC=6,∠A=∠B=90°. 设动点P、Q、R在 梯形的边上,始终构成以P为直角顶点的等腰直角三角形, 且△PQR的一边与梯形ABCD的两底平行.(9分) (1)当点P在AB边上时,在图中画出一个符合条件的△PQR (不必说明画法); (2) 当点P在BC边或CD边上时,求BP的长.

解: (1)如图所示

A

D

B

C

(2)如图,当点P在BC上时 作QE⊥BC于E,DF⊥BC于F 3 ∴四边形ABPD、BEQR是矩形 QE∥DF x ∵ △PQR是等腰直角三角形 xF ∴设BF=EF=QE=PB=x 则DF=AB=3,CE=2x ∴△CEQ∽△CFD
CE EQ ? ? CF FD

x x E 6-2x

6 - 2x x ? ? 5 3

18 ?x ? 11

18 ? BP ? 11

(2)如图,当点P在DC上时 连结BP,作DH⊥BC于H
∵ △PQR是等腰直角三角形 ∴四边形PQBR是正方形 PR∥DH H ∴设BR=PQ=PQ=BQ=m 则CR=6-m,DH=AB=3,BH=AD=1 9 ∴△CRP∽△CHD ?m ?
CR PR ? ? CH DH

4

6-m m ? ? 5 3

9 ? BP ? 2 4

21、(2012四川巴中12分)如图,在平面直角坐标系 中,点A、C分别在x轴、y轴上,四边形ABCO为矩 4 形,AB=16,点D与点A关于y轴对称,tan∠ACB= , 3 点E、F分别是线段AD、AC上的动点(点E不与点A、 D重合),且∠CEF=∠ACB. ①求AC的长和点D的坐标; ②说明△AEF与△DCE相似; ③当△EFC为等腰三角 形时,求点E的坐标。

解:①
∵四边形ABCO是矩形
∴AB=OC=16,∠B=90°

AB 4 ? tan?ACB ? ? BC 3 3 ? BC ? AB ? 12 4

? AC ? AB ? BC ? 20
2 2

∵点D与点A关于y轴对称 ∴OD=OA=BC=12

∴D(12,0)

解:② ∵OA=OD,OC⊥AD,BC∥AD ∴CA=CD ∴∠4=∠3=∠2=∠1 又∵∠1+∠6=∠4+∠5 ∴∠5=∠6 ∴△AEF∽△DCE 解:③ 当△EFC为等腰三角形时
3 6 1 4 2 5

有CE=CF、CE=EF、FC=FE三种可能情况

③∵△EFC为等腰三角形 当CE=CF时,∠1=∠CFE ∴∠1=∠CFE=∠2=∠3 这与∠CFE>∠3矛盾 ∴CE=CF不成立 当CE=EF时, △AEF≌△DCE ∴AE=CD=20

∴OE=AE-OA =20-12=8
3

2 5

6

1

4

∴E(8,0)

当EF=CF时,∠ECF=∠1=∠3 ∴CE=AE=OE+OA 又∵OE2+OC2=CE2 ∴OE2+162=(12+OE)2 14 ? OE ? 3 3

2 5

14 ? E ( ,0) 3

6

1

4

14 满足条件的点E的坐标为:E(8,0)、E( ,0) 3

22、(2012四川宜宾)如图,在△ABC中,已AB=AC=5, BC=6,且△ABC≌△DEF,将△DEF与△ABC重合在一起, △ABC不动,△DEF运动,并满足:点E在边BC上沿 B到C的方向运动,且DE始终经过点A,EF与AC交于M点。 (1)求证:△ABE∽△ECM; (2)探究:在△DEF运动过程中,重叠部分能否构成等腰三 角形,若能,求出BE的长;若不能,请说明理由; (3)当线段AM最短时,求重叠部分的面积。

(1)证明:∵AB=AC, ∴∠B=∠C ∵△ABC≌△DEF ∴∠B=∠1 ∵∠1+∠2=∠B+∠3 ∴∠3=∠2 ∴△ABE∽△ECM

1

(2)解:∵∠1=∠B=∠C, 且∠4>∠C,∠1≠∠4
∴当∠4=∠5时,AE=ME ∴ △ABE≌△ECM ∴CE=AB=5,BE=1
1
5 4

AC CE ? ? BC CA

∴当∠1=∠5时,AM=ME 5 CE ? ? ∴∠5=∠B,∠C=∠C 6 5 ∴△CAE∽△CBA 25

6 25 11 ? BE ? 6 ? ? 6 6

? CE ?

(3)解:设BE=x ∵△ABE∽△ECM

CM CE ? ? BE AB CM 6 ? x 1 ? ? x 5 1 2 6 ? CM ? ? x ? x ? AM ? 1 ( x ? 3)2 ? 16 5 5 5 5 ? AM ? AC ? CM ?当x ? 3时, 1 2 6 16 ? AM ? x ? x ? 5 AM 最短 ? 5 5 5

1 ∵当BE=x=3= BC时, 2
AE⊥BC,EM⊥AC

? AE ? AC 2 ? EC2 ? 4
1 1 ? S ?AEC ? AC ? EM ? EC ? AE 2 2 12 1 16 12 96 ? EM ? ? S ?AME ? ? ? ? 5 2 5 5 25

23、(2012自贡12分)如图,在菱形ABC中, AB=4,∠BAD=120°,△AEF为正三角形,点E、 F分别在菱形的边BC、CD上滑动,且E、F不 与B、C、D重合。 ①证明:不论E、F在BC、CD上如何滑动, 总有BE=CF; ②当点E、F在BC、CD上滑动时,分别探讨四边形 AECF和△CEF的面积是否发生变化?如果不变, 求出这个定值;如果变化, 求出最大(或最小)值。

证明:①连接AC ∵四边形ABCD是菱形 ∠BAD=120° ∴AB=BC=CD=AB AD∥BC,AB∥CD ∴∠B=180°-∠BAD=60°
∴△ABC是等边三角形 ∴AC=AB 又∵△AEF是正三角形 ∴AE=AF,∠1+∠2=∠2+∠3=60° ∴∠1=∠3 ∴△ABE≌△ACF ∴BE=CF

②作AG⊥BC于G 四边形AECF的面积不发生变化 ∵△ABE≌△ACF

∴S四边形AECF=S△ABC
AG ∵ sinB ? AB

? AG ? sin60? ? AB ? 2 3
1 ∴S △ABC= BC AG= 4 3 2

∴S四边形AECF=4 3

△CEF的面积有变化 作EH⊥DC的延长线于H 设BE=CF=x 则EC=4-x ∵∠BAD=∠BCD=120° ∴∠ECH=60°

EH ? sin?ECH ? CE

S ?ECF

3 ? EH ? (4 ? x ) 2 1 ∵ S ?ECF ? CF ? EH 2

3 2 ?? ( x ? 2) ? 3 4

∴当x=2时, S△EFC的面积最大为

3

24、在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,D、E 分别是边AB、AC的中点,点P从点D出发沿DE方 向运动,过点P作PQ⊥BC于Q,过点Q作QR∥BA 交AC于R,当点Q与点C重合时,点P停止运动,设 BQ=

x,QR=y. ①求点D到BC的距离DH的长; ②求y关于x的函数关系式(不要求写出自变量的 取值范围) ③是否存在点P,使△PQR为 等腰三角形?若存在,请 求出所有满足要求的x的值; 若不存在,请说明理由。

解:① ∵∠A=90°,DH⊥BC ∴∠A=∠BHD=90°
∵∠B=∠B ∴△BHD∽△BAC

DH BD ? ? AC BC
∵AB=6,AC=8,D是AB中点 ∴BD=3

BC ? AB ? AC ? 10 12 DH 3 ? ? ? DH ? ? 2.4 8 10 5
2 2

②∵QR∥AB ∴△CQR∽△CBA

QR CQ ? ? AB CB

y 10 ? x ? ? 6 10 3 ?y ? ? x?6 5

③假设存在,仍然分 PQ=PR, PQ=RQ, PR=QR 三种情况解答

当A、P、Q三点在一条直线上时 ∵点D、E分别是AB、AC的中点 ∴AP=PQ
∵PQ∥AB ∴∠ARQ=∠BAC=90° ∴AP=PQ=PR ∵AQ⊥BC ∴△BQA∽△BAC

6 x ? ? 10 6
∴x =3.6

AB BQ ? ? BC AB

当PQ=RQ时 ∵△CQR∽△CBA

QR CQ ? ? AB CB

2.4 10 ? x ? ? 6 10
∴x =6

当PR=RQ时
∴R在PQ的垂直平分线上 ∴R是EC的中点 ∵E是AC的中点,RQ∥AB

10 ? x 1 ? ? 10 4
∴x=7.5

∴ △CQR∽△CBA
CQ CR 1 ? ? ? CB CA 4

25、如图,已知△ABC是边长为6cm的等边三角形, 动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC 匀速运动,其中点P运动的速度是1cm/s,点Q运动的 速度是2cm/s当点Q到达点C时,P、Q两点都停止 运动,设运动时间为t(s),解答下列问题: ①当t=2时,判断△BPQ的形状,并说明理由; ②设△BPQ的面积为S(cm 2 ),求S与t的函数关系式; ③作QR∥BA交AC于点R,连结PR,当t为何值时, △APR∽△PRQ?
①当t=2时, △BPQ是等边三角形

②作QD⊥PB于D ∵△ABC是等边三角形,BQ=2t ∴∠B=60° ∴BD=t,QD= 3t
∵AP=t ∴BP=AB-Ap=6-t 1 ∵ S ?BPQ ? PB ? DQ 2

1 ? S ? ( 6 ? t ) ? 3t 2

3 2 ?S ? ? t ? 3 3t 2

③∵QR∥AB ,△ABC为等边三角形 ∴△CRQ为等边三角形 ∴∠A=∠B, ∠APR=∠PRD ∴AR=BQ=2t,BD=AP=t ∴△APR≌△BDQ

? PR ? DQ ? 3t
∠DPR=∠PDQ=90° ∴四边形PDQR是矩形 ∴RQ=PD=AB-AP-BD=6-2t

t 3t ? ? 3t 6 ? 2t
∴t=1.2 ∴当t=1.2s时 △APR∽△PRQ

AP PR ? ∴当 时 PR RQ
△APR∽△PRQ

26、如图,四边形ABCD中,AD=CD,∠DAB= ∠ACB=90°,过点D作DE⊥AC,垂足作为F,DE 与AB相交于点E. (1)求证:AB AF=CB CD (2)已知AB=15cm, BC=9cm, P是射线DE上的动点, 设DP=xcm(x>0),四边形BCDP的面积为ycm2: ①求y关于x的函数关系式; ②当x为何值时,△PBC的周长 最小,并求出此时y的值。

证明:(1)∵DE∥BC ∴∠B=∠3,∠AFD=∠ACB=90° 又∵∠DAB=∠ACB=90° ∴∠1+∠B=∠2+∠3=90° ∴∠1=∠2 ∴△AFD∽△BCA

AD AF ? ? AB BC

? AF ? AF ? BC ? AD
又∵AD=CD

? AB ? AF ? BC ? CD

1 (2)∵S四边形BCDP= (BC+PD) CF 2

AC ? AB ? BC ? 12cm
2 2

∴AF=CF=6cm

? y ? 3 x ? 27

1 ? y ? (9 ? x ) ? 6 2
当PC+PB最短时 △PBC的周长最小

当PC+PB最短时 △PBC的周长最


∵AD=CD,AE⊥AC ∴点C与点A关于DE对称 AB交DE于E ∴点P与点E重合时 PC+PB=AB最短 2 2 ? x ? DE ? AD ? AE AD AF ∵ ? AB BC

∴ x=12.5cm ∴当x=12.5cm时, △PBC的周长最小 ∴y=3×12.5+27 =64.5cm2

∴AD=10cm


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