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北京市怀柔区2014届九年级上期末考试数学试题(含答案)

发布时间:2014-01-19 12:56:02  

怀柔区2013—2014学年度第一学期初三期末质量检测

数 学 试 卷 2014. 1

一、选择题(本题共32分,每小题4分)

下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的. ..1.在Rt△ABC中,∠C=90°,若sinA=

1

,则∠A的度数是 2

A.30° B.45° C.60° D.90° 2.两个相似三角形周长的比是2:3,则它们的面积比是 A. 2:3 B. 3:2 C.4:9 D.9:4 3.如图,A,B,C三点在⊙O上,且∠A=50°, 则∠BOC的度数为

A.40° B. 50°

C. 80° D.100°

A

4.如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,

且 DE∥BC, 若AD=5, DB=3,DE=4, 则BC等于 A.

ADB

12152032

B. C. D. 5435

5.下列事件中,为必然事件的是

A.购买一张彩票,一定中奖. B.一个袋中只装有5个黑球,从中摸出一个球是黑球. C.抛掷一枚硬币,正面向上. D.打开电视,正在播放广告.

6.将抛物线y= (x -1)2 +3向左平移1个单位,再向下平移3个单位后所得抛物线的 解析式为

2222A.S = 2 B. 2<S<4 C.S = 4 D.S>4

8.如图,正方形ABCD中,AB=8cm,对角线AC,BD 相交于点O,点E,F

分别从B,C两点同时出发,以 1cm/s的速度沿BC

,CD运动,到点C,D时停止运动. 设运动时间为t(s),△OEF的面积为S(cm2), 则S(cm2)与t(s)的函数关系可用图象表示为

第7题图

A

D

F

B

E

C

D.

A. 二、填空题(本题共16分,每小题4分)

9.Rt△ABC中,∠C=90°,若AB=5,AC=4,则∠A的正切值为_________.

2

10.抛物线y?x?1的最小值是.

11.已知扇形的半径为4㎝,圆心角为120°,则此扇形的弧长是㎝. 12.如图,圆心B在y轴的负半轴上,半径为5的⊙B

与y轴的正半轴交于点A(0,1).过点P(0,-7)的 直线l与⊙B相交于C、D两点,则弦CD长的所有可能的 整数值有_______个;它们是 . 三、解答题(本题共30分,每小题5分)

A

13.

计算:sin30???2cos45?.

14.已知抛物线y=x2-4x+3,求出它的对称轴和顶点坐标.

15.如图,在ΔABC中,AB?AC,BD?CD,CE?AB于E.

求证:ΔABD∽ΔCBE. 16.如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=2, 求AB的长.

E

C

C

A

B

17. 一只不透明的袋子中装有2个白球和一个红球,这些球除颜色外其余都相同,搅匀后从中任意摸出一个球,记录下颜色后放回袋中并搅匀,再从中任意摸出一个球,请用树状图或列表的方法列出所有可能的结果,求出两次摸出的球颜色相同的概率. 18.如图,一次函数y1=x+1的图象与反比例函数y2=(k为常数,且k≠0)的图象都经过点A(m,2). (1)求点A的坐标及反比例函数的表达式;

(2)结合图象直接比较:当x>0时,y1与y2的大小.

四、解答题(本题共20分,每小题5分)

kx

19.如图:在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB

交BC于点D,AB=10,AC=6,

求D到AB的距离.

20.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,

点P在⊙O上,∠1=∠C, (1)求证:CB∥PD;

3

(2)若AB=5,sin∠P=,求BC的长.

5

21.已知:△ABC是边长为4的等边三角形,点O在边AB上, ⊙O过点B且分别与边AB,BC相交于点D,E, EF⊥AC,垂足为F.

(1)求证:直线EF是⊙O的切线;

(2)当直线DF与⊙O相切时,求⊙O的半径.

22.如图,矩形ABCD的两边长AB=18cm,AD=4cm,

D

Q

A

P

B

点P、Q分别从A、B同时出发,P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动,Q在边BC上沿BC方向

以每秒1cm的速度匀速运动.设运动时间为x秒, △PBQ的面积为y(cm2).

(1)求y关于x的函数关系式,并在右图中

画出函数的图像; (2)求△PBQ面积的最大值.

五、解答题(本题共22分,第23题7分,第24题7分,第23.理解与应用

小明在学习相似三角形时,在北京市义务教育课程改革实验教材第17册书,第37页遇到这样一道题:

如图1,在△ABC中,P是边AB上的一点,联结CP.

要使△ACP∽△ABC,还需要补充的一个条件是____________,或_________. 请回答:

(1)小明补充的条件是____________________,或_________________. (2)请你参考上面的图形和结论,探究、解答下面的问题:

如图2,在△ABC中,∠A=60°,AC2= AB2+AB.BC.

求∠B的度数.

BPAA图1 CC图2 B

24.(1)如图1,在等边△ABC中,点M是边BC上的任意一点(不含端点B、C),联结

AM,以AM为边作等边△AMN,联结CN.求证:∠ABC=∠ACN.

【类比探究】

(2)如图2,在等边△ABC中,点M是边BC延长线上的任意一点(不含端点C),其它条件不变,(1)中结论∠ABC=∠ACN还成立吗?请说明理由.

【拓展延伸】

(3)如图3,在等腰△ABC中,BA=BC,点M是边BC上的任意一点(不含端点B、

C),联结AM,以AM为边作等腰△AMN,使顶角∠AMN=∠ABC.联结CN.试探究∠ABC与∠ACN的数量关系,并说明理由.

B图1

图2

CB图325.如图,在平面直角坐标系中,顶点为(4,1)的抛物线交y轴于点A,交x轴于B,C

两点(点B在点C的左侧),已知C点坐标为(6,0).

(1)求此抛物线的解析式;

(2)联结 AB,过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D,如果以点C为圆心的圆与抛

物线的对称轴l相切,先补全图形,再判断直线BD与⊙C的位置关系并加以证明;

(3)已知点P是抛物线上的一个动点,且位于A,C两点之间.问:当点P

运动到什么

位置时,?PAC的面积最大?求出?PAC的最大面积.

备用图

怀柔区2013—2014学年第一学期初三期末质量检测

数学试题答案及评分参考

一、选择题(本题共32分,每小题4分)

下面各题均有四个选项,其中只有一个

是符合题意的.

二、填空题(本题共16分,每小题

4分)

三、解答题(本题共30分,每小题5分) 13.(本小题满分5分)

1 ………………………………………………3分 2?

221

= ?3? …………………………………………………………4分

2

解:原式=

7

= …………………………………………………………………5分

2

14.(本小题满分5分)

解:y=x2-4x+3

= x2-4x+4-4+3…………………………………………………………………1分 = x2-4x+4-1…………………………………………………………………2分 =(x-2)2-1…………………………………………………………………3分 ∴抛物线的对称轴为x=2; ……………………………………………………4分 顶点坐标为(2,-1)…………………………………………………………5分 15. (本小题满分5分)

证明:在ΔABC中,AB?AC,BD?CD,

∴AD?BC,……………………………………………………2分 ∵CE?AB,

∴?ADB??CEB?90?,………………………………………3分 又∵?B=?B……………………………………………………4分

A

E

∴ΔABD∽ΔCBE.………………………………………………5分 16. (本小题满分5分)

解:过点C作CD⊥AB于D. …………………………………1分

在Rt△ACD中,∵∠A=30°,AC=2

C

A

D

B

∴CD=3,………………………………2分

∴AD=AC×cosA=2×3=3……………3分 2

在Rt△BCD中,∠B=45°,则BD=CD=,……4分

∴AB=AD+BD=3+

3…………………………………5分

17. (本小题满分5分)

解:(1)树状图:

(2)列表

所有可能的结果如图所示,………………………………………………4分 每个结果发生的可能性都相同,其中出现颜色相同的结果有5个.

所以,两次摸出的球颜色相同的概率为法: …………………………3分 5.………………………………5分 9

18. (本小题满分5分) 解: (1)将点A(m,2)代入一次函数y1=x+1 得2=m+1,解得m=1. 即点A的坐标为(1,2).………………………………1分 将A(1,2)代入反比例函数y2=

∴反比例函数的表达式为y2=k.解得k=2.……2分 x

(2)当0<x<1时,y1<y2;当x=1时,y1=y2;当x>1时,y1>y2.…………5分 2.……………………3分 x

四、解答题(本题共20分,每小题5分) A19.(本小题满分5分)

E

CDB

解:作DE⊥AB,垂足为E,

DE即为D到AB的距离………………………………1分

又∵∠C=90°,AD平分∠CAB,∴DE=DC

在△ABC中∵∠C=90°,AB=10,AC=6,∴BC=8,设CD=x,

则DE=CD=x,BD=8-x,∵∠DCE=∠DEA=90°,AD为公共边,

DE=CD ∴△ACD≌△AED (HL),∴AE= AC =6,∴BE=4,

在Rt△BED中,∵DE2+EB2=DB2,即x2+42=(8-x)2,………………3分 解得:x=3. ……………………4分

∴ D到AB的距离是3…………5分

(其它利用相似三角形的性质、三角函数定义、面积法相应给分)

20. (本小题满分5分)

(1)证明:∵∠1=∠C,∠C=∠P∴∠1=∠P………1分

∴CB∥PD;………………………………………2分

(2)解:连接AC,∵AB为⊙O的直径,

∴∠ACB=90°,又∵CD⊥AB,

∴=,∴∠P=∠CAB,…………………………3分

∵sin∠P=

即=33,∴sin∠CAB=,………………………4分 553,∵AB=5,∴BC=3.……………………………5分 5

(其它方法对应给分)

21. (本小题满分5分)

(1)证明:连接OE…………………………………………1分

∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠C=60°.

∵OB=OE,∴∠OEB=∠C =60°,∴OE∥AC.

∵EF⊥AC,∴∠EFC=90°.∴∠OEF=∠EFC=90°. ∴ OE⊥EF, ∵⊙O与BC边相交于点E,∴E点在圆上.

∴EF是⊙O的切线…………………………………………2分

(2) 连接DF, DE.

∵DF是⊙O的切线,∴∠ADF=∠BDF=90°…………………3分

设⊙O的半径为r,则BD=2r,∵AB=4,∴AD=4-2r,

BD=2r,∠B=60°,∴ ∵∠BDE=30°,∠BDF=90°. ∴∠EDF=60°,∵DF、EF分别是⊙

O的切线, ∴ 在Rt△ADF中,∵∠A=60°,

tan∠

DFA=AD??4分 DF

解得r?

44

.∴⊙O的半径是………………………………5分

33

22. (本小题满分5分)

解:(1)∵S△PBQ=

1

PB·BQ, PB=AB-AP=18-2x,BQ=x, 2

D

1

∴y=(18-2x)x,

2

即y=-x+9x(0<x≤4); ………………………2分 画出函数图像………………………3分

2

Q

A

P

B

92 812

(2)由(1)得:y=-x+9x=-(x-)+,

24

981

∴顶点坐标为(,)………………………4分

249

∴当0<x≤时,y随x的增大而增大,

2

∵x的取值范围是0<x≤4,

2

∴当x=4时,y最大值=20,即△PBQ的最大面积是20cm. ……………………5分 五、解答题(本题共22分,第23题7分,第24题7分,第25题8分) 23.(本小题满分7分)

(1)∠APC=∠ACB,∠ACP=∠B,或

APAC

…………2分 ?

ACAB

(2)如图,延长AB到点D,使BD=BC, ………3分 ∵∠A=∠A,AC2=AB(AB+BC),

∴△ACB∽△ADC.…………………………5分

C

∴∠ACB=∠D,∵BC=BD,∴ ∠BCD=∠D, 在△ACD中,∵∠ACB+∠BCD+∠D +∠A=180°, ∴3∠D+60°=180°,∴∠D=40°∴∠B=80°…………7分 24.((本小题满分7分)

B

图1

图2

C

B

图3

(1)证明:∵△ABC、△AMN是等边三角形,

∴AB=AC,AM=AN,∠BAC=∠MAN=60°,∴∠BAM=∠CAN, ∴△BAM≌△CAN(SAS),………………………………1分 ∴∠ABC=∠ACN.………………………………2分

(2)结论∠ABC=∠ACN仍成立.………………………………3分

理由如下:∵△ABC、△AMN是等边三角形,∴AB=AC,AM=AN, ∠BAC=∠MAN=60°,∴∠BAM=∠CAN,

∴△BAM≌△CAN(SAS),………………………………4分

∴∠ABC=∠ACN.………………………………5分

(3)∠ABC=∠ACN.

理由如下:∵BA=BC,MA=MN,顶角∠ABC=∠AMN,

∴底角∠BAC=∠MAN,∴△ABC∽△AMN,……………………6分 ∴=,又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC,∠CAN=∠MAN﹣∠MAC, ∴∠BAM=∠CAN,∴△BAM∽△CAN,

∴∠ABC=∠ACN.………………………………7分

25. (本小题满分8分)

(1)解:∵抛物线的顶点为(4,1),

∴设抛物线解析式为y?a(x?4)?1.

∵抛物线经过点C(6,0),∴0?a(6?4)?1.∴a??

∴y??221. 411(x?4)2?1??x2?2x-3. 44

12所以抛物线的解析式为y??x?2x-3………………………………3分 4

(2) 补全图形、判断直线BD与⊙C相离. ………………………………4分 证明:令?1(x?4)2+1=0,则x1?2,x2?6. ∴B点坐标(2,0). 4

又∵抛物线交y轴于点A,∴A

点坐标为(0,-3)

,∴AB??设⊙C与对称轴l相切于点F,则⊙C的半径CF=2, 作CE⊥BD于点E,则∠BEC=∠AOB=90°.

∵?ABD?90?,∴?CBE?90???ABO.

又∵?BAO?90???ABO,∴?BAO??CBE. CEBC∴?AOB∽?BEC,∴. ?OB

AB

∴CE

??2. ,∴CE?2

∴直线BD与⊙C相离 ………………………………6分

(3) 解:如图,过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q. ∵A(0,-3),C(6,0). 1∴直线AC解析式为y?x?3. 2

设P点坐标为(m,?1

4m2?2m?3), 则Q点的坐标为(m,1

2m?3).

∴PQ=?1

4m2?2m?3-(1132m?3)=?4m2?2m.

∵S11233227

?PAC?S?PAQ?S?PCQ?2?(?4m?2m)?6??4(m?3)?4, ∴当m?3时,?PAC的面积最大为27

4.………………………………7分

∵当m?3时,?123

4m?2m?3=4

∴P点坐标为(3,3

4). ………………………………8分

综上:P点的位置是(3,327

4),?PAC的最大面积是4

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