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22[1].3(第1课时)

发布时间:2013-09-23 09:28:46  

? 问题1:“信息时代,短信盛行”,给生活带 来了便捷,同时也带来了一些负面影响。有 这么一则信息要求收到者把它“转发给10个 人,否则便会痛苦终生”,请问:经过两轮 转发,有多少人会收到这则信息?经过三轮 转发呢? ? 问题2:我们都熟悉的一首歌曲里有这么一句 话:“一传十,十传百,百传千千万”,你 能知道这句话的意思和反映的道理吗? ? 问题3:列方程解应用题的一般步骤是什么?

解一元一次方程应用题的一般步骤?
第一步:弄清题意和题目中的已知数、未知 数,用字母表示题目中的一个未知数; 第二步:找出能够表示应用题全部含义的相 等关系; 第三步:根据这些相等关系列出需要的代数 式(简称关系式)从而列出方程; 第四步:解这个方程,求出未知数的值; 第五步:在检查求得的答数是否符合应用题 的实际意义后,写出答案(及单位名称).

情景引入 (1).某商店,2008年1月份的利润为1000元, 2月份比1月份利润增长10%,则2月份 1000(1+10%) 利润为________________, 3月份比2月份利润增长10% ,则3月份 1000(1+10%)2 利润为________________. 该商店第一季度的利润为 1000+1000(1+10%)+1000(1+10%)2 ________________________________________________ (2).某型号的手机连续两次降价,售价由原来的 1185元降到 580元. 若两次降价的百分率为x, 2 则可列方程为:________________ 580 11851 ? x) ? (



究 1

有一个人患了流感,经过两轮传染 后共有121人患了流感,每轮传染 中平均一个人传染了几个?
分析:设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
开始有一人患了流感,第一轮的传染源就是这个人,他传染了 x个人,用代数式表示,第一轮后共有_______人患了流感; 第二轮传染中,这些人中的每个人又传染了x个人,用代 数式表示,第二轮后共有_1+x+x(1+x) 患了流感. 人

x ?1

列方程

1+x+x(1+x)=121

解方程,得 10 -12 x1=_____, x2=_____. 10 平均一个人传染了______个人.

如果按照这样的传染速度,三轮传染后

有多少人患流感? n轮后哪? 三轮传染的总人数为: ( 1 + x ) + x ( 1 + x ) + x ( 1 + x )(1+x) = 11+110+1210 = 1331 平均每人传染10人,第二轮传染的人数是 110人,第三轮为10×121=1210,三轮共传 染了1+10+110+1210=1331人

(1 ? x)

n

注意:1,此类问题是传播问题.

2,计算结果要符合问题的实际意

有一个人患了流感,经过两轮传染后 共有121人患了流感,每轮传染中平均一个 人传染了几个? 解:设每轮传染中平均一个人传染了x 个人. 设
列方程 1+x+x(1+x)=121 解方程,得 x1=10, x2=-12.

列 解

根据题意,舍x2=-12 .
答:每轮传染中平均一个人传染了10个.




1.某

种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干 又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的 总数是91,每个支干长出多少小分支? 解:设每个支干长出x 小 小 小 小 个小分支, 分 …… 分 分 分 支 支 支 支 则1+x+x x=91
…… ……


即x

2

? x ? 90 ? 0

x

x

支干

…… 主 干

支干

解得, x1=9,x2=-10(不合题意,舍去)

x

答:每个支干长出9个小分支.

1

2.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两 次比赛,共要比赛90场,共有多少个队参加 比赛.
解:设有x个队参加比赛 根据题意可列方程 x ( x - 1 ) = 90. x2-x -90 = 0. 整理得 解得 x1=10, x2=-9(不符合题意舍去). 答:共有10队参加比赛.

2003年我国政府工作报告指出:为解决农民负 担过重问题,在近两年的税费政策改革中,我国政府采 取了一系列政策措施,2001年中央财政用于支持这项改 革试点的资金约为180亿元,预计到2003年将到达304.2 亿元,求2001年到2003年中央财政每年投入支持这项改 革资金的平均增长率? 分析:设这两年的平均增长率为x,

3

2001年

2002 年

2003年

180

180(1+x)
2

180(1 ? x)

2

解:这两年的平均增长率为x,依题有

180(1 ? x) ? 304.2

(以下大家完成)

探 究 2 两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元,生 产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技 术的进步,现在生产1吨甲种药品的成本是 3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元, 哪种药品成本的年平均下降率较大?
分析:容易求出,甲种药品成本的年平均下降额为:

(5000-3000)÷2=1000(元) _________________________
乙种药品成本的年平均下降额为:

(6000-3600)÷2=1200(元) __________________________________
显然,乙种药品成本的年平均下降额较大.但是年

平均下降额(元)不等同于年平均下降率(百分数)

设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲 种药品成本为 5000(1-x) 元,两年后甲种药品成 本为 5000(1-x)2 元,于是有
解方程,得: 5000(1-x)2=3000 x1≈0.225,x2≈1.775 根据问题的实际意义,甲种药品成本的年平均下降 率约为22.5% 设乙种药品的下降率为y 列方程 6000 ( 1-y )2 = 3600 解方程,得 y1≈0.225,y2≈-1.775 根据问题的实际意义,乙种药品成本的年平均下 降率约为22.5% 甲乙两种药品成本的平均下降率相同,都是22.5%
乙种药品成本的年 平均下降率是多少? 请比较两种药品成 本的年平均下降 率.

经过计算,你能得出什么结论?成本下降额较 大的药品,它的成本下降率一定也较大吗?应 怎样全面地比较几个对象的变化状况? 得到的结论就是:甲乙两种药品的平均下降率 相同 成本下降额较大的药品,它的成本下降率 不一定较大

.应比较降前及降后的价格

不但要考虑它们的平均下降额,而且要考虑它 们的平均下降率.

青山村种的水稻2009年平均每公顷产7200kg, 2011年平均每公顷产8450kg,求水稻每公顷 产量的年平均增长率. 解:设水稻每公顷产量的年平均增长率为x, 根据题意可列方程
7200 ( 1 + x )2 = 8450. ( 1 + x )2 ≈ 1.17. 解得 x1 ≈ 0.08 x2 ≈-2.08 ( 不符合实际舍去 ). 答:水稻每公顷产量的年平均增长率约为8%.

挑战自我
编一道关于增长率的一元二次 方程的应用题并解答。 编题要求: (1)题目完整,题意清楚。 (2)题意与方程的解要符合实际。

小结:
类似地,这种增长率的问题在实际生活普遍存 在,有一定的模式:

若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低) 前的是a,增长(或降低)2次后的是b,则它们的数 量关系可表示为: 2

a(1 ? x) ? b

其中增长取+,降低取-
注意: (1)1与x的位置不要调换 (2)解这类问题列出的方程一般 用 直接开平方法

增长率问题的相等关系:

A?1 ? x%? ? B
2
原来 的量

增长率 (或下 降率)

现在 的量

1 2011年2月27日《广州日报》报道:2010年底广州市自然保护区 覆盖率(即自然保护区面积占全市面积的百分比)为4.65%,尚未 达到国家A级标准.因此,市政府决定加快绿化建设,力争到2012 年底自然保护区覆盖率达到8%以上.若要达到最低目标8%,则广 州市自然保护区面积的年平均增长率应是多少?(结果保留三位有 效数字)

解:设广州市总面积为1,广州市自然保护区面积年 平均增长率为x,根据题意,得 1×4.65% (1+x)2=1×8% . (1+x)2≈1.720. ∴ 1+x≈±1.312. x1 ≈ 0.312=31.2%,x2 ≈-2.312(不合题意,舍去) 答:要达到最低目标,自然保护区面积的年平均增长 率应为31.2%.

2 某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被 感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染, 请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台 电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制, 3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台? 解:设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电 脑。

依题意得:1+x+(1+x)x=81

3 思考
1. 一次会议上,每两个参加会议的人都互相 握了一次手,有人统计一共握了66次手,这 次会议到会多少人?若假设这次会议到会x 人,则可列方程 1 x ? x ? 1? ? 66 ___________________。 2 2. 生物兴趣小组的学生,将自己收集的标本 向本组其他成员各赠送一件,全组共互赠了 182件,如果全组有x名同学,则根据题意 列出方程是 x ? x ? 1? ? 182 1 3.平面内有n个点,可以连接 n ? n ?1? 条线段。 ________________________。
2

4.某校去年对实验器材的投资

为2万元,预计今明两 年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器 材投资上的平均增长率是x,则可列方程 为 .

5.商店里某种商品在两个月里降价两次,现在该商 品每件的价格比两个月前下降了36%,问平均每 月降价百分之几?

解:设2002年,2003年 两年绿地面积的年平 6.美化城市,改善人们的居住环境已 均增长率为x,根据题 成为城市建设的一项重要内容。某城 意,得 市近几年来通过拆迁旧房,植草,栽 60 (1+x)2=72.6 . 树,修公园等措施,使城区绿地面积 (1+x)2=1.21. 不断增加(如图所示)。(1)根据 ∴1+x=±1.1. 图中所提供的信息回答下列问题: 2001年底的绿地面积为 60 公顷,∴ x1 = 0.1=10%, 比2000年底增加了 公顷;在 x2 =-2.1(不合题意,舍 4 去) 1999年,2000年,2001年这三年中, 答: 2002年,2003年 绿地面积增加最多的是 1998 1999 2000 2001 2000 ____________年; 两年绿地面积的年平 (2)为满足城市发展的需要,计划 均增长率为10%.
到2003年底使城区绿地面积达到72.6 公顷,试求2002年,2003年两年绿地 面积的年平均增长率。

练习:
年收入/万元 家庭户数/户 0.6 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 9.7

7.某同学进行社会调查,随机抽查了某个地区的20个家庭的收入情况 并绘制了统计图.请你根据统计图给出的信息回答: (1)填写完成下表:

1

1

2

3

4

5

3

1

1.6 这20个家庭的年平均收入为______万元;(2)样本中的中位数是 1.3 1.2 ______万元,众数是______万元;(3)在平均数、中位数两数中, 中位数 ______更能反映这个地区家庭的年收入水平. (4)要想这20个家庭的年平均 所占户数比/% 解:设年平均增长率为x,根据题意,得1.6 (1+x)2=2.5. 25 收入在2年后达到2.5万元, 25 .∴1+x=±1.25. 2= (1+x) 则每年的平均增长率是多少? 20
15 10 5 ∴ x1 = 0.25=25%,x2 =-2.25(不合题意,舍去)

16

年收入 /万元

0.6 答:每年的年平均增长率为25%. 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 9.7

练习:
8、某农户1997年承包荒山若干亩,投资7800元改造后 种果树2000棵,其成活率为90%。在今年(注:今年指 2000年)夏季全部结果时,随意摘下10棵果树的水果, 称得重量如下:(单位:千克) 8,9,12,13,8,9,11,10,12,8 ⑴根据样本平均数估计该农户今年水果的总产量是多少? ⑵此水果在市场每千克售1.3元,在水果园每千克售1.1 元,该农户用农用车将水果拉到市场出售,平均每天出 售1000千克,需8人帮助,每人每天付工资25元.若两种 出售方式都在相同的时间内售完全部水果,选择哪种出 售方式合理?为什么?⑶该农户加强果园管理,力争到 2002年三年合计纯收入达到57000元,求2001年、2002 年平均每年的增长率是多少?(纯收入=总收入-

总支出)

解:(1)样本平均数为 1 x ? (8 ? 9 ? 12 ? 13 ? 8 ? 9 ? 11 ? 10 ? 12 ? 8) ? 10(千克) 10 ∴总产量=2000×90%×10=18000(千克) (2)在果园出售的利润是1.1×18000-7800=12000(元) 在市场出售的利润是 1.3×18000-7800-(18000÷1000)×8×25=12000(元)
所以两种出售方式相同,选择哪一种都可以; (3)设2001年、2002年平均每年的增长率是x,得

12000 ? 12000(1 ? x) ? 12000(1? x) ? 57000,
2

∴ x1 = 0. 50=50%,x2 =-3.5(不合题意,舍去)
答: 2001年、2002年平均每年的增长率是50%.

当堂练习 9.党的十六大提出全面建设小康社会,加快推 进社会主义现代化,力争国民生产总值到 2020年比2000年翻两翻。在本世纪的头20年 (2001年~2020年)要实现这一目标,以10年 为单位计算,设每个10年的国民生产总值的 增长率都是x,根据题意得方程为( B ) A. 1 ? x) ? 2 (
2

B. ( ? x) ? 4 1
2

C. 1+2x=2

D.(1+x)+2(1+x)=4

10. 新华商场销售某种水箱,每台进货价为2500元,市场调研表明:当 销售价为2900元时,平均每天能售出8台;而当销售价每降低50元时, 平均每天就能多售出4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达 到5000元,每台冰箱的定价应为多少元?

本题的主要等量关系是什么?
每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量=5000元.
(2900-x) 如果设每台冰箱降价x元,那么每台冰箱的定价就是____________元,每

(2900-x-2500) 台冰箱的销售利润为_____________________元,平均每天销售冰箱的数 x ( 8 + 4× 量为_______________台,这样就可以列出一个方程,进而解决问题了. 50 ) 解:设每台冰箱降价x元,根据题意,得

x ? ? ? 2900 ? x ? 2500? ? 8 ? 4 ? ? ? 5000. 50 ? ?
解这个方程,得
x1=x2=150. 2900-150 = 2750. 所以,每台冰箱应定价2750元.

11. 某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年片,一种贺年片平 均每天能售出500张,每张盈利0.3元.为了尽快减少库存,商 场决定采取适当的降价措施.调查表明:当销售价每降价 0.1元时,其销售量就将多售出100张.商场要想平均每天盈 利达到120元,每张贺年片应降价多少元?

解 : 设每张贺年片应降价元, 根据题意 得 x , x (0.3 ? x)( 500 ? 100 ? ) ? 120 . 0.1 2 整理得: 100x ? 20x ? 3 ? 0.
解这个方程 得 , x1 ? 0.1, x2 ? ?0.3(不合题意 舍去). ,
答 : 每张贺年片应降价 .1元. 0

12 某水果批发商场经销一种高档水果,如果每 千克盈利10元,每天可售出500千克,经市场调查发 现,在进价不变的情况下,若每千克涨价0.5元,日销 利 售量将减少10千克,现该商场要保证每天盈利6000 润 元,同时又让顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少 元? 问 每千克的盈利×每天的销售量=每天

的盈利



(10+x)元

(500-20x)千克

6000元

解:设每千克应涨价x元. 由题意得: (10+x)(500-20x)=6000 解得: x1=5,x2=10 因为为了使顾客得到实惠,所以x=5 答:每千克应涨价5元.


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