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猜想、证明与拓广

发布时间:2014-01-20 10:47:07  

课题学习
猜想,证明与拓广

猜想,证明与拓广
1.任意给定一个正方形,是否存在另一个正方形, 它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的 2倍? 2.你准备怎么去做? 3.你有哪些解决方法?

解:设给定的正方形边长为a,则其面积是a2. 若周长倍增,即边长变为2a,则面积应为4a2;
2a 4a2

a2
a

2a

2a2

若面积倍增,即面积变为2a2,则其边长应为 2 a. 无论从哪个角度考虑,都说明不存在这样的正方形

你能提出新的问题吗? 任意给定一个等边三角形,是否存在另一个等边 三角形,它的周长和面积分别是已知等边三角形 周长和面积的2倍? 任意给定一个圆,是否存在另一个圆,它的周长和 面积分别是已知圆周长和面积的2倍? 结论:实际上,任给一个几何图形(非线段),不 存在另一个与它相似的图形,其周长和面积分别是 已知图形周长和面积的2倍。

任意给定一个矩形,是否存在另一个矩形,它的周 长和面积是已知矩形周长和面积的2倍?
提示: 矩形的形状太多了我们可以先研究一个具体的矩 形,比如长和宽分别为2和1,怎么样?

由特殊到一般 解:如果矩形的长和宽分别为2和1,那么其周长和 面积分别为6和2.
12
4

1

2 2

所求矩形的周长和面积应分别为12和4. 接下来该怎么做?你有何想法? 有两种思路可供选择: 先从周长是12出发,看面积是否是4; 或先从面积是4出发,看周长是否是12.

(1)从周长是12出发,看面积是否是4; 如果设所求矩形的长为x,那么它宽为6-x,其面积为 x(6-x).根据题意,得 x(6-x)=4. 即 x2-6x+4=0. 如果这个方程有解,则说明这样的矩形存在. 解这个方程得: x1 ? 3 ? 5, x2 ? 3 ? 5.

结论:如果矩形的长和宽分别为2和1,那么存在另 一个矩形,它的周长和面积是已知矩形周长和面 积的2倍.

(2)从面积是4出发,看周长是否是12. 解:如果设所求矩形的长为x,那么宽为4/x,其周长 为x+4/x).根据题意,得 x+4/x=6. 即 x2-6x+4=0. 显然这个方程有解,由此说明这样的矩形存在. 解这个方程得: x1 ? 3 ? 5, x2 ? 3 ? 5.

结论:如果矩形的长和宽分别为2和1,那么存在另 一个矩形,它的周长和面积是已知矩形周长和面积 的2 倍.

由特殊到一般 如果已知矩形的长和宽分别为3和1,是否还有相同 的结论? 如果已知矩形的长和宽分别为4和1,5和1,??,n 和1 呢? 更一般地,当已知矩形的长和宽分别为m和n时,是 否仍然有相同的结论? 还等什么!用实际行动证明.

由特殊到一般 分析:如果矩形的长和宽分别为m和n,那么其周长和 面积分别为2(m+n)和mn,所求矩形的周长和面积 应分别为4(m+n)和2mn. 从周长是4(m+n)出发,看面积是否是2mn; 解:如果设所求矩形的长为x,那么它宽为2(m+n)-x, 其面积为x[2(m+n)-x].根据题意,得 x[2(m+n)-x]=2mn. 即 x2-2(

m+n)x+2mn=0. 解这个方程得: x1 ? m ? n ? n 2 ? m 2 , x2 ? m ? n ? m 2 ? n 2 .

若从面积是2mn出发,可得同样的结论.

结论:任意给定一个矩形,必然存在另一个矩形,它 的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍.
在探索结论:“任意给定一个矩形,必然存在另一 个矩形,它的周长和面积是已知矩形周长和面积 的2倍.”的过程中,我们经历了猜想,由特殊到 一般的尝试,证明,拓广的全过程,从而得到了一 般性的结论.

任意给定一个矩形,是否一定存在另一个矩形,它的 周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半? 你准备怎么去做?

小明认为,这个结论是肯定的,理由是:既然任意给 定一个矩形,必然存在另一个矩形,它的周长和面 积是已知矩形周长和面积的2倍.也就是任何一个 矩形的周长和面积可以同时“加倍”,那么,原矩形 自然满足新矩形的“减半”要求,即原矩形的周长 和面积分别是新矩形周长和面积的一半.
例如, 长和宽分别为 3 ? 5和3 ? 5的矩形(记为A, 其周长和 面积分别为 12和4),是由长和宽分别为 2和1的矩形(记为B) " 加倍"而来的因而矩形 B的周长和面积分别是 A是的周长 和面积的一半 .你同意小明的观点吗 ?

由特殊到一般 如果矩形的长和宽分别仍为2和1,那么是否存在一 个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形的周长和 面积的一半? 如果已知矩形的长和宽分别为3和1,是否还有相同 的结论? 如果已知矩形的长和宽分别为4和1,5和1,??,n 和1 呢?

由特殊到一般
解:如果矩形的长和宽分别为2和1,那么其周长和 面积分别为6和2,所求矩形的周长和面积应分别为 3和1.设所求矩形的长为x,那么它宽为1.5-x,其面 积为x(1.5-x).根据题意,得 x(1.5-x)=1. 即 2x2-3x+2=0. 如果这个方程有解,则说明这样的矩形存在. 由b2-4ac=32-4×2×2=-7<0,知道这个方程没有实 数根. 结论:如果矩形的长和宽分别为2和1,那么不存在 另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长 和面积的一半.

由特殊到一般
解:当如果矩形的长和宽分别为3和1,4和1,5和1时. 设所求矩形的长为x, 根据题意所得的方程均有没 有实数根解,则说明这样的矩形不存在.

结论:如果矩形的长和宽分别为2和1,3和1,4和1,5 和1时.都不存在另一个矩形,它的周长和面积分别 是已知矩形周长和面积的一半.

由特殊到一般 我们已经知道:如果矩形的长和宽分别为2和1,3 和1,4和1,5和1时.都不存在另一个矩形,它的 周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一 半.这个结论是否具有一般性? 如果这个结论不具有一般性,那么当矩形的长和 宽满足什么条件时,才存在一个新的矩形,它 的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积 的一半?你能再找出这样的一个例子

吗?

由特殊到一般 解:如果矩形的长和宽分别为6和1,那么其周长和 面积分别为14和6,所求矩形的周长和面积应分 别为7和3.设所求矩形的长为x,那么它宽为3.5x,其面积为x(3.5-x).根据题意,得 x(3.5-x)=3. 即 2x2-7x+6=0. 由b2-4ac=72-4×2×6=1>0,知道这个方程有实数 根: x ? 2, x ? 1.5.
1 2

结论:如果矩形的长和宽分别为6和1时.存在另一个 矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积 的一半.

解:如果矩形的长和宽分别为m和n,那么其周长和面 积分别为2(m+n)和mn,所求矩形的周长和面积应 分别为m+n和mn/2.设所求矩形的长为x,那么它宽 为(m+n)/2-x,其面积为x[(m+n)/2-x].根据题意, 得 x[(m+n)/2-x]=mn/2. 即 2x2-(m+n)x+mn=0. 由Δ =b2-4ac=(m+n)2-4×2×mn=m2+n2-6mn. 知道只有当m2+n2≥6mn时,这个方程才有实数根:
m ? n ? m2 ? n 2 ? 6m n m ? n ? m2 ? n 2 ? 6m n x1 ? , x2 ? . 4 4 2 2

结论:如果矩形的长和宽满足m +n ≥6mn时.才存在 另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长 和面积的一半.

?挑战自我
1.观察下列各式:

2 8 2 2? ? ?2 , 3 3 3 3 27 3 3? ? ?3 , 8 8 8 4 64 4 4? ? ?4 , 15 15 15 ???

你能得到怎样的结论?并证明你的结论.
解 : 所得结论为: n n3 n n? 2 ? ? n (n ? 1的整数) 2 2 n ?1 n ?1 n ?1

解题思路:通过类比引伸推广,归纳出一般结论,解题 关键是探索归纳,猜想.

2.已知:(1)如图,AB⊥BD于点B,CD⊥BD于点D, AD和 BC相交于点E,EF⊥BD于点F. 求证:
1 1 1 ? ? AB CD EF

(2)若将图1中的垂直改为斜交,如图2,AB//CD,AD与 BC相交于点E,EF//AB交BD于点F,则(1)的结论还成 立吗?如果成立,请给予证明;不成立,请说明理由. (3)猜想SΔ ABD、SΔ BED和SΔ BDC有什么关系?并证明你的 猜想. A A
E B F C D
B E F 图2 D C

图1

?超越自我:已知等边Δ ABC和点P,设点P到Δ ABC三
边AB,AC,BC的距离分别为 h1,h2,h3 .Δ ABC的高为h. 若点P在一边BC上如图(1),此时h3=0,可得结 论:“h1+h2+h3=h”,请直接应用上述信息解决下列问 题: 当点P在Δ ABC内,如图(2),点P在Δ ABC外,如图(3), 这两种情况时,上述结论是否还成立?若成立,请给予 证明;若不成立, h1,h2,h3 与h又有怎样的关系,请写 出你的猜想,并证明你的猜想. A
A
A D

D B M P (1)

E C
B

P M F (2)

E C

D B M (3) P F

E C

? 神奇的反比例函数
?

同学们,我们已经知道用反比例函数可以解答 世界数学难题:化圆为方,倍立方体.今天我们 再来《读一读》P153反比例函数的又一个杰作.

小结: 在探索结论的过程中,我们经历了猜想,由特殊到 一般的尝试,证明,拓广的全过程,从而得到了一 般性的结论.

知识的升华

P170习题 1、2题. 祝你成功!


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