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22.3第二课时

发布时间:2013-09-23 09:28:45  

实际问题与一元二次方程(二)
数字、面积、体积问题 复习:列方程解应用题有哪些步骤
对于这些步骤,应通过解各种类型的 问题,才能深刻体会与真正掌握列方程解 应用题。

上一节,我们学习了解决“平均 增长(下降)率问题”,现在,我们要学 习解决“面积、体积问题。

增长率的问题在实际生活普遍存在, 有一定的模式
若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或 降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是A,则 它们的数量关系可表示为

a(1 ? x) ? A
n
其中增长取“+”,降低取“-”

二、复习引入
1.直角三角形的面积公式是什么?? 一般三角形的面积公式是什么呢? 2.正方形的面积公式是什么呢? 长方形的面积公式又是什么? 3.梯形的面积公式是什么? 4.菱形的面积公式是什么? 5.平行四边形的面积公式是什么? 6.圆的面积公式是什么?

(三)几何问题 方法提示:1)主要集中在几何图形的面积问题, 这类 问题的面积公式是等量关系; 如果图形不规则应割或补 成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图 形的面积公式列出方程; 2)与直角三角形有关的问题:直角三角形 两直角边的平方和等于斜边的平方是这类问题的等量关 系,即用勾股定理列方程。

有关面积问题:
常见的图形有下列几种:



究3

如图,要设计一本书的封面,封面长27cm, 宽21cm,正中央是一个与整个封面长宽比例 相同的矩形.如果要使四周的彩色边衬所占 面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等 宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬 的宽度(精确到0.1cm)?
分析:封面的长宽之比为 27:21=9:7,中央矩形的长宽之比 也应是 9:7 ,由此判断上下边衬与左右边衬的宽度之比也是 . 9:7 设上、下边衬的宽均为9x cm,左、右边衬的宽均为7x cm,则 (21-14x_ cm. 中央矩形的长为(27-18x) cm,宽_ _ ) 要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一,则中央 矩形的面积是封面面积的四分之三. 3 于是可列出方程.? 27 ? 18 x ?? 21 ? 14 x ? ? ? 27 ? 21. 4 下面我们来解这个方程.

3 ? 27 ? 18 x ?? 21 ? 14 x ? ? ? 27 ? 21. 4 2
整理,得

合乎实际意义? 6?3 3 解方程,得 x ? . 为什么? 4 6?3 3 6?3 3 x1 ? ? 2.799, x2 ? ? 0.201. 4 4 上、下边衬的宽均为 ___________cm, 约为1.809 左、右边衬的宽均为 约为1.407 ___________cm.

16 x ? 48x ? 9 ? 0.方程的哪个根

x2更合乎实际意义, 如果取x1约等于
2.799,那么上边宽 为9×2.799= 25.191.

探究3
要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝, 正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形, 如果要使四周的边

衬所占面积是封面面积的四 分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如 何设计四周边衬的宽度? 分析:这本书的长宽之比是9:7,依题知正中 央的矩形两边之比也为9:7 解法二 :设正中央的矩形两边分别为9xcm,7xcm

3 3 27 ? 9 x 2 ? 54 ? 27 3 ? 1.8 ? 故上下边衬的宽度为: 2 2 4 3 3 左右边衬的宽度为: 21 ? 7 x 21 ? 7 ? 2 42 ? 21 3 ? ? ? 1.4 2 2 4 27 ? 9 ?

3 9 x ? 7 x ? ? 27 ? 21 依题意得 4 3 3 3 3 x2 ? ? (不合题意, 舍去) 解得 x1 ? 2 2

27

①对自己——谈本节课有哪些收获? ②对同伴——谈在学习本节内容时应注 意什么? ③对老师——谈本节课学习中还有哪些 疑惑? ?列一元二次方程解应用题的步骤与列一 元一次方程解应用题的步骤类似,即审、 设、列、解、检、答. ? 这里要特别注意:在列一元二次方程解应用题 时,由于所得的根一般有两个,所以要检验 这两个根是否符合实际问题的要求.

1:某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽 20米的长方形场地上修筑若干条道路,余下 部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有 两位学生各设计了一种方案(如图),根据两种 设计方案各列出方程,求图中道路的宽分别 是多少?使图(1),(2)的草坪面积为540米2.

(1)

(2)

解:(1)如图,设道路的宽为 x米,则

(32 ? 2 x)(20 ? 2 x) ? 540
化简得,

x ? 26 x ? 25 ? 0 ( x ? 25)( x ? 1) ? 0 ? x1 ? 25, x2 ? 1
2

(1)

其中的 x=25超出了原矩形的宽,应舍去. ∴图(1)中道路的宽为1米.

分析:此题的相等关系 是矩形面积减去道路面 积等于540米2。 解法一、 如图,设道路的宽为x米, 32x 米2 则横向的路面面积为

(2)



纵向的路面面积为 所列的方程是不是 32 ? 20 ? (32 x ? 20 x) ? 540 注意:这两个面积的重叠部分是 x2 米 图中的道路面积不是 ?32x ? 20x ?米2。

20x 米2 。



解法二: 我们利用“图形经过移动, 它的面积大小不会改变”的道理, 把纵、横两条路移动一下,使列 方程容易些(目的是求出路面的 宽,至于实际施工,仍可按原图 的位置修路)

探索:新思路
草坪矩形的长(横向)为 (32-x)米
(2) ,

草坪矩形的宽(纵向) 。 (20-x)米 相等关系是:草坪长×草坪宽=540米2 即 ?32 ? x ?? 20 ? x ? ? 540. x2 ? 52x ?100 ? 0, x1 ? 50, x2 ? 2 化简得:

练习:
2.如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑 同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂 直),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验 地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米?

解:设道路宽为x米,则

(32 ? 2 x)(20 ? x) ? 570 化简得, 2 ? 36 x ? 35 ? 0

其中的 x=35超出了原矩形的宽,应舍去. 答:道路的

宽为1米.

x ( x ? 35)( x ? 1) ? 0 ? x1 ? 35, x2 ? 1

练习:
3.如图,长方形ABCD,AB=15m,BC=20m,四周外 围环绕着宽度相等的小路,已知小路的面积为 246m2,求小路的宽度. A D

解:设小路宽为x米,则
(20 ? 2 x)(15 ? 2 x) ? 246 ? 15 ? 20

化简得, x2 2

? 35x ? 123 ? 0 ( x ? 3)(2 x ? 41) ? 0
41 ? x1 ? 3, x2 ? ? (舍 ) 去 2
答:小路的宽为3米.

B

C

4.学校为了美化校园环境,在一块长40米、宽20 米的长方形空地上计划新建一块长9米、宽7米的 长方形花圃. (1)若请你在这块空地上设计一个长方形花圃, 使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积 多1平方米,请你给出你认为合适的三种不同的方 案. (2)在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情 况下,长方形花圃的面积能否增加2平方米?如果 能,请求出长方形花圃的长和宽;如果不能,请 说明理由.

1 解: (1) 方案1:长为9 米,宽为7米; 7

?b ? 4ac ? (?16) ? 4 ?1? 65 ? ?4 ? 0
2 2

方案2:长为16米,宽为4米; 方案3:长=宽=8米; 注:本题方案有无数种 (2)在长方形花圃周长不变的情况下,长方形花 圃面积不能增加2平方米. 由题意得长方形长与宽的和为16米.设长方形花圃 的长为x米,则宽为(16-x)米. x(16-x)=63+2, x2-16x+65=0, ∴此方程无解. ∴在周长不变的情况下,长方形花圃的面积不能 增加2平方米

5:建造一个池底为正方形,深度为2.5m的

长方体无盖蓄水池,建造池壁的单价是 120元/m2,建造池底的单价是240元/m2,总 造价是8640元,求池底的边长. 分析:池底的造价+池壁的造价=总造价 解:设池底的边长是xm.
240x 2 ? 120? 2.5x ? 4 ? 8640 根据题意得:

解方程得: x1 ? ?9, x2 ? 4 ∵池底的边长不能为负数,∴取x=4 答:池底的边长是4m.

6、建造成一个长方体形的水池,原计划水池 深3米,水池周围长为1400米,经过研讨,修 改原方案,要把长与宽两边都增加原方案中的 宽的2倍,于是新方案的水池容积为270万米3, 求原来方案的水池的长与宽各是多少米?
x
700--x 3

新方案
700-x+2x 3

原方案

x+2x

7. 如图,有长为24米的篱笆,一面利用墙(墙的最 大可用长度a为10米),围成中间隔有一道篱笆的长 方形花圃。设花圃的宽AB为x米,面积为S米2,如 果要围成面积为45米2的花圃,AB的长是多少米?
【解析】(1)设宽AB为x米, 则BC为(24-3x)米,这时面积 S=x(24-3x)=-3x2+24x 由条件-3x2+24x=45 化为:x2-8x+15=0解得x1=5,x2=3 ∵0<24-3x≤10得14/3≤x<8 ∴x2不合题意,AB=5,即花圃的宽AB为5米

8、用20cm长的铁丝能否折成面积为30cm2 的矩形,若能够,求它的长与宽;若不能,请说明 理由. 20 解:设这个矩形的长为xcm,则宽为( ? x) cm, 20 2 x( ? x) ? 30 即 x2-10x+

30=0 2
这里a=1,b=-10,c=30,
2 2

?b ? 4ac ? (?10) ? 4 ?1? 30 ? ?20 ? 0
∴此方程无解. ∴用20cm长的铁丝不能折成面积为30cm2的矩形.

9.如图,用长为18m的篱笆(虚线部分),两面靠 墙围成矩形的苗圃.要围成苗圃的面积为81m2,应该 怎么设计? 解:设苗圃的一边长为xm, 则

x(18 ? x) ? 81 化简得,x2 ? 18 x ? 81 ? 0 2 ?( x?9) ? 0 ?x ? x ? 9
1 2

答:应围成一个边长为9米的正方形.

列一元二次方程解应题

11、放铅笔的V形槽如图,每往上一层可以多 放一支铅笔.现有190支铅笔,则要放几层 ?

解:要放x层,则每一 层放(1+x) 支铅笔. 得 x (1+x) =190×2 2 X+ X -380=0 解得X1=19,
X2= - 20(不合题意)

答:要放19层.

前n项和公式

12 (1)为了美化生活环境,准备在长 32m,宽20m的长方形场地上,修筑两条 宽度相等且互相垂直的水泥道路,余下 的部分作花坛,为了使花坛的总面积为 540m2,问道路的宽为多少m
2

20

32

(1)为了美化生活环境,准备在长32m, 宽20m的长方形场地上,修筑两条宽度相 等且互相垂直的水泥道路,余下的部分 作花坛,为了使花坛的总面积为540m2, 问道路的宽为多少m
20

32

(2)若所修的两条道路中,有一条是 弯曲的柏油小路(小路任何地方的水平 宽度都是相等)问道路的宽又是多少m?
20 32 20 -X

32-X

(3)若修三条道路,如图所示,则道 路的宽有是多少?
20 32

(4)若修n条道路?(其中横向条数, 纵向条数相同,则道路的宽又该如何求 呢?)

? 13.如图①的矩形包书纸示意图中,虚线 是折痕,阴影是裁剪掉的部分,四角均为 大小相同的正方形,正方形的边长为折叠 进去的宽度. ?
封面 封底

26 cm 18.5 图 cm 2

图1
(第27题)

封面

封底

26 cm

18.5 cm
图1
(第27题)

图2

(1)如图②,数学课本长为26 cm,宽为 18.5 cm,厚为1 cm.小明用一张1260 cm2的 矩形纸方法包好了这本书,展开后如图①所 示,求折叠进去的宽度;
? (2)现有一本长为19 cm,宽为16 cm,厚为6 cm 的字典.你能用一张41 cm×26 cm的矩形纸,按 图①所示的方法包好这本字典,并使折叠进去的 宽度不小于3 cm吗?请说明理由.


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