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2014.1北京东城区数学初三期末试卷及答案

发布时间:2014-01-20 09:57:45  

东城区2013—2014学年第一学期期末统一测试 初三数学 2014.1

学校 班级 姓名 考号

一、选择题(本题共32分,每小题4分)

下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的. ..

1.以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志,其中为中心对称图形的是

2.用配方法解方程x - 2x - 1=0时,配方后得到的方程为

A.(x?1)2?0 B.(x?1)2?0 C.(x?1)2?2 D.(x?1)2?2 2

3.袋子中装有4个黑球和2个白球,这些球的形状、大小、质地等完全相同,在看不到球的条件下,随机地从袋子中摸出三个球.下列是必然事件的是

A.摸出的三个球中至少有一个球是黑球

B.摸出的三个球中至少有一个球是白球

C.摸出的三个球中至少有两个球是黑球

D.摸出的三个球中至少有两个球是白球

4.如图,已知⊙O是△ABD的外接圆,AB是⊙O的直径,

CD是⊙O的弦,∠ABD=58°,则∠BCD等于

A.116° B.64° C.58° D.

5.如图,电线杆上的路灯距离地面8米,身高1.6米的小明

(AB)站在距离电线杆的底部(点O)20米的A处, 则小

明的影子AM长为

A.4米 B.5米

C.6米 D.8米

6.二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论中正

确的是

A.a>0 B.当 -1<x<3时,y>0

C.c<0 D.当x≥1时,y随x的增大而增大

2

7.如图,四边形ABCD是菱形,∠A=60°,AB=2,扇形BEF的半

径为2,圆心角为60°,则图中阴影部分的面积是

A.2π

3

B.2π3

8.如图,正方形ABCD中,AB=8cm,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别从B,C两点同时出发,以1cm/s的速度沿BC,CD运动,到点C,D

时停止运动.设运动时间为t(s),△OEF的面积为S(cm2),则S(cm2)与t(s)

的函数关系可用图象表示为

C.π

D.π

A B C D

二、填空题(本题共16分,每小题4分)

9.若关于x的一元二次方程kx2?2x?1?0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围

是 .

10.请写出一个开口向上,并且与y轴交于点(0,-1)的抛物线的解析式__________.

11.如图,在Rt△OAB中,∠B=90°∠AOB=30°,将△OAB绕

点O逆时针旋转100°得到△OA1B1,则∠A1OB=.

12.射线QN与等边△ABC的两边AB,BC分别交于点MN,且AC∥QN,AM=MB=2cm,QM=4cm.动点P点Q出发,沿射线QN以每秒1cm

经过t秒,以点P为半径的圆与△的边相切,请写出t可取的所有

值 .

三、解答题(本题共30分,每小题5分)

13.解方程:x2?10x?9?0.

14.如图,△ABC和△A?B?C?是两个完全重合的直角三角板,?B??B??30?,

斜边长为10cm.三角形板A?B?C?绕直角顶点C顺时针旋转,当点A?落

AA?. 在AB边上时,求C?A?旋转所构成的扇形的弧长?

15.如图,在平行四边形ABCD中,E为CD上一点,连结AE,BD,且AE,BD交于点F,S△DEF∶

S△ABF = 4∶25,求DE∶EC的值.

16.二次函数y?ax2?bx?c的图象与x轴交于点

A

C

(0,-

5),且经过点D(3,-8).

1)求此二次函数的解析式和顶点坐标;

(2)请你写出一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在原点处,并写出平移后抛物线的解

析式.

17.画图:

(1)如右图,已知△ABC和点O.将△ABC绕点O顺时针旋转90°

得到△A1B1C1,在网格中画出△A1B1C1;

(2)如图,AB是半圆的直径,图1中,点C在半圆外;图2中,

点C在半圆内,请仅用无刻度的直尺(只能画线)按要求画图. ...

(i)在图1中,画出△ABC的三条高的交点;

(ii)在图2中,画出△ABC中AB边上的高.

18.如图,⊙O的半径OD⊥弦AB于点C,连结AO并延长交⊙O于点E,连结EC.若AB=8,CD=2,

求EC的长.

四、解答题(本题共20分,每小题5分)

19.如图,有四张背面相同的纸牌A,B,C,D,其正面分别是红桃、方块、黑桃、梅花,其中红

桃、方块为红色,黑桃、梅花为黑色.小明将这4张纸牌背面朝上洗匀后,摸出一张,将剩余3张洗匀后再摸出一张. 请用画树状图或列表的方法求摸出的两张牌均为黑色的概率.

20.在一幅长8分米,宽6分米的矩形风景画(如图①)的四周镶宽度相同的金色纸边,制成一幅

矩形挂图(如图②).如果要使整个挂图的面积是80平方

分米,求金色纸边的宽.

21.在Rt△ACB中,∠C=90°,点O在AB上,以O为圆心,OA

长为半径的圆与AC,AB分别交于点D,E,且∠CBD=∠A.

(1)判断直线BD与⊙O的位置关系,并证明你的结论;

(2)若AD∶AO=8∶5,BC=3,求BD的长.

图① 图②

22.阅读理解:

如图1,若在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E与点A,B不重合),分别连结ED,EC,可以把四边形ABCD分成三个三角形,如果其中有两个三角形相似,我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点;如果这三个三角形都相似,我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点.解决问题:

(1)如图1,若∠A=∠B=∠DEC=55°,试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点,

并说明理由;

(2)如图2,在矩形ABCD中,AB=5,BC=2,且A,B,C,D四点均在正方形网格(网格中每

个小正方形的边长为1)的格点(即每个小正方形的顶点)上,试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E;

拓展探究:

(3)如图3,将矩形ABCD沿CM折叠,使点D落在AB边上的点E处.若点E恰好是四边形

BCABCM的边AB上的一个强相似点,请直接写出的值.

AB

图1 图2 图3

五、解答题(本题共22分,第23题7分,第24题7分,第25题8分)

23.已知二次函数y?a(x?m)?2a(x?m)(a, m为常数,且a≠0).

(1)求证:不论a与m为何值,该函数的图象与x轴总有两个公共点;

(2)设该函数的图象的顶点为C,与x轴交于A,B两点,当△ABC是等腰直角三角形时,求a

的值.

24.如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置,其中?C?90?, 2

?B??E?30?.

(1)操作发现

如图2,固定△ABC,使△DEC绕点C

点D恰好落在AB边上时,填空:

① 线段DE与AC的位置关系是 ;

② 设△BDC的面积为S1,△AEC的面积为S2,则S1与S2的数量关系是结论;

(2)猜想论证

当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时,小明猜想(1)中S1与

S2的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC,

CE边上的高,请你证明小明的猜想.

图3

25.在平面直角坐标系xOy中,二次函数y??x?(m?1)x?4m的图象与x轴负半轴交于点A,与y

轴交于点B(0,4),已知点E(0,1).

(1)求m的值及点A的坐标;

(2)如图,将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′,连结A′B、BE′.

①当点E′落在该二次函数的图象上时,求AA′的长; 2

②设AA′=n,其中0<n<2,试用含n的式子表示A′B2+BE′2,并求出使A′B2+BE′2取得最小值时点E′的坐标;

③当A′B+BE′取得最小值时,求点E′的坐标.

东城区2013-2014学年第一学期期末统一测试 初三数学参考答案及评分标准 2014.1

三、解答题(本题共30分,每小题5分) 13.解方程:x?10x?9?0.

解:变形为 错误!未找到引用源。. ………………..1分

配方,x?10x?25??9?25错误!未找到引用源。. …………..……..2分 整理,得(x?5)?16. ………………..3分 解得,x1?1,

x2?9错误!未找到引用源。. ………………..5分

2

2

2

14.解:由题意可求,∠AC A′=60°,CA=5. ………………..2分

60π?55πAA???cm. ………………..5分 所以?

1803

15.解:∵ 四边形ABCD是平行四边形, ∴ AB∥CD.

∴ △DEF∽△BAF. ………………..1分 ∴ ∴

S△DEFS△ABF

4?DE?

??=. ………………..2分 ?AB25??

2

. ………………..3分

AB5

又∵ AB?CD, ………………..4分 ∴ DE∶EC=2∶3 . ………………..5分

16.解:(1)由题意,有

?a?b?c?0,??解得?b??4, ?c??5,

?c??5.?9a?3b?c??8.

??

DE

=

2

?a?1,

∴此二次函数的解析式为y?x?4x?5. ………………..2分 ∴y?(x?2)?9,顶点坐标为(2,-9). ………………..4分

2

2

(2)先向左平移2个单位,再向上平移9个单位,得到的抛物线的解析

式为y = x2.

………………..5分

17.(1)

………………..3分

(2)(i)如图1,点P就是所求作的点;

(ii)如图2,CD为AB边上的高.

图1 图2 ………………..5分

18.解:∵ OD⊥AB,

1 ∴ AC=BC?AB. ………………..1分 2

设AO = x.

在Rt△ACO中,AO?AC?OC.

∴ x?4?(x?2).

解得 x?5. ………………..2分

∴ AE=10,OC=3. ………………..3分

连结BE.

∵ AE是直径,

∴ ∠ABE=90°.

由OC是△ABE的中位线可求 BE?2OC?6. ………………..4分 在Rt△CBE中,CE?BC?BE.

CE???. ………………..5分

四、解答题(本题共20分,每小题5分)

222

222222

20.解:设金色纸边的宽为x分米 . ………………..1分

根据题意,得

(2x+6)(2x+8)=80. ………………..3分 解得:x1=1,x2=-8(不合题意,舍去). ………………..4分 答:金色纸边的宽为1分米. ………………..5分

21.解:(1)直线BD与⊙O的位置关系是相切.

证明:连结OD,DE.

∵∠C=90°,

∴∠CBD +∠CDB=90°.

∵∠A=∠CBD,

∴∠A+∠CDB=90°.

∵OD = OA,

∴∠A=∠ADO.

∴∠ADO + ∠CDB=90°.

∴∠ODB = 180° - 90°=90°.

∴OD⊥BD.

∵OD为半径,

∴BD是⊙O切线. ………………..2分

(2)∵AD : AO=8 : 5,

AD8∴=. AE10

∴由勾股定理得AD : DE : AE = 8 : 6 : 10.

∵∠C=90°,∠CBD=∠A.

∴△BCD∽△ADE.

∴DC : BC :

BD

= DE : AD : AE=6 : 8 : 10.

∵BC=3,

15∴BD=. ………………..5分

五、解答题(本题共22分,第23题7分,第24题7分,第25题8分)

23. 解:(1)证明:

y?a(x?m)?2a(x?m)

?ax?(2am?2a)x?am?2am. ……………………………..1分 222

当a?0时,?=(2am?2a)?4a(am?2am)22

2?4a. …………………………..2分

∵a?0,

∴4a?0.

∴不论a与m为何值,该函数的图象与x轴总有两个公共点.…………..3分

(2)

y?a(x?m)?2a(x?m)

=a(x?m?1)?a. ?C(m?1,?a).…………………………4分 当y=0时, 解得x1 = m,x2 = m + 2. 222

∴AB=(m + 2)- m = 2. ………………………………..5分

当△ABC是等腰直角三角形时,可求出AB边上高等于1.

∴ ?a?1.

∴ a??1. ……………………………………………..7分

24.解:(1)①线段DE与AC的位置关系是

…………………..1分 ②S1与S2的数量关系是 相等 .

证明:如图2,过D作DN⊥AC交AC于点N,过E作EM⊥AC交AC延长线于M,过C作CF⊥AB交AB于点F.

由①可知 △ADC是等边三角形,DE∥AC,

∴DN=CF, DN=EM.

∴CF=EM.

∵?ACB?90?,?B?30?,

∴AB?2AC.

又∵AD?AC,

∴BD?AC. 图2 11∵S1?CF?BD,S2?AC?EM, 22

∴S1=S2. …………………..3分

(2)证明:如图3,作DG⊥BC于点G,AH⊥CE交EC延长线于点H.

∵?DCE??ACB?90?,??DCG??ACE?180?.

又∵?ACH??ACE?180?,??ACH??DCG.

又∵?CHA??CGD?90?,AC?CD,

∴△AHC≌△DGC.

∴AH=DG.

又∵CE=CB, 图3 ∴S1?S2. ……………………..7分

25.解:(1)由题意可知 4m?4,m?1.

∴ 二次函数的解析式为y??x?4.

∴ 点A的坐标为(- 2, 0). …………………………..2分

(2)①∵ 点E(0,1),由题意可知, 2

?x?4?1.

解得

x?

∴ AA

……………………………..3分

②如图,连接EE′.

由题设知AA′=n(0<n<2),则A′O = 2 - n.

在Rt△A′BO中,由A′B= A′O+ BO,

得A′B=(2–n)+ 4= n- 4n + 20.

∵△A′E′O′是△AEO沿x轴向右平移得到的,

∴EE′∥AA′,且EE′=AA′.

∴∠BEE′=90°,EE′=n.

又BE=OB - OE=3.

∴在Rt△BE′E中,BE′= E′E+ BE= n+ 9,

∴A′B+ BE′= 2n- 4n + 29 = 2(n–1)+ 27.

2 2当n = 1时,A′B+ BE′可以取得最小值,此时点E′的坐标是(1,1).

……………………………..5分 ③如图,过点A作AB′⊥x轴,并使AB′ = BE = 3.

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22

易证△AB′A′≌△EBE′,

∴B′A′ = BE′,

∴A′B + BE′ = A′B + B′A′.

当点B,A′,B′在同一条直线上时,A′B + B′A′最小,即此时A′B+BE′取得最小值. 易证△AB′A′∽△OBA′, ∴AA?AB?3

A?O?OB?4,

∴AA′=3

7?2?6

7,

∴EE′=AA′=6

7,

∴点E′的坐标是(67,1).

………………………………………….8分

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