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压轴题答案

发布时间:2014-01-20 17:07:41  

1.长宁区(本题满分12分,第(1)题4分,第(2)题4分,第(3)题6分) 解:(1)如图,过P作PH⊥AB于H。

∵DF=DE ∴ ∠DFE=∠E

又∵FG=EH ∴△DFG≌ △DEH ∴∠FDG =∠EDH

∵∠FDE=90? 且∠FDE=∠FDG +∠EDH+∠BAC

∵∠BAC=30? ∴∠FDG=30?

(1分) ∵ DF=4 ?4 ∵

?x?x

∴DP????4x (1分)

1

在Rt△DPH中,∠FDG=30? ∴PH=2DP=2x

∠B=90?.,∠BAC=30?.,BC=6 ∴AC=12(=DC)

11

y=S△PDC=2DC?PH=2?12?2x=12x(x>0) (2分)

(2)∵PC//AB ∴∠BAC=∠DCP ∵ ∠BAC=30? ∴∠DCP =30? 由(1)知∠FDG=30? ∴∠FDG=∠DCP ∴DP=PC

若PH⊥AB 则M是DC的中点 DM=6 (2分)

DM?6在Rt△DPH中, ∠FDG=30? cos∠FDG=APAP?2 ∴AP=4 (1分)DP=AP=4x ∴x= (1分) (3)如图,设AD=t ,DC=12-t (0<t<12) FC2=DF2+DC2=42+(12-t)2 (2分) 49AD2=FC2+BC2 t2=42+(12-t)2+36 解得t=6(不合题意,舍去) (1分)

BC2=FC2+ AD2 36=42+(12-t)2+ t2 无解 (1分)

31

FC2= BC2 + AD2 42+(12-t)2=36+ t2 解得t=6 (1分)

31

∴当△DEF移动到AD=6时,以线段AD、FC、BC的长度为边长的三角形是直角三角形

(1分)

2.金山区25. (本题满分14分) 解:(1) ∵AD∥BC,PE∥AC D

∴四边形APEC是平行四边形……………………1分 ∴AC=PE=6 ,AP=EC=x…………………………1分

A

PAPO5PO

??

BEOE,5?x6?PO………………………1分

Q

PO?

可得

6x

5………………………………………1分

B

E

C

(2)∵AB=BC=5,∴∠BAC=∠BCA 又∠APE=∠BCA,∠AOP=∠BCA, ∴∠APE=∠AOP,∴AP=AO=x

0?x?

∴当

5

2时,OQ?5?2x;…………………………………………………………1分

作BF⊥AC,QH⊥PE,垂足分别为点F、H, 则易得AF=CF=3,AB=5,BF=4 由∠OHQ=∠AFB=90°,∠QOH=∠BAF 得△OHQ∽△AFB

4?5?2x?8QHOQQH5?2x

QH???x?4??

55AB,∴45,∴∴BF…………………2分

y??

24212

x?x255…………………………………………………………………………1分

所以y与x的函数关系式是

y??

242125x?x(0?x?)2552…………………………………………………………1分

(3)解法一:

0?x?

52时

D

A

由AP=BQ=x,AQ=BE=5-x,∠PAQ=∠QBE

可得△PAQ≌△QBE,于是PQ=QE…………………………1分 由于∠QPO=∠EPQ,

所以若△PQE与△POQ相似,只有△PQE∽△POQ

可得OP=OQ……………………………………………………1分

H B

F

625

x?x?5?2x

16…………………………2分 于是得5,解得

E

C

525x??x?54(不合题意,舍去)…………………………1分 同理当2,可得

25

所以,若△PQE与△POQ相似, AP的长为16。 0?x?

解法二:当52时, 68OH?3?xQH?4?

x5,于是得PH?3,5 可得

PQ?1分

由于∠QPO=∠EPQ,

所以若△PQE与△POQ相似,只有△PQE∽△POQ PQ2?PO?PE………………………………………………………………………………1分

8?6?3??4?x??x?65?5? 22

解得x1?2525x2?16,4(不合题意,舍去)…………………………………………2分

25

所以,若△PQE与△POQ相似, AP的长为16。 ……………………………………1分

3.闵行区25.解:(1)分别延长BA、CF相交于点P.

在平行四边形ABCD中,AD // BC,AD = BC.……………………(1分) 又∵ F为边AD的中点,

PAAFPF1??PBBCPC2.即得 PA = AB = 8.……………………(1分) ∴

∵ 点E是边AB的中点,AB = 8,∴

即得 PE?PA?AE?12. AE?BE?12AB?4.

?tanB?4?2?.8 ∵ CE⊥AB,∴ EC?BE

PC?231分) 在Rt△PEC中,?PEC?90?,

1EF?PC?2∴

1分) PF?1PC2,

(2)在Rt△PEC中,tanB?EC1?2BE?ECBE2,∴ .

222由 BC = x,利用勾股定理 BE?EC?BC,

BExEC?2BE?x.即得

.………………………(1分)

AE?AB?BE?8xPE?PA?AE?16?∴

.∴

.…(1分)

于是,由

y?PF?11PCy?S?EF?SC?22,得 11?P?EECPE?22. ∴

1x(16x)4.………………………………………(1分)

12y?x

x10∴

,0?x?2分)

(3)在平行四边形ABCD中,AB // CD,CD = AB = 8,AD = BC = 16.

1AF?DF?AD?82∵ F为边AD的中点,∴ .………………(1分)

F∴ FD = CD.∴ ?DFC??DC.………………………………(1分)

∵ AB // CD,∴ ∠DCF =∠P.

∴ ∠DFC =∠P. ……………………………………………………(1分)

1PF?PC2在Rt△PEC中,?PEC?90?,,

∴ EF = PF.∴ ∠AEF =∠P =∠DFC.

又∵ ∠EFC =∠P +∠PEF = 2∠PEF. ……………………………(1分) ∴ ∠EFD =∠EFC +∠DFC = 2∠AEF +∠AEF = 3∠AEF.

即得 k = 3.……………………………………………………………(1分)

4.松江区(1)作AH?BC于H,在Rt?AHB中,cosB?BH3?AB5 ∵AB?10,∴BH?6,∴AH?8 ∵AB?AC,

∴BC?2BH?12,∴S?ABC?1?12?8?482 ………………………(1分)

2S?ADE?AE????SAC?? ………………(1分) ∵DE//BC,∴?ADE∽?ABC,∴?ABC

EF?

∵1AE42AE??EF?FC4AC63,………………………(1分) , ,∴

S?ADE464?S?ADE?9,∴3 ……………………………………………(1分) ∴48

(2)设AH交DE、GF于点M、N

AEAMDE??AHBC ∵DE//BC,∴AC

AM?46x,DE?x55………………………………………(1分) ∵AE?x,∴

MN?

∴11AM?x45,∴NH?8?x……………………………………(1分) S?DBG?S梯形DBCG?S平行四边形DGFE?S梯形GBCF

1?64?611?6???y??x?12??8?x??x?x??x?12??8?x?2?55?552?5??? ∴

y??

∴ 326x?x255?0?x?8?………………………………………(2分)

(3)作FP?BC于P,GQ?BC于Q

53FC?10?x,cosC?cos?ABC?45 在Rt?FPC中,

63?9?3BQ?12?x?6?x?6?x??PC?6?x5420??4, ∴ ∴

9??BG??8?x???6?x?20??……………………………………………(2分) ∴ 22

在?DBG中,DB?10?x,DG?1x4 ①若DB?DG,则10?x?1x4,解得x?8…………………………………(2分)

2

29??10?x??8?x???6?x?20?? ②若DB?BG,则 解得x1?0?舍去?,x2?560

81 ………………………………………(2分)

AD?8或AD?

∴56081

5.崇明区25.解:(1)过点O作OH⊥CE,垂足为H

∵在圆O中,OC⊥弦AB,OH⊥弦CE,AB=x,CE=y BD?

∴1111AB?xEH?EC?y22,22 ………………………………1分

222∵在Rt△ODB中,OD?BD?BO,OB=3 ∴

OD= ………1分

∵OC=OE ∴∠ECO=∠CEO

∵∠ECO=∠BOC

∴∠CEO=∠BOC 又∵∠ODB=∠OHE=90°,OE=OB

∴△ODB≌△EHO ∴EH=OD …………………………1分

y?

∴236?x22

y?∴1分

函数定义域为(0<x<6)………………………………………………………1分

(2)当△OEF为直角三角形时,存在以下两种情况:

①若∠OFE=90o,则∠COF=∠OCF=45o

∵∠ODB=90°, ∴∠ABO=45°

又∵OA=OB ∴∠OAB= ∠ABO=45°, ∴∠AOB=90° ∴△OAB是等腰直角三角形

∴AB?2?OB?32…………………………………………………2分 ②若∠EOF=90o , 则∠OEF=∠COF=∠OCF=30o……………………1分 ∵∠ODB=90°, ∴∠ABO=60°

又∵OA=OB

∴△OAB是等边三角形

∴AB=OB=3…………………………………………………………………2分

(3)①当CF=OF=OB–BF=2时,

OC29?CF2, 可得:△CFO∽△COE,CE=

95?2?2. ……………………………………………2分 ∴EF=CE–CF=2

②当CF=OF=OB+BF=4时,

OC29?4, 可得:△CFO∽△COE,CE=CF

∴EF=CF–CE=4?97?44. ……………………………………………2分

6.静安区25.解:(1)∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC,∴∠OAC=∠ODB.………………………(1分)

∵∠BOD=∠A,∴△OBD∽△AOC.……………………………………………(1分) BDOD?OCAC,………………………………………………………………………(1分) ∴

BD6?4,∴BD=9.……………………………………(1分) ∵OC=OD=6,AC=4,∴6

(2)∵△OBD∽△AOC,∴∠AOC=∠B.……………………………………………(1分) 又∵∠A=∠A,∴△ACO∽△AOB.………………………………………………(1分) ABAO?∴AOAC,………………………………………………………………………(1分)

y?13x?AB?AC?CD?BD?y?13x4,………………………………(1分) ∵,∴

∴y关于x的函数解析式为y?12x?134.…………………………………………(1分) 定义域为2?x?10.…………………………………………………………(1分)

(3)∵OC=OE,CE⊥OD.∴∠COD=∠BOD=∠A.

∴∠AOD=180o–∠A–∠ODC=180o–∠COD–∠OCD=∠ADO.……………(1分) ∴AD=AO,∴y?4?x,……………………………………………………………(1分) 12x?13?4?x4∴.…………………………………………………………………(1分) ∴x?2?2(负值不符合题意,舍去).………………………………………(1分) ∴AO=2?2.

7.25.解:(1)在Rt△ABC中,?ACB?90?,∵

∴AB?10, BC?sinB?AC3?AB5,AC?6 AB2?AC2?2?62?8………………(1分) 过点M作MD?AB,垂足为D.……………………………………(1分) 在Rt?MDB中,?MDB?90?,∴sinB?MD3?MB5,

36MD??2?55>1……………………………………(1分) ∵MB?2,∴

∴⊙M与直线AB相离.…………………………………………………(1分)

(2)分三种情况: 1? ∵MD?65>1?MP,∴OM>MP;……………………………(1分) 2? 当OP?MP时,易得?MOB?90?,

cosB?

∴OBBC8842OB?OA???5,∴5;………(2分) BMAB10,∴

3? 当OM?OP时,过点O作OE?BC,垂足为E.

cosB?

∴EBBC81565OB?OA???8,∴8.………(2分) OBAB10,∴

4265

2?、3?,当?OMP是等腰三角形时,OA的长为5或8. 综合1?、

(3)联结ON,过点N作NF?AB,垂足为F.

在Rt?NFB中,?NFB?90?,sinB?35,NB?y; NF?∴344yBF?yOF?10?x?y5,5;∴5,…………………(1分) ∵⊙N和⊙O外切,∴ON?x?y;…………………………………(1分) 在Rt?NFB中,?NFB?90?,∴ON?OF?NF; 222

(x?y)2?(10?x?

即4232y)?(y)55;

y?

∴250?50xx?40;…………………………………………………………(2分) 定义域为:0<x<5.……………:………………………………………(1分)

8.奉贤区25.解:(1)连接OC,若当AC=CD时,有∠DOC=∠POC

∵BC垂直平分OP, ∴PC=OC=4, ∴∠P=∠POC=∠DOC …………………(1分) ∴△DOC∽△DPO, …………………………………………………………(1分)

DODC?

∴DPDO

设CD=y, 则16=(y+4)y

∴解得y?2即CD的长为2 (2)作OE⊥CD,垂足为E, …………………………………………………………(1分)

CE?DE?

可得1y2 …………………………………………………………(1分) ∵∠P=∠P, ∠PBC=∠PEO=90°∴△PBC∽△PEO …………………………(1分)

x?4

?4

PBPCyx?4?4?2∴PEPO, ∴ ……………………………………………(1分

)

x2?8x?16y?4 ∴ (4

?x?4) ………………………………(1分+1分)

tan?P?

(3)若点D在AC外时,OE

?PE5 ……………………………………(2分)

tan?P?

若点D在AC上时,OE?PE ……………………………………(2分)

9.静安区Ⅱ25.解:(1)设反比例函数的解析式为y?kx.

k∵点A(2,6)在反比例函数的图像上,∴6=2,…………(1分)

y?12

x.………………(1分) ∴k?12,∴反比例函数的解析式为

作AM⊥BC,垂足为M,交y轴于N,∴CM=2.

在Rt△ACM中,AM?CM?tan?ACB?2?2?4.………………………(1分) ∵BC//x轴,OC=MN?AN–AM=6–4=2,∴点C的坐标(0,2).……(1分) 当x?2时,y?6,∴点B的坐标(6,2).…………………………(1分)

2设二次函数的解析式为y?ax?bx?2,?6?4a?2b?2,??2?36a?6b?2,……………(1分) 1??a??,2?12y??x?3x?2?b?3.?2∴ ∴二次函数的解析式为.……………(1分)

(2)延长AC交x轴于G,作EH⊥x轴,垂足为H.…………………(1分) ∵在□ACDE中,AC//DE,∴∠AGO=∠EDH.………………(1分)

∵BC//x轴,∴∠ACM=∠AGO.∴∠ACM=∠EDH.…………………(1分) ∵∠AMC=∠EHD=90o,AC=ED,∴△ACM≌△EDH.…………………(1分) ∴EH=AM=4,DH=CM=2.∴点E(3,4).……………………………(1分) ∴OE=3,OD=OE–DH=1.……………………………………………(1分)

2222∴CD=?OD?2?1?5.………………………………(1分)

10.普陀区 解:(1)过点P作PD⊥AB,垂足为D.

∵∠ACB=90°,

∴∠ACB=∠PDB=90°.

又∵∠ABC=∠PBD,

∴△ACB∽△PDB. ……………………………………2′

∵AC=6cm,BC=8cm,∴AB=10cm.

∵点P为BC的中点,∴BP=4cm. PDPB?ACAB,解得PD=2.4. ………………………2′ ∵

∵t=1.2,V=2cm/s,PQ=2?1.2=2.4,

∴PQ=PD,即⊙P与直线AB相切. …………………2′

(2)当AP=AQ时,

∵∠ACB=90°,

∴CQ=CP=4cm,∴PQ=8cm.

∴t1=4秒. ………………………………………………1′

当PA=PQ时,

∵∠ACB=90°,

AC=6cm,CP=4cm,∴AP=2cm. Q C P 第25题

∴PQ=2cm. ∴t2=秒. ……………………1′

当QA=QP时,

点Q在线段AP的中垂线QH上,垂足为H.

∵∠ACB=90°,

PC42??13. ∴cos∠APC=AP2PH?QP, 又∵cos∠APC=QP

21313?t13,∴QP得 PQ=2,∴3=4.………………………………………………………1′

13

∴当t=4秒或秒或4秒时,△AQP是等腰三角形-------------1

(3)∵点P在⊙O内,∴⊙P与⊙O只可能内切,

1

∵O为AB中点,P为BC中点,∴圆心距OP=2AC=3cm. ………………………………1′

∵⊙O是△ABC的外接圆,∴⊙O的半径为5 cm ,⊙P的半径为PQ, ∴PQ?5=3 当PQ–5=3时,PQ=8 cm ,t=4秒;

当PQ–5=–3时,PQ=2cm,t=1秒. ………………………………………2′

∴当⊙P与⊙O相切时,t分别为4秒和1秒. …………………………………………………1′

99y??0?x?6?x11.杨浦区25

⑵ ⑶11

12黄浦区25.解:(1)作AH⊥CD,垂足为H,---------------------------------------------------------------

(1分)

tan?D?

在Rt△ADH中,AD=10,

设AH=4k,DH=3k, 43,

?4k???3k?则22?102

解得 k =2,

所以 AH=4k=8,DH=3k=6,---------------------------------------------------------(1分)

由等腰梯形ABCD知,CD=AB+12,又AB∶CD=1∶3,

得 AB=6,CD=18,--------------------------------------------------------------------(1分)

S?

所以梯形ABCD的面积为1?AB?CD??AH?962.----------------------(1分)

(2)延长BE、CD交于点P,

∵AE∶ED=1∶3,AB‖CD.

∴BE∶EP=1∶3,令BE=x,则BP=4x. ---------------------------------------------(1分) ∵AB‖CD,∴∠ABE=∠P,又 ∠ABE=∠BCE,

∴∠BCE=∠P,又 ∠CBE=∠PBC,

∴△BCE∽△BPC,--------------------------------------------------------------------(2分) BCBP?2x?4x?10BEBC∴,即,----------------------------------------------------(1分)

解得 x=5,即BE =5. ------------------------------------------------------------------(1分)

(3)设AB=a,则DP=3a ,则CP=12+4a .

4

当∠CBE=90?时,在Rt△BCP中,BC=10,tan∠BCP=tan∠ADC=3,

10?

所以BP=44050?

?333,

507a?6.----------------------------------------------------------(2分) 即3=12+4a,解得

当∠CEB=90?时,

过E作底边CD的垂线,在底边AB、CD上的垂足分别为M、N,

易知△BME∽△CNE,

又△AME∽△DNE∽△AHD,

39

∴ME =2, MA =2, EN =6,DN =2.http://tkbcjy123.com

a?

BMEN?NC 由ME2,即3?615a?2, 解得

9a???2(舍负).--------------------------------------------------------(3分)

79? 又∠BCE<∠BCD<90?.所以当△BCE是直角三角形时,AB=6

或2.

13.联考25.解:(1)过点A作AH⊥BC,垂足为点H,交DE于点Q.

∵ ∠BAC = 90°

,AB?AC? BC = 6.…………………(1分)

BH?CH1

2BC?3又∵ AH⊥BC,∴ ,Q是△ABC的重心.

1QH?AH?13∴ .…………………………………………………(2分)

∵ DE // BC,PM⊥BC,AH⊥BC,

∴ PM = QH = 1.……………………………………………………(1分)

(2)延长FP,交BC于点N.

∵ ∠BAC = 90°,AB = AC,∴ ∠B = 45°.

于是,由 FN⊥AB,得 ∠PNM = 45°.

又由 PM⊥BC,得 MN = PM = 1

,PN

FB?FN?x?1).…………………(1分) ∴ BN = BM +MN = x +1

AF?AB?FB?∴

x?1)??x)22,

FP?FN?PN?x?1)x?1).…………………(1分) ∵ PF⊥AB,PG⊥AC,∠BAC = 90°,∴ ∠BAC =∠PFA =∠PGA = 90°. ∴ 四边形AFPG是矩形.

y?FP?AF?x?1)?x),……………………………(1分) ∴

15y??x2?3x?22.…………………………(1分) 即 所求函数解析式为

定义域为1?x?5.……………………………………………………(1分)

(3)∵ 四边形AFPG是矩形,∴ PG?AF?2(5?x)2.…………(1分) 由 ∠FPM =∠GPM = 135°,可知,当△PMF与△PMG相似时,有两种 情况:∠PFM =∠PGM或∠PFM =∠PMG.

PFPM?(ⅰ)如果 ∠PFM =∠PGM,那么 PGPM.即得 PF = PG.

x?1)??x)∴

.………………………………………(1分)

解得 x = 3.即得 BM = 3.………………………………………(1分)

PFPM?2?P.G PG(ⅱ)如果 ∠PFM =∠PMG,那么 PM.即得 PM?PF

x?1)?x)?1∴

.………………………………………(1分)

解得

x1?3?

x2?3.

即得

BM?3?

BM?3?1分)

∴ 当△PMF与△PMG相似时,BM

的长等于33

或3?.

14.普陀区25.(1)①证明:过点P作PM⊥AC,PN⊥BC,垂足分别为M、N.…………………(1分)

∵CD是?ACB的平分线, ∴PM=PN.

由?PMC??MCN??CNP?90,得?MPN?90.

?

?

∴?1??FPN?90. ∵?2??FPN?90, ∴?1??2.

∴△PMF≌△PNE.……………………………(3分) ∴PF = PE.

②解:∵CP?

?

?

∴CN?CM?1. ∵△PMF≌△PNE, ∴NE?MF?1?x.

∴CE?2?x.……………………………………………………………………(2分)

CFCG

?

∵CF∥PN,∴PNGN. CG?

x

1?x.……………………………………………………………………(2分)

y?

x

?2?x1?x(0≤x<1).………………………………………………(2分)

(2)当△CEF与△EGP相似时,点F的位置有两种情况:

①当点F在射线CA上时,

∵?GPE??FCE?90,?1??PEG,∴?G??1. ∴FG?FE.

?

∴CG?CE.

在Rt△EGP

中,EG?2CP?2分) ②当点F在AC延长线上时,

∵?GPE??FCE?90,?1??2, ∴?3??2.

∵?1?45??5,?1?45??2, ∴?5??2.

易证?3??4,可得?5??4.

∴FC?CP?∴FM?1?

?

??

易证△PMF≌△PNE,

可得EN?1?

CFCG

?PNGN.

∵CF∥PN,∴

∴GN?

1.

∴EG?2分)

15.长宁区24、(本题满分12分,每小题4分)

OA3

解:(1)据题意得 Rt△ABO中 sin∠ABO=AB=5

22又OA=3 ,所以 AB=5 OB=AB-OA=4, 所以B(0, 4) (1分) 设AB:y=kx+b(k≠0)

4k???-3k?b?0??b?4b?4A(-3,0)、B(0,4)代入得?解得? ∴AB直线解析式:y?4

x?4 (1分)

?9a-3b?c???a-b?c?0?c?4?c?4?A(-3,0)、C(-1,0)、B(0,4)代入得 解得? (1分) ∴抛物线解析式:

(2)设P(x,4

y?4x2?16x?4 (1分) x?4) 已知D(2,0)

AOABOB3420???APPD时 DP//BO,5DP,DP=3 据题意,当AD

20

∴P(2,3) (2分)

ABAO53??AP时,5AP AP=3 当AD

2(x?3)?(46242x?4)?32x1?-,x2?-355(不合题意,舍去) 解得

-

∴P(61255) (2分)

(3)⊙D的半径r=2

202525

当P(2,3)时,⊙A的半径AP=3 AD=5< 3- 2 ∴两圆内含 (2分)

-

当P(61255)时,⊙A的半径AP=3 AD=5=3+2 ∴两圆外切。 (2分)

55(3y??x2?bx?c2 416.崇明区24.解:(1)∵抛物线 经过A(0,1)和点B

?c?1??55??9?3b?1??2……………………………………………2分 ∴?4

?c?1??17b??4 ………………………………………………1分 ∴?

517y??x2?x?144∴ ………………………………………1分

y?

(2)①由题意可得:直线AB的解析式为1x?12………………2分 ∵PN⊥x轴,交直线AB于点M,交抛物线于点N,OP?m

1M(m,m?1)2 ∴P(m,0),, …………………………1分

PM?

∴ 1m?12 ………………………………………………1分

517N(m,?m2?m?1)44 ②由题意可得: ,MN∥BC

∴当MN=BC时,四边形BCMN为平行四边形

515MN??m2?m44……………1分 1° 当点P在线段OC上时,

5

又∵BC=2

5155?m2?m?42 ∴4

解得m1?1,m2?2 …………………………………………1分

MN?

2° 当点P在线段OC的延长线上时,5215m?m44 …1分

52155m?m?42 ∴4

m1?

33?m2?2(不合题意,舍去)2 …………1分 解得

3?2时,四边形BCMN是平行四边形.

综上所述,当m的值为1或2

18.真题【答案】解:(1)∵点O是圆心,OD⊥BC,BC=1,∴BD=

11BC=。 22 又∵OB=2

,∴。 (2)存在,DE是不变的。

如图,连接AB

,则?

1∵D和E是中点,∴DE

=。 2

(3)∵BD=x

,∴OD。

∵∠1=∠2,∠3=∠4,∠AOB=900。

∴∠2+∠3=45°。

过D作DF⊥OE,垂足为点F。∴DF=OF

由△BOD∽△EDF,得BDOD,即

=EFDF

x,解得EF

。 EF∴OE

114?x2y?DF?OE?0<x。

224

19.11年真题25. (本题满分14分,第(1)小题满分4分,第(2)、(3)小题满分各5分)

12?CM=26。 13

(2) 在Rt△AEP與Rt△ABC中,∵ ?EAP=?BAC,∴ Rt△AEP ~ Rt△ABC, [解] (1) 由AE=40,BC=30,AB=50,?CP=24,又sin?EMP= ∴ 3EPBCEP30,即,∴ EP=x, ??4x40APAC

3x1212EP125 又sin?EMP=?tg?EMP==?=,∴ MP=x=PN, 135MP5MP16

BN=AB?AP?PN=50?x?521x=50?x (0<x<32)。 1616

(3) ? 當E在線段AC上時,由(2)知,EM13EM1313?,?EM=x=EN, ?,即16EP12x12

4

又AM=AP?MP=x?511x=x, 1616

1113xxAMME 由題設△AME ~ △ENB,∴ ,?=,解得x=22=AP。 ?ENNBx50?x1616

? 當E在線段BC上時,由題設△AME ~ △ENB,∴ ?AEM=?EBN。 由外角定理,?AEC=?EAB??EBN=?EAB??AEM=?EMP,

3x40ACEP50? ∴ Rt△ACE ~ Rt△EPM,?,即,?CE=…?。 ?5CE3CEPMx16

設AP=z,∴ PB=50?z,

由Rt△BEP ~ Rt△BAC,?

∴CE=BC?BE=30?5BEBABE50,即=,?BE=(50?z), ?3PBBC50?z305(50?z)…?。 3

550 由?,?,解=30?(50?z),得z=42=AP。 33

20.10年真题(1)解:∵∠B=30°∠ACB=90°∴∠BAC=60°

∵AD=AE ∴∠AED=60°=∠CEP

∴∠EPC=30°

∴三角形BDP为等腰三角形

∵△AEP与△BDP相似

∴∠EAP=∠EPA=∠DBP=∠DPB=30°

∴AE=EP=1

11∴在RT△ECP中,EC=EP= 22

(2)过点D作DQ⊥AC于点Q,且设AQ=a,BD=x

∵AE=1,EC=2

∴QC=3-a

∵∠ACB=90°

∴△ADQ与△ABC相似 ADAQ∴ ?ABAC

1a3即 ?,∴a?x?13x?1

∵在RT△ADQ

中DQ?

∵DQ

BC?AD

AB

∴1

x?x?1 A解之得x=4,即BC=4 Q过点C作CF//DP ∴△ADE与△AFC相似, ∴AE

AC?AD

AF,即AF=AC,即DF=EC=2, BC

∴BF=DF=2

∵△BFC与△BDP相似 ∴BF

BD?BC21

BP?4?2,即:BC=CP=4

∴tan∠BPD=EC

CP?21

4?2

(3)过D点作DQ⊥AC于点Q,则△DQE与△PCE相似,设AQ=a,则QE=1-a ∴QEDQ

EC?CP且tan?BPD?1

3

∴DQ?3?1?a?

∵在Rt△ADQ中,据勾股定理得:AD2?AQ2?DQ2

即:12?a2???3?1?a??2

?,解之得a?1(舍去)a?4

5

∵△ADQ与△ABC相似 4

∴AD

AB?DQAQ4

BC?AC?1?x?5?5x ∴AB?5?5x3?3x

4,BC?4

∴三角形ABC的周长y?AB?BC?AC?5?5x

4?3?3x

4?1?x?3?3x

即:y?3?3x,其中x>0

21.09年真题解:(1)AD=2,且Q点与B点重合,根据题意,∠PBC=∠PDA,因为∠A=90。 PQ/PC=AD/AB=1,所以:△PQC为等腰直角三角形,BC=3,所以:PC=3 /2,

(2)如图:添加辅助线,根据题意,两个三角形的面积可以分别表示成S1,S2, 高分别是H,h,

则:S1=(2-x)H/2=(2*3/2)

S2=3*h/2 因为两S1/S2=y,消去H,h,得: Y=-(1/4)*x+(1/2),

定义域:当点P运动到与D点重合时,X的取值就是最大值,当PC垂直BD时,这时X=0,连接DC,作QD垂直DC,由已知条件得:B、Q、D、C四点共圆,则由圆周角定理可以推知:三角形QDC相似于三角形ABD P

QD/DC=AD/AB=3/4,令QD=3t,DC=4t,则:QC=5t,由勾股定理得:

直角三角形AQD中:(3/2)^2+(2-x)^2=(3t)^2

直角三角形QBC中:3^2+x^2=(5t)^2

整理得:64x^2-400x+301=0 (8x-7)(8x-43)=0

得 x1=7/8 x2=(43/8)>2(舍去) 所以函数:

Y=-(1/4)*x+1/2的定义域为[0,7/8]

(3)因为:PQ/PC=AD/AB,假设PQ不垂直PC,则可以作一条直线PQ′垂直于PC,与AB交于Q′点,

则:B,Q′,P,C四点共圆,由圆周角定理,以及相似三角形的性质得:

PQ′/PC=AD/AB,

。又由于PQ/PC=AD/AB 所以,点Q′与点Q重合,所以角∠QPC=90

D A A Q B C B C (Q) B 图8 图9 图10 Q

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