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第一讲 勾股定理

发布时间:2014-01-19 17:04:41  

第一讲 勾股定理

【典型例题A】

类型一、勾股定理的直接应用

1、在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.

(1)若a=5,b=12,求c;

(2)若c=26,b=24,求a.

【变式】在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.

(1)已知b=2,c=3,求a;

(2)已知a:c=3:5,b=32,求a、c.

类型二、勾股定理的证明

2、如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AM是中线,MN⊥AB,垂足为N,试说明.

类型三、利用勾股定理作长度为√n的线段

3

、作长为

、、的线段.

类型四、利用勾股定理解决实际问题

4、一圆形饭盒,底面半径为8

可正好盖上盒盖? ,高为12,若往里面放双筷子(精细不计),那么筷子最长不超过多少,

1

【变式】如图所示,一旗杆在离地面

5处断裂,旗杆顶部落在离底部12处,则旗杆折断前有多高?

5、如图,矩形纸片ABCD中,已知AD=8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合,点B落在点F 处,折痕为AE,且EF=3,则AB的长为( )

A.3 B.4

C.5 D.6

【典型例题B】

类型一、勾股定理的应用

1、如图所示,在多边形ABCD中,AB=2,CD=1,∠A=45°,∠B=∠D=90°,求多边形ABCD的面积.

【变式】如图所示,在△ABC中,∠A=45°,,,求BC的长.

2

2、已知直角三角形斜边长为

2,周长为

,求此三角形的面积.

3、如图,矩形纸片ABCD中,已知AD=8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合,点B落在点F 处,折痕为AE,且EF=3,则AB的长为( )

A.3 B.4 C.5 D.6

类型二、利用勾股定理解决实际问题

4、如图所示,在一棵树的10高的B处有两只猴子,一只爬下树走到离树20处的池塘A处,另外一只爬到树顶D后直接跃到A处,距离的直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,试问这棵树有多高?

【变式】如图①,有一个圆柱,它的高等于12,底面半径等于3,在圆柱的底面A点有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物,需要爬行的最短路程是多少?(π取3)

【巩固练习A】

3

一、选择题 1. 在△ABC中,AB=12,AC=9,BC=15,则△ABC的面积等于( )

A. 108 B. 90 C. 180 D. 54

,则的值可能有( ) 2.若直角三角形的三边长分别为2,4,

A. 1个 B. 2个

C. 3个 D. 4个

3. 小明想知道学校旗杆的高度,他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后,发现下端刚好接触地面,则旗杆的高是( )

A.12米 B.10米 C.8米 D.6米

4.Rt△ABC中,斜边BC=2,则的值为( )

A. 8 B. 4 C. 6 D. 无法计算

5.如图,△ABC中,AB=AC=10,BD是AC边上的高线,DC=2,则BD等于( )

A. 4 B. 6 C. 8 D.

(5)(6)(9)(10)

6.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,若AB=15

A. 150

C. 225 ,则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为( ) B. 200 D. 无法计算

二、填空题

7. 在直角坐标系中,点P(-2,3)到原点的距离是_______.

8.甲、乙两人同时从同一地点出发,已知甲往东走了4,乙往南走了3,此时甲、乙两人相距___.

9.如图,有一块长方形花圃,有少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”,他们仅仅少走了_____路,却踩伤了花草.

4

10.如图,有两棵树,一棵高

8

树梢,至少要飞______. ,另一棵高2,两树相距8,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的

11.如图,直线经过正方形ABCD的顶点B,点A、C到直线的距离分别是1、2,则正方形的边长是______.

(11)

12. 如图,在矩形纸片ABCD中,AB=2

AC上的点重合,则AC=______. (12) ,点E在BC上,且AE=EC.若将纸片沿AE折叠,点B恰好与

三、解答题

13. 如图四边形ABCD的周长为42,AB=AD=12,∠A=60°,∠D=150°,求BC的长.

14. 已知在三角形ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,CD=3,BD=5,求AC的长.

15. 如图,将矩形ABCD沿EF折叠,使点D与点B重合,已知AB=3,AD=9,求BE的长.

5

【巩固练习B】

一、选择题

1.如图,数轴上点A所表示的数为

A. B.,则的值是( ) D. C.

(1)

2.若直角三角形的三边长分别为3,4,

A. 5 B.

C. 5或 D. 7 ,则 的值为( ) (3)(4)

3. 如图所示,折叠矩形ABCD一边,点D落在BC边的点F处,若AB=8

A.3 B.4 C.5 D.6 ,BC=10,EC的长为( ).

4.如图,矩形AOBC中,点A的坐标为(0,8),点D的纵坐标为3,若将矩形沿直线AD折叠,则顶点C恰好落在

边OB上E处,那么图中阴影部分的面积为( )

A. 30 B.32 C.34 D.16

5.如图,已知△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,三角形的顶点在相互平行的三条直线

之间的距离为2 , ,之间的距离为3 ,则AC的长是( ) ,,上,且,

A. B. C. D.7

6. 在△ABC中,AB=15,AC=13,高AD=12则, △ABC的周长为( )

A. 42 B. 32 C. 42或32 D. 37或33

6

二、填空题

7.若一个直角三角形的两边长分别为12和5,则此三角形的第三边长为______.

8. 如图,将长8,宽4的矩形纸片ABCD折叠,使点A与C重合,则折痕EF的长为__________.

(8)

9.如图,在(9)(10) 的正方形网格中,以AB为边画直角△ABC,使点C在格点上,这样的点C共______个.

10. 如图,每个小正方形的边长为1,在△ABC中,点D为AB的中点,则线段CD的长为__________.

11. 已知长方形ABCD,AB=3,AD=4,过对角线BD的中点O做BD的垂直平分线EF,分别交AD、BC于点E、F,则AE的长为_______________.

(11)(12)

12.在直线上依次摆着7个正方形(如图),已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1,2,3,水平放置的4个正方形的面积是则______.

三、解答题

13. 如图,Rt△ABC中,∠C=90o,AD、BE分别是BC、AC边上的中线,AD=2,BE=5,求AB的长.

14. 现有10个边长为1的正方形,排列形式如左下图, 请把它们分割后拼接成一个新的正方形.要求: 在左下图中用实线画出分割线, 并在右下图的正方形网格图(图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的

7

新正方形

.

15. 将一副三角尺如图拼接:含30°角的三角尺(△ABC)的长直角边与含45°角的三角尺(△ACD)的斜边恰好重合.已知AB=2,P是AC上的一个动点.

(1)当点P在∠ABC的平分线上时,求DP的长;

(2)当点PD=BC时,求此时∠PDA的度数.

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