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4.3余角和补角

发布时间:2014-01-24 11:50:55  

余角和补角

2

1

2

1

互为余角 如果两个角的和是一 个直角,那么这两个角叫 做互为余角,其中一个角 是另一个角的余角。

2
1

图中给出的各角,那些互为余角?
10o

30o

50

o

60o

40

o

80

o

4

3

4

3

4 互为补角 如果两个角的和是一个 平角,那么这两个角叫做互 为补角,其中一个角是另一 个角的补角。

3

图中给出的各角,那些互为补角?
10o

30o

60

o

80o

100o 120o 150o

170o

我来试一试:

∠α
5° 32°

∠α的余角
85° 58° 45° 13° 27°37′ 90° x

∠α的补角
175° 148° 135° 103° 117°37′ 180° x

45° 77°
62°23′

x

练习
一、填空

1、70°的余角是

20° ,补角是

110 °



2、 ∠ ? ( ∠ ? <90 ° )的余角是 90°- ∠ ? ,它的补 角是 180°- ∠ ? 。

重要提醒:(如何表示一个角的余角和补角) 锐角∠?的余角是(90 °—∠ ? )

∠?的补角是(180 °—∠ ? )

例1

若一个角的补角等于它的余角的

4 倍,求这个角的度数。
解: 设这个角是x °,则它的补角是 ( 180°-x°),余角是(90°-x°) 。 根据题意得:

(180°-x°)= 4 (90°-x°)
解得: x =60

答:这个角的度数是60 °。

探究:余角和补角的性质

如图∠1 与∠2互补,∠3 与 ∠4互补 ,如果∠1=∠3,那么∠2 与∠4相等吗?为什么?

2

1

4

3

如图∠1 与∠2互补,∠3 与∠4互补 ,如果∠1=∠3, 那么∠2与∠4相等吗?为什 么?
2
1

4

3

如图∠1 与∠2互补,∠3 与∠4互补 ,如果∠1=∠3, 那么∠2与∠4相等吗?为什 么?
2
1 4 3

如图∠1 与∠2互补,∠3 与∠4互补 ,如果∠1=∠3, 那么∠2与∠4相等吗?为什 么?
2
1
4

3

例3 如图,∠1与∠2互补,∠3与∠4互补,如果 ∠1=∠3,那么∠2与∠4相等吗?为什么?
2 1 3 4

解:∠2与∠4相等。 因为∠1与∠2互补;∠3与∠4互补, 所以∠2=180°-∠1;∠4=180°-∠3, 又因为∠1=∠3, 所以∠2=∠4。

这里, 我们用到 了“等量 减等量, 差相等”。

补角性质:

等角的补角相等

探究:余角和补角的性质

如图∠1 与∠2互余,∠3 与 ∠4互余 ,如果∠1=∠3,那么 ∠2与∠4相等吗?为什么?

1

2

3

4

如图∠1 与∠2互余,∠3 与∠4 互余 ,如果∠1=∠3,那么∠2与 ∠4相等吗?为什么?

1

2

3

4

如图∠1 与∠2互余,∠3 与∠4 互余 ,如果∠1=∠3,那么∠2与 ∠4相等吗?为什么?

1

2

3

4

余角性质:

等角的余角相等

A
1 O 2

D

如图∠AOB = 90 °
B

∠COD = 90 ° 则∠1与∠2是什么关系?

C

答: ∠1 = ∠2 因为∠1+ ∠BOD = 90 ° ∠2+ ∠BOD = 90 ° 所以∠1 = ∠2 (等角的余角相等)

互 余
数量 关系 对 应 图 形 性





∠1+∠2=90°

∠1+∠2=180°

21

等角的余角相等

2

1

等角的补角相等.



探索研究 如图,已知AOB是一直线,OC是 ∠ AOB的平分线, ∠ DOE是直角,图 中哪些角互余?哪些角互补?哪些角 相等? C D

E
4

3

1

2
O

A

B

A

B

C

如图,E、F是直线DG上两点
D E F G

∠BEF = ∠BFE

∠AED = ∠CFG = 90 °

找出图中相等的角并说明理由。

200m

300m

你知道方位角吗?
西北 北 东北

西



西南



东南

例1

如图,OA是表示北偏东30 方向的一条射线,仿照
这条射线,画出表示下列方向的角:
0 0



(1)南偏东25

(2)北偏西60 A



60° 西

300

东 25° 南

例2 如图,货轮O在航行过程中,发现灯塔A在
南偏东60°的方向上。同时,在它北偏东40°、南 偏西10°、西北方向上又分别发现了客轮B、货轮 C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法,画出表示客 轮B、货轮C和海岛D的射线。
北 东 西

D
西


40 °

B


O


60 °

A

O
C 南

60 °

A

2、如图,OA表示北偏东32°方向线, OB表 示南偏东 43°方向线,则∠ AOB 等于 ———— 。

3、A看B的方向是北偏东30°,那么B看A 的方向是( ) (A)南偏东60°(B)南偏西60° (C)南偏东30° (D)南偏西30°
北 北

B

1 2 A




4、 小明从点A出发向北偏西50° 方向走了3米,到达点B,小林从点A 出发向南偏西40°方向走了4米,试 画图确定出A、B、C三点的位置(用 1厘米表示3米),并从图上求出B点 到C点的实际距离。 北
B 500
西
400 A 东

C



C

A

O

B

互为补角
如果两个角的和是一个平角,那么 这两个角叫做互为补角,其中一个 角是另一个角的补角。

互为余角
如果两个角的和是一个直角, 那么这两个角叫做互为余角, 其中一个角是另一个角的余角。

互为余角
如果两个角 的和是一个 直角 ,那么这两个 角叫做互为余角,其中一个角是另一个角的 余角。

互为补角
如果两个角 的和是一个 平角 ,那么这两个 角叫做互为补角,其中一个角是另一个角的 补角。

2 1

4

若∠1 + ∠2 =180 °, 则 ∠1和∠2互补.(互补定义 ) 若∠1和∠2互补, ° 互补定义) 则∠1 + ∠2 =180 .( 若∠3 + ∠4 =90 °, 则 ∠3和∠4互余 .( 互余定义) 若∠3和∠4互余, ° 互余定义) 则 ∠3 + ∠4 =90 .(

2

3 1

3

3

3
4

∠1和∠2互余,∠3和∠4互余,如果 ∠1=∠3,那么, ∠2和∠4相等吗? 为什么?

?补角性质:
同角或等角的补角相等。

?余角性质:
同角或等角的余角相等。

A
1 O 2

D

如图∠AOB = 90 °
B

∠COD = 90 ° 则∠1与∠2是什么关系?

C

答: ∠1 = ∠2 因为∠1+ ∠BOD = 90 ° ∠2+ ∠BOD = 90 ° 所以∠1 = ∠2 (同角的余角相等)

互为余角
对应图形
1

互为补角
2 1

2

数量关系 ∠1+ ∠2 = 90 °

∠1+ ∠2 = 180 ° 性 质
同角或等角的 余角相等。 同角或等角 的补角相等。

检测
D
E C A O B

1. ∠1=120 °, ∠1与∠2互补, ∠3与∠2互余,则 ∠3= 30 °. 2.O为直线AB上的一点,OD 平分∠AOB, ∠COE = 90 ° 则∠BOC = ∠DOE , ∠COD = ∠AOE。

同角或等角的补角相等 同角或等角的余角相等. 如图,∠AOB=90°,∠COD=∠EOD=90°,C,O,E 在一条直线上,且∠2=∠4,请说出∠1与∠3之 间的关系?并试着说明理由?
D B 4 E 3 2 1 O C A


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