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24.4 弧长和扇形面积ppt

发布时间:2014-01-24 16:52:11  

人教版义务教育教科书 数学九年级上册
第二十四章 圆ppt

寒葱沟镇中学 孙元成

2113.10.30

24.4弧长和扇形面积
第一课时

知识回顾
圆的周长公式 o
r

p

C=2πr
圆的面积公式

2 S=πr

问题情景:
如图是圆弧形状的铁轨示意图,其中铁轨 的半径为100米,圆心角为90°.你能求 出这段铁轨的长度吗?

解:∵圆心角900

1 ∴铁轨长度是圆周长的 4 则铁轨长是

图 23.3.1

1 ? 2? ?100 ? 50?米 4

问题探究:
上面求的是的圆心角900所对的弧长,若 圆心角为n0,如何计算它所对的弧长呢?

思考:
请同学们计算半径为 r,圆心角分别为 1800、900、450、n0所对的弧长。

图 23.3.2

圆心角占整个周角的
180 360

所对弧长是
180 ? 2?r 360

90 图 23.3.2 360
图 23.3.2

90 ? 2?r 360

图 23.3.2

45 360 n 360

45 ? 2?r 360

n ? 2?r 360

图 23.3.2

结论:
如果弧长为l,圆心角度数为n,圆的半径为r, 那么,弧长的计算公式为:

n n?r l? ? 2?r ? 360 180
练一练: 已知圆弧的半径为50厘米,圆心角为60°,求 此圆弧的长度。 解:

n n?r 50 l? ? 2?r ? = 3 ? cm 360 180

50 答:此圆弧的长度为 ? cm 3

扇形:
如图,由组成圆心角的两条半径 和圆心角所对的弧所围成的图形 叫扇形.

Q

l n° r O
扇形面 积 S

怎样计算圆心角是n0 的扇形面积?

圆心角占整个周角的
180 360

所对扇形面积是
180 ? ?r 2 360 90 ? ?r 2 360
45 ? ?r 2 360

90 图 23.3.2 360
图 23.3.2

45 360 n 360

图 23.3.2

n ? ?r 2 360

图 23.3.2

结论:
如果扇形面积为s,圆心角度数为n,圆半径 是r,那么扇形面积计算公式为

Q l n° r O
扇形面 积 S

n 2 s? ? ?r 360 n?r r 1
? 180 ?

? lr 2 2

n 1 2 s? ? ?r 或s ? lr 360 2

练习:
1、如果扇形的圆心角是230°,那么这个扇 23 形的面积等于这个扇形所在圆的面积的 36

2 2、扇形的面积是它所在圆的面积的 ,这个 扇形的圆心角的度数是_________ 240° °.3
3、扇形的面积是S,它的半径是r,这个扇形 2s 的弧长是

r

例1 如图,圆心角为60°的扇形的半径为10厘 米,求这个扇形的面积和周长.(π≈3.14) 解:因为n=60°,r=10厘米,所以扇形面积为
n?r 2 60 ? 3.14 ?10 2 S? ? ≈52.33(平方厘米); 360 360

扇形的周长为
l? n?r 60 ? 3.14 ?10 ? 2r ? ? 20 180 180
图 23.3.5

≈ 30.47(厘米)。

一、弧长的计算公式

n n?r l? ? 2?r ? 360 180
二、扇形面积计算公式

n 1 2 s? ? ?r 或s ? lr 360 2

24.4弧长和扇形面积 第二课时 ---圆锥的侧面积和全面积

一、弧长的计算公式

n n?r l? ? 2?r ? 360 180
二、扇形面积计算公式

n 2 s? ? ?r 或s ? 1 lr 360 2

圆锥
我们把连接圆锥的顶点S和底 面圆上任一点的连线SA

,SB 等叫做圆锥的母线
圆锥的高 S

连接顶点S与底面圆的圆心O 的线段叫做圆锥的高
思考:圆锥的母线和圆 锥的高有那些性质?

母线 A O

r

B

如果用r表示圆锥底面的半径, h表示圆锥的高 线长, l 表示圆锥的母线长,那么r,h, l 之间有 怎样的数量关系呢?

由勾股定理得:
h r ll

r2+h2=l 2

填空: 根据下列条件求值(其中r、h、l 分别是圆锥的底面半径、高线、母线长) ( 1)

3 l = 2,r=1 则 h=_______ (2) l = 10, h = 8 则r=_______ 6

l

图 23.3.6

思考与探索:
将一个圆锥的侧面沿它的一 条母线剪开铺平,思考圆锥中的 各元素与它的侧面展开图中的各 元素之间的关系

圆锥的侧面积
圆锥的侧面展开图
圆锥的侧面展开图 是一个什么图形?
扇形的半径是什么?

圆锥的母线长
扇形的弧长是什么?

扇形

圆锥底面圆的周长
这个扇形的 面积如何求?

圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周 长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形 面积。 圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底 面积的和。

例1:如图所示的扇形中,半径R=10,圆心角θ=144° 用这个扇形围成一个圆锥的侧面. (1)求这个圆锥的底面半径r;

(2)求这个圆锥的高(精确到0.1)
A

C

B

O

解:(1)因为此扇形的弧长=它所 围成圆锥的底面圆周长 ?? R 所以有 2? r ? 180 所以: r?

?R
360

(2)因为圆锥的母线长=扇形的半径

所以圆锥的高h为: h ? R2 ? r2
? R ?(
2

?R
360

)2

例2、一个圆锥形零件的母线长为a,底面的半径 为r,求这个圆锥形零件的侧面积和全面积. 解 圆锥的侧面展开后是一个扇形,该扇 形的半径为a,扇形的弧长为2πr,所以
1 S侧= 2×2πr×a=πra;

S底=πr2; S=πra+πr2.
答:这个圆锥形零件的侧面积为πra, 全面积为πra+πr2

圆锥的侧面积与全面积 S


=πrl

(r表示圆锥底面的半径, l 表示圆锥的母线长 ) 圆锥的侧面积与底面积的和叫做圆锥的全 面积(或表面积).

s全 ? s侧 ? s底 ? ? rl ? ? r

2

弧长和扇形面积
第三课时

---圆锥的侧面积与全面积

圆锥的侧面积与全面积 S


=πrl

(r表示圆锥底面的半径, l 表示圆锥的母线长 ) 圆锥的侧面积与底面积的和叫做圆锥的全 面积(或表面积).

s全 ? s侧 ? s底 ? ? rl ? ? r

2

例1.圣诞节将近,某家商店正在制作圣诞节 的圆锥形纸帽.已知纸帽的底面周长为 58cm,高为20cm, 要制作20顶这样的纸帽至 少要用多少cm2的纸? S
解:设纸帽的底面半径为rcm,母线长为lcm,所以
由2πr=58得

58 29 r? ? . 2? ?
2

h=20

l

O┓ r

2πr=58 ? 29 ? 2 根据勾股定理,圆锥母线l ? ? ? ? 20 ? 22 .03 . ?? ?

? S圆锥侧

1 2 ? ? 2?r ? l ? 29 ? 22.03 ? 638 .87 (cm ). 2
2

638 .87 ? 20 ? 12777 .4(cm ).
答:至少要用12777.4cm2的纸.

? 把一个用来盛爆米花的圆锥形纸 杯沿母线剪开,可得一个半径为 24cm,圆心角为118°的扇形.求该 纸杯的底面半径和高度.

?

半径约为7.9cm,高约为22.7cm.

例2:制作如图所示的圆锥形铁皮烟囱帽, 其尺寸要求为:底面直径80cm,母线长50cm, 求烟囱帽铁皮的面积(精确到1cm2 )

分析:即求圆锥的侧面积

? 1.圆锥的底面直径为80cm.母线长为90cm,求它的全面积.

5200?
? 2.如图.扇形的半径为30,圆心角为120°用它做一个圆锥模 型的侧面,求这个圆锥的底面半径和高.

r=10,

h= 20 2

? 如图,一个直角三角形两直角边分别为 4cm和3cm,以它的一直角边为轴旋转一 周得到一个几何体,求这个几何体的表面 积。

思考题:如图,圆锥的底面半径为1,母线长为
3,一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发,沿圆锥 侧面爬到过母线AB的轴截面上另一母线AC上,问 它爬行的最短路线是多少?

A 展开
B

A

B

C
C


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