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第2章_二次函数知识点

发布时间:2014-01-19 12:56:25  

二次函数

一、二次函数所描述的关系

1、二次函数的定义:一般地,形如y?ax?bx?c(a,b,c是常数,a?0)的函数叫做x的二次函数。

2、列函数关系式(重点):因变量&自变量

二、 结识抛物线

1、 二次函数y?ax的图象的画法(重点):描点法:列表——描点——连线

2、 二次函数y?ax的图象的性质(难点)

对称图形,对称轴是y轴,顶点是原点(0,0)——顶点是指对称轴与抛物线的交点。

当a>0时,开口向上,在y轴左边,下降趋势;在y轴右边,上升趋势。顶点处取得最小值0。

当a<0时,开口向下,在y轴左边,上升趋势;在y轴右边,下降趋势。顶点处取得最大值0。

三、 刹车距离与二次函数

1、二次函数y?ax中的a的作用:(1)a的符号决定抛物线的开口方向(2)a的值决定抛物线的形状和开口大小

2、比较y?ax(a?0)与y?ax?c(a?0)的图象的异同(难点)

二次函数y?ax?c(a?0)的图象是一条抛物线,它的对称轴是y轴,顶点坐标是(0,c)。对于y?ax(a?0)和22222222

y?ax2?c(a?0)的图象,形状相同,只是位置不同。y?ax2?c(a?0)可以看做是把y?ax2(a?0)的图象向上(c>0)或向下(c<0)平移|c|个单位长度得到的。

四、 二次函数y?ax?bx?c的图象

1、二次函数y?ax?bx?c的图象的平移

(1)二次函数y?ax?k的图象可由抛物线y?ax向上(或向下)平移而得到。

(2)二次函数y?a(x?h)的图象可由抛物线y?ax向左(或向右)平移而得到。

(3)二次函数y?a(x?h)?k的图象可由抛物线y?ax向左(或向右)平移再向上(或向下)平移|k|个单位而得到。

2、配方法及二次函数y?ax?bx?c的图象的基本特征(重点)

(1)二次函数的一般式y?ax?bx?c(a?0)与顶点式y?a(x?h)?k可互相转化。

①通过去括号,合并同类项可将顶点式化为一般式。

②利用配方法可将一般式y?ax?bx?c(a?0)转化为顶点式y?a(x?h)?k。

(2)二次函数y?ax?bx?c的图象是一条抛物线,它与抛物线y?ax的形状相同,只是位置不同,它的对称轴是直222222222222222

b4ac?b2b,)。 线x??,顶点坐标是(?2a4a2a

3、二次函数y?ax?bx?c的性质(重点)

2

2 4、二次函数y?ax?bx?c的图象特征与a、b、c的符号之间的关系(难点)

五、 用三种方式表示二次函数

1、二次函数的三种表示方式(重点):表达式法、表格法、图象法

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2、用待定系数法求二次函数的表达式(难点)

二次函数的表达式有三种形式:

(1)一般式:y?ax?bx?c (a、b、c为常数,a?0) 已知抛物线上三个点的坐标时。

(2)顶点式:y?a(x?h)?k (a、h、k为常数,a?0) 已知条件与抛物线顶点坐标有关时。

(3)两根式:y?a(x?x1)(x?x2) (a,x1,x2为常数,a?0) 已知抛物线与x轴两交点时。

注意:当抛物线关于y轴对称时,b=0,抛物线为y?ax?c ;

当抛物线经过原点时 , 抛物线为y?ax?bx ;

当抛物线顶点在原点时 , 抛物线为y?ax 。

六 何时获得最大利润

1、自变量x取全体实数时二次函数的最值

求y?ax?bx?c(a?0)当x取全体实数时y的最值:有三种方法:配方法、公式法、判别式法。

2、自变量x在一定范围内取值时求二次函数的最值(难点)

第1类:x??

第2类:x??222222b在x1?x?x2(x1?x2)范围内时: 2ab不在x1?x?x2(x1?x2)范围内时: 2a

3、二次函数最值的应用问题(重点)

一般步骤:(1)把实际问题转化为二次函数;(2)利用二次函数的最大值或最小值解决实际问题。

七 最大面积是多少

1、长方形的最大面积是多少

当题目中要求矩形的最大面积时,通常用含有自变量x的代数式表示矩形的长与宽,根据矩形的面积公式构造关于x的二次函数,再利用二次函数的图象和性质,求出二次函数的最大值,同时要注意自变量的取值范围。

2、卡车过桥问题

求出函数表达式后有两种方法判断卡车能否从桥下通过:

(1) 固定卡车的宽,看桥是否足够高(相当于告诉x的值,求y的值,然后把限制的高的值与y的值比较大小);

(2) 固定卡车的高,看抛物线是否够宽(相当于告诉y的值,然后再根据函数表达式求x的值,再与限制的宽的值比较

大小)。

八 二次函数与一元二次方程

1、二次函数y?ax?bx?c与一元二次方程ax?bx?c?0的关系(重点)

二次函数y?ax?bx?c的图象与x轴的交点有三种情况:

(1)当b?4ac>0时,有两个交点;

(2)当b?4ac=0时,有一个交点恰好就是抛物线的顶点;

(3)当b?4ac<0时,没有交点。与一元二次方程之间的关系。

2、利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根

(1) 画出函数y?ax?bx?c的图象;

(2) 确定抛物线与x轴交点的个数,看交点在哪两个数之间;

(3) 列表,在两个数之间取值估计,并用计算器估算近似根,近似根在对应y值的正负交换的地方,当x由x1取到x2时,

对应的y值出现y1>0 ,y2<0时,则x1、x2中必有一个是方程的近似根。再比较|y1|和|y2|,若,则x1是方程的近似根;若|y1|>|y2|,则x2是方程的近似根。一般需要我们求近似根的方程,其根往往是无理数,所以列表时不可能取到精确根。

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