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相似三角形性质

发布时间:2013-09-23 10:03:05  

九年义务教育初中二年级

相似三角形的性质

二零零三年三月

相似三角形的性质
相似三角形的对应角相等、对应边成比例.

性质证明

定理1

相似三角形对应高的比、对应中线 的比和角平分线比都等于相似比.

已知:如图,△ABC∽△A’B’C’,且相似比是K, A AD、A’D’为对应高. 求证: AD ? K .
证明: ∵△ABC∽△A’B’C’ , ∴∠B=∠B’. 又∵∠ ADB=∠A’D’B’= 90? ∴△ABD∽△A’B’D’. AD AB ? ?K ∴
A' D ' A' B '
B’

A' D '

B

A’

D

C

D’

C’

相似三角形的性质

性质证明

定理2

相似三角形周长的比等于相似比.

由上证明,显然可得
AB BC CA ? ? ?K A' B ' B ' C ' C ' A'

从而由等比性质有

AB ? BC ? CA ?K A' B'? B' C '?C ' A'

又AB+BC+CA和A’B’+B’C’+C’A’分别为 △ABC与△A’B’C的周长

据此可得定理2.

相似三角形的性质
定理3

性质证明

相似三角形面积的比等于相似比的平方.

已知:如图, △ABC∽△A’B’C’,它们的相似比是K, A AD、A’D’分别是高. 2 求证: S?ABC : S?A'B 'C ' ? K 证明: ∵△ABC∽△A’B’C’ BC AD ? ? ?K B ' C ' A' D ' 1 B’ BC ? AD S ?ABC ? 2 ? K ?K ? K2 ∴ S ?A'B 'C ' 1 B' C '? A' D' 2
B D C A’

D’

C’

相似三角形的性质

性质应用

例1

如图,已知△ABC∽△A’B’C’,它们的周长 分别是60cm和72cm且AB=15cm,B’C’=24cm. 求BC、AC、A’B’ 、A’C’的长. B 解:∵ △ABC∽△A’B’C’

AB BC 60 ∴ ? ? (定理2) A' B' B' C ' 72

A B’

C

把AB=15cm,B’C’=24cm代入上式. 解得A’B’=18cm,BC=20cm. ∴AC=60-15-20=25(cm) A’ A’C’=72-18-24=30(cm)

C’

相似三角形的性质

性质应用
?

例2

利用相似三角形的性质,证明勾股定理.
A

已知:如图,在△ABC中,∠C= 90 . 求证:AC2+BC2=AB2
D

证明:作CD⊥AB,垂足为D. ∵△CBD∽ △ABC B
2 2

C

S ?CBD ? BC ? BC ∴ ?? (1) (定理3) ? ? 2 S ?ABC ? AB ? AB

相似三角形的性质
S ?ACD AC 2 同理可得 ? S ?ABC AB2

性质应用
(2)

由(1)+(2)得
S ?CBD ? S ?ACD BC 2 ? AC 2 ? =1 2 S ?ABC AB

附:

∴AC2 ? BC2 ? AB2
在直角三角形中,两直角边的 平方和等于斜边的平方.

勾股定理

相似三角形的性质

性质应用

如图, △ABC是一块锐角三角形 余料,边BC=120mm,高AD=80mm,要把它们 加工成正方形零件, 使正方形的一边在BC 上,其余两个顶点分别在AB和AC上,这个正方 形零件的边长是多少?

例3

分析:假如PQMN为加工成的正方形零
件,那么AE⊥PN.这样△APN的高可写 成AD-ED=AD-PN.再由△APN∽△ABC即 可找到PN与已知条件的关系。

相似三角形的性质

性质应用

解:设正方形PQMN为加工所成的正方形的零件 边QM 在 BC上,顶点P 、N分别在AB、 A

C上. △ABC的高AD与边PN相交于点E. A 设正方形的边长为x(mm) ∵ PN ∥BC P N ∴ △APN∽ △ABC ∴
AE PN ? AD BC 80 ? x x ? (定理1) 80 120



解得x=48(mm) 答:加工成的正方形零件的边长为48mm.

B

Q

D

M

C

相似三角形的性质
1.两个相似三角形对应边的比为7:5,第一个三角形 10 的周长为14, 则另一个三角形的周长为_____. 7 14 分析: ? 5 C 2.点D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中 点,则S△ABC=____ S△DEF 4 分析: DE ? DF ? EF ? 1 AB AC BC 2
S ?DEF ? 1 ? 1 ?? ? ? S ?ABC ? 2 ? 4
2

C

E

D

A

F

B

相似三角形的性质

如何运用相似三角 形的性质证明勾股定理 的逆定理?

作业:P

67

1、2、3、6

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