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华师大九年级(下)数学教案_28章_圆全章讲学稿

发布时间:2014-01-24 13:49:21  

第28章 圆

28.1.1圆的基本元素

教学目标:使学生理解圆、等圆、等弧、圆心角等概念,让学生深刻认识圆中的基本概念。 重点难点: 1、重点:圆中的基本概念的认识。2、难点:对等弧概念的理解。 教学过程:

一、圆是如何形成的?

请同学们画一个圆,并从画圆的过程中阐述圆是如何形成的。

如右图,线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点AA

随之旋转所形成的图形。同学们想一想,如何在操场上画出一个很大的圆?说说你的方法。

【思考】:圆的位置是由什么决定的?而大小又是由谁决定的?

(圆的位置由 决定,圆的大小由 决定)

二、圆的基本元素

问题:据统计,某个学校的同学上学方式是,有50%的同学步行上学,有20%的同学坐公共汽车上学,其他方式上学的同学有30%,请你用扇形统计图反映这个学校学生的上学方式。 我们是用圆规画出一个圆,再将圆划分成一个个扇形,右上图28.1.1就是反映学校学生上学方式的扇子形统计图。

如图28.1.2,线段OA、OB、OC都是圆的半径,线段AB为直径,.这个以点O为圆心的圆叫作“圆O”,记为“⊙O”。线段AB、BC、AC都是圆O中的弦,曲线BC、BAC都是圆中的弧,分别记 图

23.1.1

︵︵︵为BC、BAC,其中像弧BC这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧,像弧BAC这样的大于半圆周的圆︵弧叫做优弧。

∠AOB、∠AOC、∠BOC就是圆心角。

结合上面的扇形统计图,同学们进一步阐述圆心角、优弧、劣弧等圆中的基本元素。

三、理解辨析:

1、直径是弦吗?弦是直径吗?

2、半圆是弧吗?弧是半圆吗?

3、半径相等的两个圆是等圆,而两段弧相等需要什么条件呢? 1

4、说出右图中的圆心解、优弧、劣弧。

5、直径是圆中最长的弦吗?为什么?

四、例题:如图,AB是⊙O的弦,延长AB至点C,使BC等于⊙O的半径.连

结CO并延长交⊙O于点D,∠ACD=25,试求?AOD的度数。

五、课堂练习:

1. 给出下列说法:①半径相等的圆是等圆;②长度相等的弧是等弧;③半圆是弧,但弧不一定是半圆;④半径相等的两个半圆是等弧,其中正确的有( )

A.1个 B.2 C.3个 D.4个

2. 如图,在⊙O中,点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上,图中弦的条数为 ( )

A.2 B.3 C.4 D.5 o

?=CD?=DE?, ?=EA3. 如图,A、B、C、D、E为⊙O上的点,且有∠AOE =80,BCo

则∠AOB =_______.

4. 如图,AB是⊙O的直径,如果∠COA=∠DOB=60,那么与线段OA相等的线段有_________条。

六、小结:本节课我们认识了圆中的一些元素,同学应能从具体的图形中对这些元素加以识别。

七、作业:

1. 下面的四个判断中,叙述正确的是 ( )

A.过圆内一点的无数条弦中,有最长的弦,没有最短的弦

B.过圆内一点的无数条弦中,有最短的弦,没有最长的弦

C.过国内一点的无数条弦中,有且只有一条最长的弦,也有且只有一条最短的弦

o第2题 第3题 第4题

2

D.过圆内一点的无数条弦中,既没有最长的弦,也没有最短的弦

?,则下列结论错AB?2CD2. 如图,AB、CD为同圆中的两条弦,若?

的是 ( ) 误

?的长的2倍 B.∠AOB=2∠COD A.?AB的长为CD

C.AB=2CD D.AB<2CD

3.如图.在△ABC中,∠ACB=90 o,?AD=700,以点C为圆心、CA为半径的圆交AB于点D,则∠B=_____.

第3题 第4题

AC4. 如图,D、E分别是⊙O的半径OA、OB上的点,CD⊥OA,CE⊥OB,且CD=CE,则弧长?

?的大小关系是___________. 与CB

5.如图,AD=BC,AB=5 cm,求CD的长.

6. 如图,AB是⊙O的弦.半径OC、OD分别交AB于点E、F,且AE=BF,CE与DF有什么大小关系?说明理由.

3

7. 如图,A、B、C、D是⊙O上的四点,AB=DC,△ABC与△DCB全等吗?为什么?

●体验中考

1. (2009年长沙)如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,?BOC?44°,则?A的度数为 .

A 2. (2009年南充)如图,AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,

?BOC?110°,AD∥OC,则?AOD?( )

A.70°

3.(2009年哈尔滨)如图,在⊙O中,D、E分别为半径OA、OB上的点,且AD=BE. 点C为弧AB上一点,连接CD、CE、CO,∠AOC=∠BOC.

求证:CD=CE.

B.60° C.50° D.40°

4

28.1.2圆的对称性

教学目标:使学生知道圆是中心对称图形和轴对称图形,并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系,能运用这些关系解决问题,培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法。

重点难点: 1、重点:由实验得到同一个圆中,圆心角、弧、弦三者之间的关系。

2、难点:运用同一个圆中,圆心角、弧、弦三者之间的关系解决问题。

教学过程:

一、由问题引入新课:

要同学们画两个等圆,并把其中一个圆剪下,让两个圆的圆心重合,使得其中一个圆绕着圆心旋转,可以发现,两个圆都是互相重合的。如果沿着任意一条直径所在的直线折叠,圆在这条直线两旁的部分会完全重合。

由以上实验,同学们发现圆是中心对称图形吗?对称中心是哪一点?圆不仅是中心对称圆形,而且还是轴对称图形,过圆心的每一条直线都是圆的对称轴。

二、新课

1、同一个圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等。

垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。

23.1.3 图

23.1.4

实验1、将图形28.1.3中的扇形AOB绕点O逆时针旋转某个角度,得到图28.1.4中的图形,同学们可以通过比较前后两个图形,发现?AOB??AOB,AB?AB,。AB=AB

实质上,?AOB确定了扇形AOB的大小,所以,在同一个圆中,如果圆心角相等,那么它所对的弧相等,所对的弦相等。

【思考】:在同一个圆中,如果弧相等,那么所对的圆心角,所对的弦是否相等呢? 在同一个圆中,如果弦相等,那么所对的圆心角,所对的弧是否相等呢?

实验2、如图28.1.7,如果在图形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB,垂足为P,再将纸片沿着直径CD对折,比较AP与PB、AC与CB,你能发现什么结论?

显然,如果CD是直径,AB是⊙O中垂直于直径的弦,那么AP?BP,

AC=BC,AD=BD。请同学们用一句话加以概括。

︵︵图23.1.7

5

( 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧)

2、同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系的应用。

(1)思考:如图,在一个半径为6米的圆形花坛里,准备种植六种不同颜色的花卉,要求每种花卉的种植面积相等,请你帮助设计种植方案。

(2)如图28.1.5,在⊙O中,AC?BC,?1?45?,求?2的度数。

四、课堂练习

1. 下列说法中,不成立的是 ( ) 图

23.1.5 三、例题:如图,已知在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm,求⊙O的半径.

A.弦的垂直平分线必过圆心 B.弧的中点与圆心的连线垂直平分这条弧所对的弦

C.垂直于弦的直线经过圆心,且平分这条弦所对的弧 D.垂直于弦的直径平分这条弦

2. 如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足为点E,则图中不

大于半圆的相等的弧有 ( )

A.1对 B.2对 C.3对 D.4对

3. 如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为点E,如果AB=10,CD=8,那么

AE的长为( )

A.2 B. 3 C.4 D. 5

6

4.如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为点P,若AP:PB=1:

4,CD=8,则AB=_________.

5.如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为点E,∠CAD=80,

则∠OCE=_________.

三、课堂小结

本节课我们通过实验得到了圆不仅是中心对称图形,而且还是轴对称图形,而由圆的对称性又得出许多圆的许多性质,即

(1)同一个圆中,相等的圆心角所对弧相等,所对的弦相等。

(2)在同一个圆中,如果弧相等,那么所对的圆心角,所对的弦相等。

(3)在同一个圆中,如果弦相等,那么所对的圆心角,所对的弧相等。

(4)垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。

四、作业

1. 下列四个命题中,叙述正确的是 ( )

A.平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B.平分一条弧的直径垂直于这条弧所对的弦

C.弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D.平分一条弦的直线必经过这个圆的圆心 o

AB的中点,2. 如图,⊙O的半径为4 cm,点C是?半径OC交弦AB于点D,

OD=,则弦AB的长为( ).

A.2 cm B.3 cm C.

.4 cm

3. 如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为点E,那么下列结论错误的是

( )

??BD? A.CE=DE B.BC

C.∠BAC=∠BAD D.AC>AD为2

4. 若小唐同学掷出的铅球在场地上砸出一个直径约为10 cm、深约cm的小坑,则该铅球的直径约为( )

A. 10 cm

5. 如图,⊙O的半径为5,弦AB=8,OC⊥AB于C,则OC的长等于_______.

B. 14.5 cm C. 19.5 cm D. 20 cm

7

6.如图,⊙O的直径AB和弦CD相交于点E,AE=1 cm,EB=5 cm,∠DEB=60,求CD的长.

7.已知:如图,∠PAC=30,在射线AC上顺次截取AD=3 cm,DB=10 cm,以DB为直径作⊙O,交射线AP于E、F两点,求圆心O到AP的距离及EF的长.

●体验中考

1. (2009年娄底)如图,AB是⊙O的弦,OD⊥AB于D交⊙O于E,则下列说

法错误的是 ( ) ..oo

? A.AD=BD B.∠ACB=∠AOE C.?AE?BE D.OD=DE

2. (2009年恩施市)如图,⊙O的直径AB垂直弦CD于P,且P是半

径OB的中点,CD?6cm,则直径AB的长是( )

A

. B

. C

. D

3. (2009年甘肃庆阳)如图,⊙O的半径为5,弦AB=8,M是弦AB上的动

点,则OM不可能为( )

A.2

4. (2009年广西梧州)某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示,

已知AB=16m,半径OA=10m,则中间柱CD的高度为 m.

B.3 C.4 D.5

8

28.1.3圆周角

教学目标:使学生知道什么样的角是圆周角,了解圆周角和圆心角的关系,直径所对的圆周角的特征;并能应用圆心角和圆周角的关系、直径所对的圆周角的特征解决相关问题,同时,通过对圆心角和圆周角关系的探索,培养学生运用已有知识,进行实验、猜想、论证,从而得到新知。 重点难点:

1、重点:认识圆周角,同一条弧的圆周角和圆心角的关系,直径所对的圆周角的特征。

2、难点:发现同一条弧的圆周角和圆心角的关系,利用这个关系进一步得到其他知识,运用所得到的知识解决问题。

教学过程:

一、认识圆周角

如下图,同学们能找到圆心角吗?它具有什么样的特征?(顶点在圆心,两边与圆相交的角叫做圆心角),今天我们要学习圆中的另一种特殊的角,它的名称叫做圆周角。

究竟什么样的角是圆周角呢?像图(3)中的解就叫做圆周角,而图(2)、(4)、(5)中的角都不是圆周角。 圆周角:顶点在圆上,两边与圆相交的角叫做圆周角。

练习:试找出右图中所有相等的圆周角。

(第1题)

二、圆周角的度数

探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度?而90?的圆周角所对的弦是否是直径? 如图28.1.9,线段AB是⊙O的直径,点C是⊙O上任意一点(除点A、 B), 那 么,∠ACB就是直径AB所对的圆周角.想想看,∠ACB会是怎么样 的角?为什么呢? 启发学生用量角器量出?ACB的度数,而后让同学们再画几个直径 AB所对的 圆周角,并测量出它们的度数,通过测量,同学们感性认识到直

径所对的圆周角等于90?(或直角),进而给出严谨的说明。

23.1.9 证明:

9

半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90°(直角)。反过来也是成立的,即90°的圆周角所对的弦是圆的直径

三、探究同一条弧所对的圆周角和圆心角的关系 做一做: 1、分别量一量图28.1.10中弧AB所对的两个圆周角的度数比较一下. 再变动点C在圆周上的位置,看看圆周角的度数有没有变化. 你发现其中 有什么规律吗?

(2) 分别量出图28.1.10中弧AB所对的圆周角和圆心角的度数,比

较一下,你发现什么?

23.1.10

〖我的发现〗:圆周角的度数 . 并且圆周角的度数恰好为同弧所对的圆心角的度数的 。

由上述操作可以猜想:在一个圆中,一条弧所对的任意一个圆周角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半。

为了验证这个猜想,如图28.1.11所示,可将圆对折,使折痕经过圆心O和圆周角的顶点C,这时可能出现三种情况:(1) 折痕是圆周角的一条边,(2) 折痕在圆周角的内部,(3) 折痕在圆周角的外部。

图23.1.11

学生思考在三种情况下如何验证猜想。

【结论】:一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。

【思考】: 1、在同一个圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等吗?为什

么?相等的圆周角所对的弧相等吗,为什么?

2、你能找出右图中相等的圆周角吗?

3、如图,如图28.1.12,AB是⊙O的直径,∠A=80°,则∠ABC= 。

4、在圆中,一条弧所对的圆心角和圆周角分别为(2x+100)°和(5x-30)°,

求这条弧所对的圆心角和圆周角的度数.

23.1.12

10

四、例题讲解

例1:如图OA,OB,OC都是⊙O的半径,∠AOB=2∠BOC

求证:∠ACB=2∠BAC

例2:如图,已知在⊙O中,直径AB为10cm,弦AC为6cm,∠ACB的平分线交⊙O于D,求BC,AD和BD的长.

五、课堂练习

1.如图,图中圆周角的个数是 ( )

A.9 B.12 C.8 D. 14

第1题 第2题

第3题

2.如图,圆∠BOC=100 o,则圆周角∠BAC为 ( )

A.100 o B.130 o C.50 o D.80o

3.如图,AB为⊙O的直径,点C在QO上,∠B=50 o,则∠A等于 ( )

A.80 o B.60 o C.50 o D.40 o

4. 如图,点A、B、C都在⊙O上,连结AB、BC、AC、OA、OB,且∠BAO=25 o, 则∠ACB的大小为___________.

5. 如图,等腰三角形ABC的底边BC的长为a,以腰AB为直径的⊙O交BC于点D. 则BD的长为

___________.

11

第4题

第5题

六、小结

本节课我们一同探究了同圆或等圆中,一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半;由这个结论进一步得到:同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于该弧所对的圆心角的一半; 相等的圆周角所对的弧相等;半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90°(直角)。90°(直角)的圆周角所对的弦是圆的直径等结论,希望同学们通过复习,记住这些知识,并能做到灵活应用他们解决相关问题。

七、作业:

1.如图.⊙O中OA⊥BC,∠CDA=25o,则∠AOB的度数为_______.

2.如图.AB为⊙O的直径,点C、D在⊙O上,∠BAC=50 o.则∠ADC=_______.

第1题 第2题

第3题

3. 如图,AB是半圆O的直径,∠BAC=30 o,D是AC上任意一点,那么∠D的度数是 ( )

A.150 o B.120 o C.100 o D.90 o

4.如图,?ABC内接于⊙O,AD是⊙O的直径,∠ABC=30o,则∠CAD

等于( )

A.30 o B.40 o C.50 o D. 60 o

5.如图,∠APC=∠CPB=60 o,请推测△ABC是什么三角形,并证明猜想的正确性.

12

6. 如图,AD是?ABC的高,AE是?ABC的外接圆的直径.试说明AB·AC=AE·AD.

7. 如图,点A、B、C为圆O上的三个点,∠AOB=∠BOC, ∠BAC=45 o,求∠ACB的度数.

●体验中考

1. (2009年温州)如图,∠AOB是⊙0的圆心角,∠AOB=80°,则弧AB所

对圆周角∠ACB的度数是( )

A.40° B.45° C.50° D.80°

2. (2009年凉山州)如图,⊙O是△ABC的外接圆,已知13

?ABO?50°,则?ACB的大小为( )

A.40°

3. (2009年山西省)如图所示,A、B、C、D是圆上的点,

则?D? 度. ?1?70°,?A?40°,

4. (2009宁夏)已知:如图,AB为⊙O的直径,AB?AC,BC交⊙O于点D,AC交⊙O

B.30° C.45° D.50°

13

于点E,?BAC?45°.

(1)求?EBC的度数;

(2)求证:BD?CD.

28.2.1点与圆的位置关系

教学目标:使学生能够用数量关系来判断点与圆的位置关系,掌握不在一条直线上的三点确定一个圆,能画出三角形的外接圆,求出特殊三角形的外接圆的半径,渗透方程思想。

重点难点:

1、重点:用数量关系判断点和圆的位置关系,用尺规作三角形的外接圆,求直角三角形、等边三角形和等腰三角形的半径。

2、难点:运用方程思想求等腰三角形的外接圆半径。

教学过程:

一、用数量关系来判断点和圆的位置关系

同学们看过奥运会的射击比赛吗?射击的靶子是由许多圆组成

的,射击的成绩是由击中靶子不同位置所决定的;右图是一位运动员射

击10发子弹在靶上留下的痕迹。你知道这个运动员的成绩吗?请同学们

算一算。(击中最里面的圆的成绩为10环,依次为9、8、?、1环)

这一现象体现了平面上的点与圆的位置关系,如何判断点与圆的位置关系呢?我们知道圆上的所有点到圆心的距离都等于半径,若点在圆上,那么这个点到圆心的距离等于半径,若点在圆外,那么这个点到圆心的距离大于半径,若点在圆内,那么这个点到圆心的距离小于半径。 如图28.2.1,设⊙O的半径为r,A点在圆内,B点在圆上,C点在圆外,那

OA<r, OB=r, OC>r.反过来也成立,即

若点A在⊙O内

OA

?

r

若点A在⊙O上OA?r 若点A在⊙O外OA?r 图23.2.1

思考与练习

14

1、⊙O的半径r?5cm,圆心O到直线的AB距离d?OD?3cm。在直线AB上有P、Q、R三点,且有PD?4cm,QD?4cm,RD?4cm。P、Q、R三点对于⊙O的位置各是怎么样的?

2、Rt?ABC中,?C?90?,CD?AB,AB?13,AC?5,对C点为圆心,60

13

为半径的圆与点A、B、D的位置关系是怎样的?

二、不在一条直线上的三点确定一个圆

问题与思考:平面上有一点A,经过A点的圆有几个?圆心在哪里?平面上有两点A、B,经过A、B点的圆有几个?圆心在哪里?平面上有三点A、B、C,经过A、B、C三点的圆有几个?圆心在哪里?。

23.2.3 图

23.2.2 图

23.2.4

从以上的图形可以看到,经过平面上一点的圆有无数个,这些圆的圆心分布在整个平面;经过平面上两点的圆也有无数个,这些圆的圆心是在线段AB的垂直平分线上。经过A、B、C三点能否画圆呢?同学们想一想,画圆的要素是什么?(圆心确定圆的位置,半径决定圆的大小),所以关键的问题是定其加以和半径。

如图28.2.4,如果A、B、C三点不在一条直线上,那么经过A、B两点所画的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上,而经过B、C两点所画的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上,此时,这两条垂直平分线一定相交,设交点为O,则OA=OB=OC,于是以O为圆心,OA为半径画圆,便可画出经过A、B、C三点的圆.

思考:如果A、B、C三点在一条直线上,能画出经过三点的圆吗?为什么?

即有:不在同一条直线上的三个点确定一个圆

也就是说,经过三角形三个顶点可以画一个圆,并且只能画一个.经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆.三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.这个三角形叫做这个圆的内接三角形.三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点,它到三角形三个顶点的距离相等。

思考:随意画出四点,其中任何三点都不在同一条直线上,是否一定可以画一个圆经过这四点?请举例说明。

三、例题讲解

15

例1:在Rt△ABC中,∠C=90°,D是AB的中点,AC=4,BC=2,以C

作?C,A、D、B三点与?C的位置关系怎样?

例2:如图,已知Rt?ABC中,?C?90?,若AC?5cm, BC?12cm,求△ABC的外接圆半径。 C

B

A例1

例3、如图,等腰△ABC中,AB?AC?13cm,BC?10cm,求△ABC外接圆的半径。

A

O

BCD 例3

四、课堂练习

1、已知⊙O的半径为5 cm,A为线段OP的中点,其中OP=6 cm,则点P在⊙O__________,点A在⊙O___________.

2、以2 cm为半径可以画__________个圆,以点O为圆心可以画_________个圆,以点O为圆心,2 cm为半径可以画____________圆.

3、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90。,AC=3,BC=4,CD ⊥ AB,垂足为点D,以点C为圆心,3为半径画圆,则A、B、D三点中在圆外的是______,在圆内的是_______,在圆上的是_________.

4、若⊙O的面积为25?cm,圆心O在坐标原点,点P的坐标为(2,4),则 ( )

第3题 2

16

A.点P在⊙O内 B.点P在⊙O上 C.点P在⊙O上或⊙O外 D.点P在⊙O外

5、 已知⊙O的半径为3,点P到圆心O的距离是方程x一5x一6=0的根,则点P与⊙O的位置关系是 ( )

A.点P在⊙O内 B.点P在⊙O外 C.点P在⊙O上 D.无法确定

四、小结

本节课我们学习了用数量关系判断点和圆的位置关系和不在同一直线上的三点确定一个圆,求解了特殊三角形直角三角形、等边三角形、等腰三角形的外接圆半径,在求解等腰三角形外接圆半径时,运用了方程的思想,希望同学们能够掌握这种方法,领会其思想。

五、作业

1、如图,已知⊙O的直径为6,且P是⊙O内部的一点,那么线段OP的长的取值

范围是___________

2、已知⊙O的周长为12?,若点P到点O的距离为5,则点P在⊙O__________,

若点P到点O的距离为6.5,则点P在⊙O______________.

3、如图,在△ABC中,∠ACB=90,AC=2 cm,BC=4 cm,CD是中线,以点C

为。2

半径画圆,则A、B、D三点与圆C的位置关系叙述不正确的是( )

A.点B在⊙O外 B.点A在⊙O内

C.点D在⊙O外 D.点D在⊙O上

4、如图,在△ABC中,∠C=90,AC=BC=4 cm,D是AB的中点,以点C为圆心、4 cm长为半径作圆,则A、B、D三点中,在圆内的有 ( )

A.0个 B. 3个 C.2个 D.1个

5、已知矩形ABCD的边AB=3,AD=4.

(1)以点A为圆心,4为半径作⊙A,则点B、C、D与⊙A的位置关系如何?

(2)若以点A为圆心作⊙A.使B、C、D三点至少有一点在圆内,且至少有一点在圆外,则⊙A

的半径r的取值范围是什么?

6、 如图,点P的坐标为(4,0 ),⊙P的半径为5.且⊙P与x轴交于点A、

B.与y轴交于点C、D,试求出点A、B、C、D的坐标.

o。

17

7、如图,已知O为原点,点A的坐标为(4,3),⊙A的半径为2.过A作直线l平行于x轴,点

P在直线l上运动.

(1)当点P在⊙O上时,请你直接写出它的坐标;

(2)设点P的横坐标为12,试判断直线OP与⊙A的位置关

系,并说明理由.

●体验中考

1. (2009年贵州省黔东南州)如图,⊙O的半径为5,P为圆内一点,P点到圆心O的距离为4,则过P点的弦长的最小值是_____________。

28.2.2直线与圆的位置关系

教学目标:使学生掌握直线与圆的位置关系,能用数量来判断直线与圆的位置关系。

18

重点难点:用数量关系(圆心到直线的距离)判断直线与圆的位置关系即是教学重点又是教学难点。

教学过程:

一、用移动的观点认识直线与圆的位置关系

1、同学们也许看过海上日出,如右图中,如果我们把太阳看作一个圆,那么太阳在升起的过程中,它和海平面就有右图中的三种位置关系。

2、请同学在纸上画一条直线,把硬币的边缘看作圆,在纸上移动硬币,你能发现直线与圆的公共点个数的变化情况吗?公共点个数最少时有几个?最多时有几个?

二、数量关系判断直线与圆的位置关系

从以上的两个例子,可以看到,直线与圆的位置关系只有以下三种,如下图所示:

如果一条直线与一个圆没有公共点,那么就说这条直线与这个圆相离,如图28.2.6(1)所示. 如果一条直线与一个圆只有一个公共点,那么就说这条直线与这个圆相切,如图28.2.6(2)所示.此时这条直线叫做圆的切线,这个公共点叫做切点.如果一条直线与一个圆有两个公共点,那么就说这条直线与这个圆相交,如图28.2.6(3)所示.此

时这条直线叫做圆的割线.

图23.2.6

如何用数量来体现圆与直线的位置关系呢?

如上图,设⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,从图中可以看出:

若d?

r直线

l与⊙

O

相离;

若d?r直线l与⊙O相切;

若d?r直线l与⊙O相交;

所以,若要判断圆与直线的位置关系,必须对圆心到直线的距离与圆的半径进行比较大小,由比较的结果得出结论。

三、练习与例题

练习1、已知圆的半径等于5厘米,圆心到直线l的距离是:(1)4厘米;(2)5厘米;(3)6厘米.直线l和圆分别有几个公共点?分别说出直线l与圆的位置关系。(口答)

练习2、已知圆的半径等于10厘米,直线和圆只有一个公共点,求圆心到直线的距离.(口答) 练习3、如果⊙O的直径为10厘米,圆心O到直线AB的距离为10厘米,那么⊙O 与直线AB有怎样的位置关系?(口答)

例1:在Rt?ABC

19

中,?C?90,AC=6cm,BC?8cm,以C为圆心,

r为半径的圆与AB有何位置关系?为什么?

(1)r=4cm; (2)r=4.8cm; (3)r=8cm

例2:如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的直径AB交小圆于点C、D,大圆的弦EF

与小圆相切于点C,ED交小圆于点G, 设大圆的半径为10cm,EF?8cm,求小圆的半径r和

EG的的长度。

B

四、课堂练习

1.已知⊙O的半径为4,圆心O到直线l的距离为3,则直线l与⊙O的位置关系是 ( )

A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定

2.已知直线l与⊙O相离,如果⊙O的半径为R,点O到直线l的距离为d,那么 ( )

A.d>R B.d<R C.d=R D.d≤R 0

3.已知⊙O的半径为3 cm,点P是直线l上一点,OP长为5 cm,则直线l与⊙O的位置关系为

( )

A.相交 B.相切 C.相离 D.相交、相切、相离都有可能

4. 已知⊙O的半径为5 cm,点O到直线l的距离为d,

当d=4 cm时,直线l与⊙O___________;

当d=___________时,直线l与⊙O相切;

当d=6 cm时,直线l与⊙O___________.

20

5. 已知∠AOB=30,C是射线OB上的一点,且OC=4,若以点C为圆心,r为半径的圆与射线OA有两个不同的交点,则r的取值范围是____________.

五、小结

本节课我们学习了直线与圆的位置关系,当我们判断直线与圆的位置关系时,应该用数量关系(圆心到直线的距离)来体现,即上面讲解的圆心到直线的距离与圆的半径进行比较大小,从而断定是哪种关系。

若d?

r直线

l与⊙

O

相离;

若d?r直线l与⊙O相切;

若d?r直线l与⊙O相交;

六、作业

1. 在正方形ABCD中,点P是对角线AC上的任意一点(不包括端点),以点P为圆心的圆与AB相切,则AD与⊙P的位置关系是 ( )

A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定

2.如图,在直角坐标系中,⊙O的半径为1,则直线y= 一与⊙O

的位置关系是( )

A.相离 B.相交

C.相切 D.以上三种情形都有可能

3.在平面直角坐标系中有点A(3,4),以点A为圆心,5为半径画圆,在同一坐标系中直线y=-x与⊙A的位置关系是 ( )

A.相离 B.相切 C.相交 D.以上都有可能

4. 如图,直线l1与l2垂直,垂足为点O,AM⊥l1,,AN⊥l2,垂足分别为点M、N,AM=4,AN==3,以点A为圆心,R为半径作⊙A,根据下列条件,确定R的取值范围:

(1)若⊙A与两直线没有公共点,则R的取值范围为_____________;

(2)若⊙A与两直线共有一个公共点,则R的取值范围为___________;

(3)若⊙A与两直线共有两个公共点,则R的取值范围为____________;

(4)若⊙A的两直线共有三个公共点,则R的取值范围为____________;

(5)若⊙A与两直线共有四个公共点,则R的取值范围为____________________.

o

21

5. 如图,在直角坐标系中,⊙M的圆心坐标为(m,0),半径为2.如果⊙

M与y轴所在的直线相切,那么m=_________;如果⊙M与y轴所在直线

相交,那么m的取值范围是________________________.

6. 如图,⊙O的半径OC=5 cm,直线l⊥OC,垂足为点H,且l交⊙O于A、B两点,AB=8 cm,则l沿OC所在直线向下平移________ cm时与⊙O相切.

7. 在一个圆形的水库附近有B、C两个村庄,如图所示,现要在B、C两村庄之间修一条长2 km的笔直公路将两村连通,经测量得点A是圆心,水库的半径3 km,∠ABC=45,∠ACB=30.问:此水库是否会妨碍公路的建设?请说明理由.

。。

●体验中考

1. (2009年清远)已知⊙O的半径r,圆心O到直线l的距离为d,当d?r时,直线l与⊙O的位置关系是( )

A.相交 B.相切 C.相离 D.以上都不对

2. (2009年南充)△ABC中,AB?10cm,AC?8cm,BC?6cm

为半径作⊙B,则边AC所在的直线与⊙B的位置关系是 .

,以点B为圆心、6cm

22

28.2.4切线(一)

教学目标:

1、使学生掌握切线的识别方法,并能初步运用它解决有关问题;

2、通过切线识别方法的学习,培养学生观察、分析、归纳问题的能力;

教学重点和难点:

切线的识别方法是重点;而方法的理解及实际运用是难点.

教学过程设计:

一、从学生已有的知识结构提出问题

1、复习、回顾直线与圆的三种位置关系.

教师指出,根据切线的定义可以识别一条直线是不是圆的切线,但有时使用定义识别很不方便,为此我们还要学习识别切线的其它方法.

二、师生共同探讨、发现结论

1、由上面的复习,我们可以把上节课所学的切线的定义作为识别切线的方法1——定义法:与圆只有一个公共点的直线是圆的切线.

2、当然,我们还可以由上节课所学的用圆心到直线的距离d与半径r之间的关系来判断直线与圆是否相切,即:当d?r时,直线与圆的位置关系是相切.以此作为识别切线的方法2——数量关系法:圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线.

3、如图,圆心O到直线l的距离d等于半径r,直线l是⊙O的

切线,这时我们来观察直线l与⊙O的位置,可以发现:

(1)直线l经过半径OA的外端点A;

(2)直线l垂直于半径OA.

这样我们就得到了从位置上来判断直线是圆的切线的方法3——位置关系法:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

4、思考:现在,任意给定一个圆,你能不能作出圆的切线?应该如何作?

请学生回顾作图过程,切线l是如何作出来的?它满足哪些条件? 引导学生总结出: ①经过半径外端;②垂直于这条半径.

请学生继续思考:这两个条件缺少一个行不行? (学生画出反例图)

(图1) (图2) (图3)

23

图(1)中直线l经过半径外端,但不与半径垂直; 图(2)中直线l与半径垂直,但不经过半径外端. 从以上两个反例可以看出,只满足其中一个条件的直线不是圆的切线.

【点拨】:方法3实际上是从前一节所讲的“圆心到直线的距离等于半径时直线和圆相切”这个结论直接得出来的,只是为了便于应用把它改写成“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”这种形式.

三、应用定理,强化训练

例1、如图,已知直线AB经过⊙O上的点A,并且AB=OA,?OBA=45?,直线AB是⊙O的切线吗?为什么?

例2、如图,线段AB经过圆心O,交⊙O于点A、C,?BAD=?B=30?,边BD交圆于点D.BD是⊙O的切线吗?为什么?

分析:欲证BD是⊙O的切线,由于BD过圆上点D,若连结OD,则BD过半径OD的外端,因此只需证明BD⊥OD,因OA=OD,?BAD=?B,易证BD⊥OD.

四、课堂练习:

1.给出下列说法:

①与圆只有一个公共点的直线是圆的切线; ②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线; ③过半径的外端的直线是圆的切线;④垂直于半径的直线是圆的切线.

其中正确的个数为 ( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2. 己知⊙O半经为1,圆心O与直线l的距离为d,且方程x-2x+d=0没有实根,则直线l与⊙O的位置关系是_____________ __________

2

24

3. 如图,直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB,试说明直线AB是⊙O的切线.

4. 如图,⊙O的半径为6 cm,OD⊥AB,垂足为点D,∠AOD=∠B,AD=12 cm,BD=3 cm.求证:AB是⊙O的切线.

五、课堂小结

主要学习了切线的识别方法,着重分析了方法3成立的条件,在应用方法3时,注重两个条件缺一不可.

识别一条直线是圆的切线,有三种方法:

(1)根据切线定义判定,即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线;

(2)根据圆心到直线的距离来判定,即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线;

(3)根据直线的位置关系来判定,即经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的 切线, 说明一条直线是圆的切线,常常需要作辅助线,如果已知直线过圆上某一点,则作出过 这一点的半径,证明直线垂直于半径即可(如例2).

六、作业

1. 如图,A是⊙O上一点,半径OC的延长线与过点A的直线交于点B,OC=BC,AC=OC=CB. 求证:AB是⊙O的切线.

25

2.如图,△ABC内接于⊙O,点D在OC的延长线上,sin∠B=

(1)求证:AD是⊙O的切线;

(2)若AC=6,求AD的长.

1O,∠D= 30 2

3.如图,在等腰三角形ABC中,以腰AB为直径作⊙O交底边BC于点P,PE⊥AC,垂足为点E,试说明PE是⊙O的切线.

4.(1)如图(1),△ABC内接于⊙O,AB为直径,∠CAE=∠B,试说明AE与⊙O相切于点A;

(2)如图(2),△ABC内接于⊙O,AB为非直径的弦,∠CAE=∠B,AE还与⊙O相切于点A吗,为什么?

26

●体验中考

1.(2009年黑龙江佳木斯)如图,AB是⊙O的直径,⊙O交BC的中点于D,DE⊥AC于 E,连接AD,则下列结论正确的个数是( )

①AD⊥BC ②∠EDA=∠B ③OA=1AC ④DE是⊙O的切线 2

A.1 个 B.2个 C.3 个 D.4个

2. (2009年本溪)如图所示,AB是⊙O直径,OD⊥弦BC于点F,

且交⊙O于点E,若?AEC??ODB.

(1)判断直线BD和⊙O的位置关系,并给出证明;

(2)当AB?10,BC?8时,求BD的长.

28.2.4切线(二)

教学目标:

通过探究,使学生发现、掌握切线长定理,并初步学会应用切线长定理解决问题,同时通过从三角形纸片中剪出最大圆的实验的过程中发现三角形内切圆的画法,能用内心的性质解决问题。

重点难点:

1、重点:切线长定理及其应用,三角形的内切圆的画法和内心的性质。

2、难点:三角形的内心及其半径的确定。

教学过程:

一、巩固上节课学习的知识

请同学们回顾一下,如何判断一条直线是圆的切线?圆的切线具有什么性质?(经过半径

27

外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线;圆的切线垂直于经过切点的半径。)

你能说明以下这个问题?

如右图所示,PA是?BAC的平分线,AB是⊙O的切线,切点E,那么AC是⊙O的切线吗?为什么?

解: B

二、探究从圆外一点引圆的两条切线,切线长相等以及这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角 问题1、从圆外一点可以作圆的几条切线?请同学们画一画。

2、请问:这一点与切点的两条线段的长度相等吗?为什么?

3、切线长的定义是什么? 通过以上几个问题的解决,使同学们得出以下的结论: 从圆外一点可以引圆的两条切线,切线长相等。这一点与圆心的连

线平分两条切线的夹角。

三、对以上探究得到的知识的应用

例:右图,PA、PB是⊙O的两条切线,切点分别是A、B,直线EF也是⊙O的切线,切点为Q,交PA、PB为E、F点,已知PA?12cm,(1)求?PEF的周长;(2)求?E?P?70?,OF的度数。

解:

FB

28

四、三角形的内切圆

想一想,发给同学们如图28.2.11所示三角形纸片,请在它的上面截一个面积最大的圆形纸片?

提示:画圆必须确定其位置和大小,即确定圆的圆心和半径,而要截出的圆的面积最大,这个圆必须与三角形的三边都相切。

如图28.2.12,在△ABC中,如果有一圆与AB、AC、BC都相切,那么该圆的圆心到这三角形的三边的距离都相等,如何找到这个圆的圆心和半径呢?

23.2.11 图

23.2.12

请同学们思考如何确定圆心和半径。

我们知道,角平分线上的点到角的两边距离相等,反过来,到角两边距离相等 的点在这个角的平分线上。因此,圆心就是△ABC的角平分线的交点,而半径是这 个交点到边的距离。

根据上述所阐述的,同学们只要分别作?BAC、?CBA的平分线,他们的交 点I就是圆心,过I点作ID?BC,线段ID的长度就是所要画的圆的半径,因此以I点为圆心,ID长为半径作圆,则⊙I必与△ABC的三条边都相切。

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的内切三角形,三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点,它到三角形三边的距离相等。

【问题】:三角形的内切圆有几个?一个三角形的外切圆是否只有一个?

例题:△ABC 的内切圆⊙O 与AC、AB、BC分别相切于点D、E、F,且AB=5厘米,BC=9厘米,AC=6厘米,求AE、BF和CD的长。

解:

AB

29

五、课堂练习

1.下列说法中,不正确的是 ( )

A.三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点

B.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部

C.垂直于半径的直线是圆的切线

D.三角形的内心到三角形的三边的距离相等

2.给出下列说法:

①任意一个三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆;

②任意一个圆一定有一个内接三角形,并且只有一个内接三角形;

③任意一个三角形一定有一个内切圆,并且只有一个内切圆;

④任意一个圆一定有一个外切三角形,并且只有一个外切三角形.

其中正确的有 ( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

3.如图,⊙I是△ABC的内切圆,切点分别为点D、E、F,若∠DEF=52,则∠A的度为________.

4.如图,一圆内切于四边形ABCD,且AB=16,CD=10,则四边形ABCD的周长为________.

5.如图,已知⊙O是△ABC的内切圆,∠BAC=50,则∠BOC为____________度.

5题 3题

4题

六、小结

1、切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,切线长相等。这一点与圆心连线平分两

条切线的夹角。

2、三角形的内切的内心是三角形三条角平分线的交点,它到三角形三条边的距离相等。

oo

30

七、作业

1. 一个直角三角形的斜边长为8,内切圆半径为1,则这

个三角形的周长等于 ( )

A.21 B.20 C.19 D.18

2. 如图,PA、PB分别切⊙O于点A、B,AC是⊙O的直径,连结

AB、BC、OP,则与∠PAB相等的角(不包括∠PAB本身)有 ( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

3. 如图,已知△ABC的内切圆⊙O与各边相切于点D、E、F,则点O是

△DEF的 ( )

A.三条中线的交点 B.三条高的交点

C.三条角平分线的交点 D.三条边的垂直平分线的交点

4. 如图,AE、AD、BC分别切⊙O于点E、D、F,若AD=20,求△ABC的周长.

5. 如图,PA、PB是⊙O的两条切线,切点分别为点A、B,若直径AC= 12,∠P=60,求弦AB的长.

o

31

6. 如图,PA、PB是⊙O的切线,A、B为切点,∠OAB=30°.

(1)求∠APB的度数; (2)当OA=3时,求AP的长.

7. 如图,在△ABC中,已知∠ABC=90,在AB上取一点E,以BE为直径的⊙O恰与AC相切于点D,若AE=2 cm,AD=4 cm.

(1)求⊙O的直径BE的长; (2)计算△ABC的面积.

●体验中考

1.(2009年安徽)△ABC中,AB=AC,∠A为锐角,CD为AB边上的高,I为△ACD的内切圆圆心,则∠AIB的度数是( )

A.120° B.125° C.135° D.150°

2.(2009年绵阳)一个钢管放在V形架内,右图是其截面图,O为钢管的圆心.如果钢管的半径为25 cm,∠MPN = 60?,则OP =( )

A.50 cm B.253cm

C.

o50cm D.

50

3cm 3

32

3. (2009年甘肃定西)如图,在△ABC中,AB?AC?5cm,cosB?3.如果⊙O

的半径为5

,且经过点B、C,那么线段AO4. (2009年湖南怀化)如图,PA、PB分别切⊙O于点A、B,点E是⊙O上一点,且?AEB?60?,则?P?

3题 4题

28.2.5圆与圆的位置关系

教学目标:

使学生了解圆与圆位置关系的定义,掌握用数量关系来识别圆与圆的位置关系。

重点难点:

用数量关系识别圆与圆的位置关系是本节课的教学重点,又是本节课的教学难点。 教学过程:

一、认识生活中有关圆与圆的位置关系的一些图形

在现实生活中,圆与圆有不同的位置关系,如下图所示:

奥运会五环

圆与圆的位置关系除了以上几种外,还有其他的位置关系吗?我们如何判断圆与圆的位置关系呢?这些问题待学习完这节课后就可以得到解决。

二、用公共点的个数阐述两圆的位置关系

请同学们在纸上画一个圆,把一枚硬币当作另一个圆,在纸上移动这枚硬币,观察两圆的位置关系和公共点的个数。

33

23.2.14

如图28.2.14(1)、(2)、(3)所示,两个圆没有公共点,那么就说两个圆相离,其中(1)又叫做外离,(2)、(3)又叫做内含。(3)中两圆的圆心相同,这两个圆还可以叫做同心圆。如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切,如图28.2.14(4)、(5)所示.其中(4)又叫做外切,(5)又叫做内切。如果两个圆有两个公共点,那么就说这两个圆相交,如图28.2.14

(6)所示。

三、用数量关系识别两圆的位置关系

思考:如果两圆的半径分别为3和5,圆心距(两圆圆心的距离)d为9,你能确定他们的位置关系吗?若圆心距d分别为8、6、4、2、1、0时,它们的位置关系又如何呢?

利用以上的思考题让同学们画图或想象,概括出两圆的位置关系与圆心距、两圆的半径具有什么关系。

(1)两圆外离?d?R?r;

(2)两圆外切?d?R?r;

(3)两圆相交?R?r?d?R?r;

(4)两圆内切?d?R?r;

(5)两圆内含?0?d?R?r;

为了使学生对两圆的位置关系用数量关系体现有更深刻的理解以及更牢的记忆,教师可有以下数轴的形式让学生加以理解。

内外 相交内含切切外离

34

要判断两圆的位置关系,要牢牢抓住两个特殊点,即外切和内切两点,当圆心距刚好等于两圆的半径和时,两圆外切,等于两圆的半径差时,两圆内切。若圆心距处于半径和与半径差之间时,两圆相交,大于两圆半径和时,两圆外离,小于两圆半径差时,两圆内含。

四、例题讲解

例1、已知⊙A、⊙B相切,圆心距为10 cm,其中⊙A的半径为4 cm,求⊙B的半径。 分析:两圆相切,有可能两圆外切,也有可能两圆内切,所以⊙B的半径就有两种情况。 解:

例2、两圆的半径的比为2:3,内切时的圆心距等于8cm,那么这两圆相交时圆心距的范围是多少?

五、课堂练习

1.两圆半径为5 cm和7 cm,圆心距为d.(1)若两圆相切,则d= ;(2)若两圆没有公共点,则d的取值范围为 ;(3)若d=3 cm,两圆的位置关系为 ;(4)若d=1 cm,两圆的位置关系为 ;(5)若d=14 cm,两圆的位置关系为 .

2.已知两圆内切,圆心距为2 cm,其中一个圆的半径为3 cm,那么另一个圆的半径为 .

3.圆和圆有不同的位置关系,与下图不同的圆和圆的位置关系是 .(只填一种)

4. 如果两圆半径为3 cm和5 cm,圆心距为2 cm,那么这两个圆的位置关系是 ( )

A.外离 B.外切 C.相交 D.内切

35

5.⊙O和⊙O′的半径分别为R和R′,圆心OO′=5,R=3,当0<R′<2 时,⊙O和⊙O′的位置关系是( )

A.内含 B.外切 C.相交 D.外离

六、小结

就好象识别点与圆、直线与圆的位置关系一样,这节课我们同样也用数量关系来体现圆与圆的位置关系。在识别圆与圆的位置关系时,关系式比较多,也难于忘记,如果同学们能够掌握老师上课时讲的用数轴来体现圆与圆的位置关系,理解起来就会更深刻,记忆也会更容易。

七、作业

1. 两圆的半径分别是方程x?4x?1?0的两个根,两圆的圆心距是5,则两圆的位置关系是 .

2.两圆半径之比为1:3,当它们外切时圆心距为12,则它们内切时圆心距为______________.

3.以O为圆心的两个同心圆的半径分别是9 cm和5 cm,⊙O′与这两个圆都相切,则⊙O′的半径是 .

4.已知⊙O1和⊙O2的半径分别为2和3,点O1坐标为(0,3),点O2坐标为(一4,0),则两圆( )

A.内切 B.相交 C.外切 D.外离

5. 如图,已知点A的坐标为(0,3),⊙A的半径为1,点B在x轴上。

(1)若点B的坐标为(4,0),⊙B的半径为3,试判断⊙A与⊙B的位置关系;

(2)若⊙B过点M(2,0),且与⊙A相切,求点B的坐标.

2

36

7. 已知⊙O1和⊙O2的半径分别为2 cm和l cm,且两圆外切.作一个半径为3 cm与⊙O1、⊙O2都

相切的⊙P.试通过画图说明这样的⊙P有几个,若⊙P的半径为4 cm呢?

●体验中考

1.(2009年长春)两圆的半径分别为2和5,圆心距为7,则这两圆的位置关系为( )

A.外离 B.外切 C.相交 D.内切

2.(2009年临沂)已知⊙O1和⊙O2相切,⊙O1的直径为9Cm,⊙O2的直径为4cm.则O1O2的

长是( )

A.5cm或13cm B.2.5cm C.6.5cm D.2.5cm或6.5cm

3. (2009年甘肃庆阳)如图,两个等圆⊙O与⊙O′外切,过点O作⊙O′的两条切线OA、OB,A、

B是切点,则∠AOB= .

4.(2009年重庆市江津区)如图,在10×6的网格图中(每个小正方形的边长均为1个单位长)。

⊙A半径为2,⊙B半径为1,需使⊙A与静止的⊙B相切,那么⊙A由图示的位置向左平移 个单位长.

37

28.3.1弧长和扇形的面积

教学目标:

认识扇形,会计算弧长和扇形的面积,通过弧长和扇形面积的发现与推导,培养学生运用已有知识探究问题获得新知的能力。

重点难点:

1、重点:弧长和扇形面积公式,准确计算弧长和扇形的面积。

2、难点:运用弧长和扇形的面积公式计算比较复杂图形的面积。

教学过程:

一、发现弧长和扇形的面积的公式

1、弧长公式的推导。

如图28.3.1是圆弧形状的铁轨示意图,其中铁轨的半径为100米,圆心角为90°.你能求出这段铁轨的长度吗?(?取3)我们容易看出这段铁轨是圆周长的1, 4所以铁轨的长度 l≈

2?3?100=157.0(米). 4图23.3.1

A问题:上面求的是90?的圆心角所对的弧长,若圆心角为n?,如何计算它所对的弧长呢? 请同学们计算半径为3cm,圆心角分别为180?、90?、45?、1?、n?所对的弧长。

A

BBBBB

等待同学们计算完毕,与同学们一起总结出弧长公式(这里关键是1?圆心角所对的弧长是多少,进而求出n?的圆心角所对的弧长。)

l?

弧长的计算公式为: nn?r?2?r?360180

【练习】:已知圆弧的半径为50厘米,圆心角为60°,求此圆弧的长度。

38

2、扇形的面积。

如图28.3.3,由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形

问:右图中扇形有几个?

同求弧长的思维一样,要求扇形的面积,应思考圆心角为1?的扇形面积

面积的几分之几?进而求出圆心角n的扇形面积。

如果设圆心角是n°的扇形面积为S,圆的半径为r,那么扇形的面积为

n?r2n?rr1S????lr36018022.

n?r21S?S?lr360 或2 扇形面积的计算公式为:

【练习】:

1、如果扇形的圆心角是280°,那么这个扇形的面积等于这个扇形所在圆的面积的____________;

2、扇形的面积是它所在圆的面积的2,这个扇形的圆心角的度数是________ _°. 3

3、扇形的面积是S,它的半径是r,这个扇形的弧长是_____________

二、例题讲解

例1 如图28.3.5,圆心角为60°的扇形的半径为10厘米,求这个扇形的面积和周长.(π≈3.14)

解:

23.3.5

39

例2:如图,PA切⊙O于点A,PO交⊙O于点B,若⊙O半径为3,

PA=?AB的长. 分析:根据弧长公式l?

三、课堂练习

1.把一只折扇展开成一个扇形,它的圆心角为120°,半径为6,则这个扇形的弧长为 .

2.朝阳市第三中学要修建一个圆心角为60°,半径为12米的扇形投掷场地,则该扇形场地的面积约为 米. (?取3.14,结果精确到0.1米) 22 n?r,须知?AB所对的圆心角∠AOB的度数. 180P

3.如图,某传送带的一个转动轮的半径为20cm,当物体从A传送4?cm至B时,那么这个转动轮转了_____________度.(?取3.14,结果保留四个有效数字)

4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=25°,以C为圆心,CA为半径的圆交AB于D,若AC=6,则?AD

5. 已知一个扇形的圆心角为60°,半径为5,则扇形的周长为 ( )

A.? B.??10 C.? D.??10

3题 4题 53535656

40

四、小结

本节课我们共同探寻了弧长和扇形面积的计算公式,一方面,要理解公式的由来,另一方面,能够应用它们计算有关问题,在计算力求准确无误。

五、作业

1.如图,三个皮带轮的半径都是1,圆心距AC=3,

AB=6,

则皮带的总长度为 .

2.如图,扇形AOB的圆心角为直角,正方形OCDE内接于扇形.点

C、E、D分别在OA、OB、?AB上,过点A作AF⊥ED交ED的

延长线于F,垂足为F.如果正方形的边长为1,那么阴影部

分的面积为 .

3.一条弧长等于l,它的半径等于R,若这条弧所对的圆心角增加10,则它的弧长增加( )

A.

4.如图,OA、OB、OC两两不相交,且半径都是2 cm,则图中三个

扇形(阴影部分)的面积之和为 ( )

A.

5.如图,△ABC是正三角形,曲线CDEF??叫做“正三角形的渐开线”, l?R180ll B. C. D. n180?R360?2?222 cm B. cm C.? cm D.2 ? cm124

?、DE???的圆心依次按A、B、C循环,它们依次相连?、EF其中CD

结.若AB=1,那么曲线CDEF的长是 ( )

A.2? B.4? C.6? D.8?

41

6.如图,直线y?kx?b经过点M(1

和点N(?1,

),A、B是此直线与坐标轴的交点.以AB为直径作⊙C,求此圆与y轴围成的阴影部分面积.

7.如图.在Rt△ABC中,∠C=90°,O为直角边BC上一点,以O为圆心、OC为半径的圆恰好与斜边AB相切于点D,与BC交于另一点F.

(1)求证:△AOC≌△AOD;

(2)若BE=1,BD=3,求⊙O的半径及图中阴影部分的面积S.

●体验中考

1. (2009年长沙)如图,已知⊙O的半径OA?6,?AOB?90°,则?AOB所对的弧AB

的长为( )

A.2π B.3π C.6π D.12π

42

2. (2009湖北荆州年)如图,两同心圆的圆心为O,大圆的弦AB切小圆于P,两圆的半径分别为6,3,则图中阴影部分的面积是( )

A

.?

C

.?3?

B

.? D

.2?

3. (2009年肇庆市)75°的圆心角所对的弧长是2.5π,则此弧所在圆的半径为 .

4. (2009年咸宁市)为庆祝祖国六十华诞,某单位排练的节目需

用到如图所示的扇形布扇,布扇完全打开后,外侧两竹条AB、

AC夹角为120°,AB的长为30cm,贴布部分BD的长为

(π取3) 20cm,则贴布部分的面积约为____________cm2.

28.3.2圆锥的侧面积和全面积

教学目标:通过实验知道圆锥的侧面积展开图是扇形,知道圆锥各部分的名称,能够计算圆锥的侧面积和全面积。

重点难点:圆锥的侧面展开图,计算圆锥的侧面积和全面积。

教学过程:

一、由具体的模型认识圆锥的侧面展开图,认识圆锥各个部分的名称

如图 28.3.6,我们把圆锥底面圆周上的任意一点与圆锥顶点的连线叫

做圆锥的母线,如图中a,连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高,如图

中的h就是圆锥的高。

问题:圆锥的母线有几条?

试一试:沿着一个圆锥模型的母线剪开,观察圆锥的侧面展开图, 图

23.3.6 学生容易看出,圆锥的侧面展开图是一个扇形。

二、圆锥的侧面积和全面积

问题:

1、沿着圆锥的母线,把一个圆锥的侧面展开,得到一个扇形,这个扇形的弧长与底面的周长有什么关系?

2、圆锥侧面展开图是扇形,这个扇形的半径与圆锥中的哪一条线段相等?

43

圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长,圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径。

圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面周长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形面积, 圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积的和。

三、例题讲解

例1、一个圆锥形零件的母线长为a,底面的半径为r,求这个圆锥形零件的侧面积和全面积.

解:

例2、已知:在Rt?ABC中,?C?90?,AB?13cm,BC?5cm,求以AB为轴旋

转一周所得到的几何体的全面积。

分析:以AB为轴旋转一周所得到的几何体是由公共底面的两个圆锥所组成的几何体,因此

求全面积就是求两个圆锥的侧面积。

A

解:

DC

B

例3:如图,这是一个由圆柱体材料加工而成的零件,它是以圆柱体的上底为地面,在其内部“掏去”一个与圆柱体等高的圆锥而得到的,其底面直径AB=12cm,高BC=8cm,求这个零件的表面积.(结果保留?)

A44

四、课堂练习:

1.已知在矩形木框ABCD中,AB=6 cm,BC=4 cm,如果以线段AB的中垂线为轴,把这个矩形旋转一周,所得圆柱的底面半径为 cm,侧面积为 cm;如果以线段BC所在的直线为轴旋转一周.所得圆柱的底面半径为 cm,表面积为 cm.

2.在Rt△ABC中.∠C=90°,AB=3,BC=1,以AC所在直线为轴旋转一周.所得圆锥的侧面展开图的面积是 .

3.已知一个圆锥体玩具的底面直径为4,母线长为6,则它的侧面积为 .

4.已知圆锥的侧面积为10? cm.底面半径为2 cm,则圆锥的母线长为 . 222

5.把一个半径为8 cm的圆片,剪去一个圆心角为90°的扇形后,用剩下的部分做成一个圆锥的侧面,那么这个圆锥的高为 .

五、小结

本节课我们认识了圆锥的侧面展开图,学会计算圆锥的侧面积和全面积,在认识圆锥的侧面积展开图时,应知道圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长。圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径,这样在计算侧面积和全面积时才能做到熟练、准确。

六、作业

1.如果圆锥的底面圆的半径是8,母线长是15,那么这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数是 .

2.用一张扇形的纸片做成一个圆锥的侧面,已知扇形纸片的半径为30 cm,圆心角为120°,那么这个圆锥的全面积是 cm.

3.小敏要利用卡纸做一个圆锥体,要使圆锥的侧面展开图的面积是15?cm,母线长是5 cm, 22

则圆锥的底面半径为( )

A.3cm B.3 cm C.4 cm D.6 cm 2

4.用一个半径长为6 cm的半圆围成一个圆锥的侧面,则此圆锥的底面半径为 ( )

A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.6 cm

5.如图,Rt△ABC的斜边AB=5 cm,直角边AC=4 cm以直线AB为轴旋转一周,得到

几何体的表面积为 ( )

A.22.56? cm B.16.8? cm22 C.9.6? cm2 D.7.2? cm 2

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6.如图,一个烟囱的顶部是圆锥形,这个圆锥底面周长是36 m,母线长为8 m,为防雨需要用铁皮做一个烟囱的顶部.如果按所需用料的10%计接头重合部分,那么这个烟囱实际需用铁皮的面积是多少?

7.如图,把一个木质的圆锥体DEC放在直线BP所在的水平面上,且BP过底面圆的圆心,其高为

,底面半径为2m.某光源位于点A处.照射圆锥体在水平面上留下的影长BE=4m

(1)求∠B的度数; (2)若∠ACP=2∠B,求光源A距水平面的高度.

●体验中考

1.(2009年哈尔滨)圆锥的底面半径为8,母线长为9,则该圆锥的侧面积为( ).

A.36π B.48π C.72π D.144π

2.(2009年淄博市)如果一个圆锥的主视图是正三角形,则其侧面展开图的圆心角为( )

A.120o B.约156o C.180o D.约208o

3.(2009年长春)如图,方格纸中4个小正方形的边长均为1,则图中阴

影部分三个小扇形的面积和为 (结果保留π).

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