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第37课时 轴对称

发布时间:2014-01-20 13:08:23  

第37课时 轴对称

第37讲┃ 轴对称

考 点 聚 焦
考点1 轴对称与轴对称图形
轴对称 把一个图形沿着某一条直 线折叠,如果它能够与另 一个图形重合 ____,那么就说 定义 这两个图形关于这条直线 对称,这条直线叫做对称 轴.折叠后重合的点是对 应点,叫对称点 轴对称图形 如果一个图形沿某一直线对折 后,直线两旁的部分能够互相 重合,这个图形叫做 ____________ 轴对称图形 ,这条直线叫做 它的对称轴.这时我们也说这 个图形关于这条直线(成轴)对 称

区别

轴对称是指________ 两个 全等 轴对称图形是指具有特殊形状 一个 图形 图形之间的相互位置关系 的________
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第37讲┃ 轴对称

联系

①如果把轴对称的两个图形看成一个整体 (一个图形),那么这个图形是轴对称图形; ②如果把一个轴对称图形中对称的部分看 成是两个图形,那么它们成轴对称

轴对称 的性质

(1)对称点的连线被对称轴________ 垂直平分 (2)对应线段________ 相等 (3)对应线段或延长线的交点在________ 对称轴 上 全等 (4)成轴对称的两个图形________

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第37讲┃ 轴对称

考点2 常见轴对称图形 图形 角 对称轴 角平分线所在的 直线 线段所在的直线 和线段的垂直平 分线 顶角平分线所在 的直线或底边上 的中线(或高)所 在的直线
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相关性质 角平分线上的点到这个角的两 边的距离相等 线段垂直平分线上的点到这条 线段两个端点的距离相等 等腰三角形的两个底角相等; 等腰三角形顶角的平分线、底 边上的中线、底边上的高互相 重合
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线段

等腰三角 形

第37讲┃ 轴对称

(续表) 等边三 任意一个角的平分线所在的 等边三角形三条边相等, 角形 直线 三个内角相等

正方形
矩形 菱形

对边中点连线所在的直线、 正方形四条边相等,四 两条角平分线所在的直线 个内角相等且都是直角 对边中点连线所在的直线 两条角平分线所在的直线 矩形的对边相等,四个 内角相等且都是直角

菱形的对角线互相垂直 平分

等腰梯 上底、下底中点连线所在的 等腰梯形的同一底上的 形 直线 两个内角相等 圆 任意一条直径所在的直线
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垂径定理

第37讲┃ 轴对称
考点3 利用轴对称解决路径最短问题 利用轴对称的相关知识可解决线段之和的最值问题 (将 军饮马问题). 1.两点在直线的异侧:

图 37-1 2.两点在直线的同侧:

图 37-2
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第37讲┃ 轴对称

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考情分析
年份 2009 题型 选择 轴对称 性质的 应用 轴对称 图形 轴对称 图形 2010 2011 2012 2013 2014你 来猜

解答

解答

轴对称 作图
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第37讲┃ 轴对称
热考精讲 热考一 轴对称图形辨认 例1 [ 2013· 西城二模] 下列图形中,既是中心对称图 形又是轴对称图形的是 ( B )

图 37-3
根据中心对称图形的定义:旋转 180°后能 解 析 够与原图形完全重合即是中心对称图形,以及轴对称图 形的定义:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的 部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直 线叫做对称轴,即可判断出答案为 B.
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第37讲┃ 轴对称
热考二 运用轴对称性质作图

例2 [ 2012· 乐山]如图 37-4,在 10×10 的正方形网格中,
每个小正方形的边长都为 1,网格中有一个格点△ABC(即三 角形的顶点都在格点上). (1)在图中作出△ABC 关于直线 l 对称的 △A1B1C1;(要求:A 与 A1,B 与 B1,C 与 C1 相对应) (2)在(1)问的结果下,连接 BB1、CC1,求 四边形 BB1C1C 的面积. 图 37-4

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第37讲┃ 轴对称

解 (1)如图,△A1B1C1 是△ABC 关于直线 l 的对 称图形.

(2)由图得四边形 BB1C1C 是等腰梯形, BB1= 4,CC1 =2,高是 4, 1 1 ∴S 四边形 BB1C1C= (BB1+CC1)×4= (4+2)×4=12. 2 2

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第37讲┃ 轴对称

利用轴对称知识作图的基本步骤:1.确定对称轴;2.确定图 形中的关键点;3.由关键点向对称轴引垂线并延长相同长 度,找到对应点;4.连接各点,得到原图形轴对称变换后 的图形.

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第37讲┃ 轴对称

热考三 轴对称性质的简单应用 例3 [ 2013· 石景山二模] 如图 37-5,在矩形 ABCD 中,AB=3, BC=4,点 M、N 分别在 BC、AB 上,将矩形 ABCD 沿 MN 折叠, 设点 B 的对应点是点 E. 7 (1)若点 E 在 AD 边上,BM= ,求 AE 的长; 2 (2) 若点 E 在对角线 AC 上,请直接写出 AE 的取值范围: __________________.

图 37-5

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第37讲┃ 轴对称
(1)由题意,△BMN 沿 MN 折叠得到△EMN, 7 ∴△BMN≌△EMN,∴EM=BM= . 2 过点 M 作 MH⊥AD 交 AD 于点 H, 则四边形 ABMH 为矩形, 7 MH=AB=3,AH=BM= . 2 Rt△EHM 中, ?7?2 13 2 2 2 ? ? EH= EM -HM = -3 = , 2 ?2? 7- 13 ∴AE= . 2 (2)1≤AE≤3.



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第37讲┃ 轴对称

例4 如图 37-6①,将一正方形纸片按下列顺序折叠,然后 将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形.

图 37-6 如图 37-6②,将纸片展开,得到的图形是

( C )

图 37-7

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第37讲┃ 轴对称

解 析

将折叠裁剪后的纸片, 逐步展开, 如图所示.

对照各选项,可知选 C.

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第37讲┃ 轴对称

折痕与轴对称的关系 折痕问题:把图形折叠后展开得到一条折痕,这条折痕 所在直线就是折叠前

后重合部分图形的对称轴,重合的角 相等,重合的线段相等,对应点的连线被对称轴垂直平分, 这些成为解决此类问题的关键.

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第37讲┃ 轴对称
热考四 平面直角坐标系里的轴对称变换 例5 如图 37-8,在平面直角坐标系中,直线 l 是第一、
三象限的角平分线. 实验与探究: (1)由图观察易知 A(0,2)关于直线 l 的对称点 A′的坐标为 (2,0),请在图中分别标明 B(5,3)、C(-2,5)关于直线 l 的对称点 B′、 C′的位置, 并写出它们的坐标: B′________, C′________; 归纳与发现: (2)结合图形观察以上三组点的坐标,你会发现:坐标平 面内任一点 P(a,b)关于第一、三象限的角平分线 l 的对 称点 P′的坐标为________(不必证明);

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第37讲┃ 轴对称

运用与拓广: (3)已知两点 D(1,-3),E(-1,-4),试在直线 l 上确定 一点 Q,使点 Q 到 D,E 两点的距离之和最小,并求出 Q 点坐标.

图 37-8
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第37讲┃ 轴对称

(1)点 B′、C′的位置如图.(3,5) (5,-2) (2)(b,a) (3)D(1,-3)关于直线 l 的对称点 D′的坐标为(-3,1),连接 D′E 交直线 l 于点 Q,此时点 Q 到 D、E 两点的距离之和最小. 设过 D′(-3,1)、E(-1,-4)的直线解析式为 5 ? k =- , ? ? 2 ?-3k+b=1, y=kx+b,则? ∴? ? - k + b =- 4 , ? ?b=-13, 2 ? 5 13 ? ? y=- x- , 5 13 2 2 ? ∴y=- x- .由 得 2 2 ? ?y=x, 13 ? ?x=- 7 , ? 13 13? ? ∴所求 Q 点的坐标为?- 7 ,- 7 ?. ? ? 13 ?y=- . 7 ?
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第37讲┃ 轴对称

一、以坐标轴为对称轴作对称图形 1.点 P(x,y)关于 x 轴对称的点的坐标是(x,-y);点 P(x,y)关于 y 轴对称的点的坐标是(-x,y); 2.作一个图形(象)关于坐标轴对称的图形,一般先作图形(象)上 关键点关于坐标轴的对称点,然后连接对称点即可. (1)直线 y=kx+b 关于 x 轴对称的直线为 y=-kx-b,直线 y=kx +b 关于 y 轴对称的直线为 y=-kx+b; k k (2)双曲线 y=x关于 x 轴和 y 轴对称的双曲线均为 y=-x; ? ? ? ? (3)抛物线 y=a?x-h?2+k 关于 x 轴对称的抛物线为 y=-a?x-h?2
? ? ? ? ? ?2 ? ?2 - k, 抛物线 y=a??x-h?? +k 关于 y 轴对称的抛物线为 y=a??x+h?? + k.

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第37讲┃ 轴对称

二、轴对称变换应用——最短路径问题 已知直线 l 与两点 M、N,要在直线 l 上找到一点 P,使点 P 到点 M、点 N 的距离和最短. (1)M、N 在直线 l 的两侧:

(2)M、N 在直线 l 的同侧:

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