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第二讲 勾股定理逆定理

发布时间:2014-01-19 17:04:34  

第二讲 勾股定理逆定理

【典型例题A】

类型一、原命题与逆命题

1、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确

1.原命题:猫有四只脚.

2.原命题:对顶角相等.

3.原命题:线段垂直平分线上的点,到这条线段两端点的距离相等.

4.原命题:角平分线上的点,到这个角的两边距离相等.

【变式】下列命题中,其逆命题成立的是______________.(只填写序号) ①同旁内角互补,两直线平行;

②如果两个角是直角,那么它们相等;

③如果两个实数相等,那么它们的平方相等;

④如果三角形的三边长满足,那么这个三角形是直角三角形.类型二、勾股定理的逆定理

2、判断由线段组成的三角形是不是直角三角形.

(1)=7,=24,=25;

(2)=,=1,=;

(3),,();

1

【变式1

】判断以线段

为边的△ABC是不是直角三角形,其中,,.

【变式2】一个三角形的三边之比是3:4:5 则这个三角形三边上的高之比是( )

A.20:15:12 B.3:4:5 C.5:4:3 D.10:8:2

3、如图所示,在四边形ABCD中,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,∠B=∠90°,求四边形ABCD的面积

【变式】如图所示,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠A=90°,AB=2,BC=3,CD=1,E是AD中点,试判断EC与EB的位置关系,并写出推理过程.

类型三、勾股定理逆定理的实际应用

4、“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里,它们离开港口一个半小时后相距30海里,如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?

【典型例题B】

2

类型一、原命题与逆命题

1、写出下列命题的逆命题,并判断其真假:

(1)同位角相等,两直线平行;

(2)如果,那么;

(3)等腰三角形两底角相等;

(4)全等三角形的对应角相等.

(5)对顶角相等.

(6)线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.

【变式】下列定理中,有逆定理的个数是( )

①有两边相等的三角形是等腰三角形;②若三角形三边三角形;③全等三角形对应角相等;④若,则. 满足,则该三角形是直角

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 类型二、勾股定理逆定理的应用

3

2、如图所示,四边形ABCD中,AB⊥AD,AB=2,AD=,CD=3,BC=5,求∠ADC的度数.

【变式1】△ABC三边满足,则△ABC是( )

A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形

【变式2】

如图所示,在△ABC中,已知∠ACB=90°,AC=BC,P是△ABC内一点,且PA=3,PB=1,PC=CD=2,CD⊥CP,求∠BPC的度数.

3、如图所示,在平面直角坐标系中,直线与轴交于点B,与轴交于点A,直线与轴交于点C,同时也过点A.请判断两直线有怎样的位置关系,并说明理由.

类型三、勾股定理逆定理的实际应用

4

4、如图所示,MN

以左为我国领海,以右为公海,上午9时50分我国缉私艇A发现在其正东方向有一走私艇C并以每小时13海里的速度偷偷向我国领海开来,便立即通知距其5海里,并在MN线上巡逻的缉私艇B密切注意,并告知A和C两艇的距离是13海里,缉私艇B测得C与其距离为12海里,若走私艇C

的速度不变,最早在什么时间进入我国海域?

【巩固练习A】

一、选择题

1. 在三边分别为下列长度的三角形中,不是直角三角形的是( )

A. 9,12,15 B. 2,3, C. 1, D. 4,7

,5

2. 下列各命题的逆命题成立的是( )

A. 全等三角形的对应角相等

B. 如果两个数相等,那么它们的绝对值相等

C.两直线平行,同位角相等

D. 如果两个角都是45°,那么这两个角相等.

3. 下列线段不能组成直角三角形的是( ).

A. B.

C. D.

4. 下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比,其中不是直角三角形的是( ).

A. 1∶1

∶2 B. 1∶3∶4

C. 9∶25∶26 D. 25∶144∶169

5.已知三角形的三边长为(其中

),则此三角形( ).

A. 一定是等边三角形 B. 一定是等腰三角形

C. 一定是直角三角形 D. 形状无法确定

6.三角形的三边长分别为 、、(都是正整数),则这个三角形是(

A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定

二、填空题

5 )

7.若一个三角形的三边长分别为6,8,10,则这个三角形中最短边上的高为______.

8. 已知两条线段的长分别为11

角形.

9.

已知,则由此为边的三角形是______三角形. 和60,当第三条线段的长为___时,这3条线段能组成一个直角三

10.在△ABC中,若其三条边的长度分别为9、12、15,则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是____.

11.若一个三角形的三边之比为5:12:13,且周长为60,则它的面积为______.

12.如图,AB=5,AC=3,BC边上的中线AD=2,则△ABC的面积为______.

三、解答题

13.已知:如图,四边形ABCD中,AB⊥BC,AB=1,BC=2,CD=2,AD=3,求四边形ABCD的面积.

14.已知:如图,在正方形ABCD中,F为DC的中点,E为CB的四等分点且CE=,求证:AF⊥FE.

15.在B港有甲、乙两艘渔船,若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进,乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进,2小时后,甲船到M岛,乙船到P岛,两岛相距34海里,你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?

【巩固练习B】

6

一、选择题

1.(2012?广西)已知三组数据:①2,3,4;②3,4,5;③1,

形的三边长,构成直角三角形的有( )

A.② B.①② C.①③ D.②③

2. 下列三角形中,不是直角三角形的是( ) ,2.分别以每组数据中的三个数为三角

A. 三个内角之比为5∶6∶1 B. 一边上的中线等于这一边的一半

C. 三边之长为20、21、29 D. 三边之比为1.5 : 2 : 3

3. 下列命题中,不正确的是( )

A. 三个角的度数之比为1:3:4的三角形是直角三角形;

B. 三边之比为1: :2的三角形是直角三角形;

C. 三个角的度数之比为1:2:2的三角形是直角三角形;

D. 三边之比为::2的三角形是直角三角形.

4. 如图,在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段,其中能构成一个直角三角形三边的线段是( )

A.CD、EF、GH B.AB、EF、GH C.AB、CF、EF D.GH、AB、CD

(4)(5)

5.五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将他们摆成两个直角三角形,其中正确的是( ) 6.

①为直角三角形的三边,且为斜边,为斜边上的高,下列说法: 能组成三角形 能组成一个三角形 ②

③能组成直角三角形 ④能组成直角三角形

其中正确结论的个数是( )

A.1 B.2 C.3 D.4

7

二、填空题

7.若△ABC中,,则∠B=____________.

8.如图,正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则网格上的△ABC是______三角形.

9.若一个三角形的三边长分别为1、

___

10.△ABC的两边

___.

11.有两根木条,长分别为60

对的边)长度的取值范围_________. 和80,现再截一根木条做一个钝角三角形,则第三根木条(钝角所分别为5,12,另一边为奇数,且是3的倍数,则应为___此三角形为、8(其中为正整数),则以、、为边的三角形的面积为

12. 如果线段能组成一个直角三角形,那么____组成直角三角形.(填“能”或“不能”).

三、解答题

13.已知是△ABC的三边,且,试判断三角形的形状.

14.观察下列各式:

现其中的规律?请用含

,,,,…,你有没有发的代数式表示此规律并证明,再根据规律写出接下来的式子.

8

15.

在等边△ABC内有一点P,已知PA=3,PB=4,PC=5.现将△APB绕A点逆时针旋转60°,使P点到达Q点,连PQ,猜想△PQC的形状,并论证你的猜想.

9

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