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15.2线段的垂直平分线

发布时间:2014-01-19 12:56:04  

问题 怎样作出线段的垂直平分线? 通过折纸可以作出线段的垂直平分线.在半透明纸上画一 条线段AA',折纸,使A与A'重合,得到的折痕l 是线段 AA'的垂直平分线.
l

l

A 步骤1

?

A'

?

(A') ? O A 步骤2

A O

?



?

A'

步骤3

也可以用刻度尺量出线段的中点,再用三角尺过中点画 垂线的方法作出线段的垂直平分线.

画 一 画

作出线段AB的垂直平分线.

作法:
?E

1.分别以点A,B为圆心,

大于?AB长为半径(为什么?)
画弧交于点E,F. 2.过点E,F作直线EF. 直线EF就是线段AB的垂直平分线。
? F

A

B

证明:连接AE,AF,BE,BF 在ΔAEF和ΔBEF中 AE=AF ?E ∵ BE=BF EF=EF ∴ΔAEF≌ΔBEF ∴∠AEF=∠BEF 在ΔOAE和ΔOBE中 O B A AE=BE ∵ ∠AEF=∠BEF OE=OE ? F ∴ΔOAE≌ΔOBE ∴OA=OB ∴EF⊥AB ∠AOE=∠BOE ∴EF是线段AB的垂直平分线 ∵ ∠AOE+∠BOE=180° ∴∠AOE=∠BOE=90°

思 考 ?

为什么这样作出的直线EF,就是线段AB的垂直平分 线呢?设所作直线EF交AB于点O,你能给出证明吗?

动手操作:已知线段AB的垂直平分线MN,垂足为C;
在MN上任取一点P,连结PA、PB; 量一量:PA、PB的长,你能发现什么?
PA=PB
……

P1A=P1B

P2A=P2B

M P

由此你能得到什么规律?

?P2

定理:线段垂直平分线上的
点到线段两端的距离相等.
A B

?P1 N

定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
已知:如图,直线MN经过线段AB的中点O,且 MN⊥AB,P是MN上任意一点. 求证:PA=PB. M P 证明 ∵ MN⊥AB,(已知) ∴∠AOP=∠BOP=90°.(垂直定义) 在ΔAOP和ΔBOP中, AO=BO,(已知) ∵ ∠AOP=∠BOP,(已证) PO=PO,(公共边) A ∴ΔAOP≌ΔBOP.(SAS) ∴PA=PB.(全等三角形的对应边相等)



O

B

如果点P与点O重合,那么直接可得PA=PB
N

思 考

你能写出上面定理的逆命题吗?它是 真命题吗?如果是真命题,请给出证明.

逆命题:到线段两端距离相等的点在线段 的垂直平分线上. P 已知:如图,PA=PB. 求证:点P在线段AB的垂直平分线上. 证明:作PC⊥AB,垂足为C ┐ B A C ∴∠ACP=∠BCP=90° 在Rt△ACP和Rt△BCP中 PA=PB(已知) ∵ PC=PC(公共边) ∴Rt△ACP≌Rt△BCP(HL) ∴AC=BC(全等三角形的对应角相等) ∴点P在线段AB的垂直平分线上

线段的垂直平分线 性质定理:线段垂直平分线上的点到线段
两端的距离相等。

逆定理:到线段两端距离相等的点在线段的
垂直平分线上。 线段垂直平分线上的点到 点P在线段 线段两端点的距离相等 AB的垂直 PA=PB 到线段两端距离相等的点 平分线上 在线段的垂直平分线上。

线段的垂直平分线可以看作是和线 段的垂直平分线的集合定义吗? 段两个端点距离相等的所有点的集合

线段的垂直平分线的集合定义: 你能根据

上述定理和逆定理,说出线

例1已知:如图,△ABC的边AB、AC的垂直平分线相交于 点P. A 求证:点P在BC的垂直平分线上. 证明:连接PA,PB,PC. ∵点P在AB,AC的垂直平分线上,(已知) B ∴PA=PB,PA=PC.(线段垂直平分线上的点到线 段两端的距离相等). ∴PB=PC.(等量代换) ∴P点在BC的垂直平分线上.(到线段两端距离相 等的点在线段的垂直平分线上).

P ┐

C

这个例子说明:三角形三边的垂直平分线 相交于一点,这点到三角形三个顶点的距 离相等.

思考:生活中的数学

某区政府为了方便居民的生 活,计划在三个住宅小区A、B 、C之间修建一个购物中心,试 问,该购物中心应建于何处, 才能使得它到三个小区的距离 相等。

A

·
B
C

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基础练习:
如图,判断下列各结论的正误:
(1)若PA=PB,则OP垂直平分AB. ( (2)若PA=PB,则点P在线段AB的 )

垂直平分线上. (



A

(3)若PA=PB,OA=OB,

则OP垂直平分AB . (



B

生活中的数学

A

在某高速公路L的同侧,有两个工厂A、B, 为了便于两厂的工人看病,市政府计划在公 路边上修建一所医院,使得两个工厂的工人 都没意见,问医院的院址应选在何处?你的 方案是什么?

老师期望: 养成用数学解 释生活的习惯.

B
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L

高 速 公 路

分别作出直角三角形、锐角三角形、钝角三角形 三边的垂直平分线,说明交点分别在什么位置.

锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内; 直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上;钝角三 角形三边的垂直平分线交点在三角形外.

证明线段相等的新方法:利用 ? 一个方法 线段垂直平分线的性质。 线段垂直平分线上的点与线段 两端的距离相等。 条线段的垂直平分线上。

? 两条定理 与线段两端距离相等的点在这
折纸; 过中点做垂线; 尺规作图法

? 三种作图

1、必做作业:

(1)课本:P 130 练习1,2 ,3 P 130 习题15.2 第1、2、3、4题 2、选做作业:青岛国际帆船中心要修建一处公共服 务设施,使它到三所运动员公寓A、B、C的距离相 等。 ?A 若三所运动员公寓A、B、C的 位置如图所示,请在图中确定 这处公共服务设施P的位置; ? B C?



见!

15


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