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一元二次方程知识点与考点

发布时间:2014-01-24 16:52:15  

?解与解法?一元二次方程??根的判别

?韦达定理??

,并且②未知数的最高次数是,这样的③整式方程就是一元.........2.....

二次方程。

?bx?c?0(a?0)

“未知数的最高次数是2:”

①该项系数不为“0;”

②未知数指数为“2;”

③若存在某项指数为待定系数,或系数也有待定,则需建立方程或不等式加以讨论。 例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )

A 3?x?1??2?x?1? B 2211??2?0 2xx22C ax?bx?c?0 2

2D x?2x?x?1 2变式:当k 时,关于x的方程kx

?2x?x?3是一元二次方程。

例2、方程?m?2?x★1、方程8x?7的一次项系数是

★2、若方程?m?2?xm?1m?3mx?1?0是关于x的一元二次方程,则m的值为 。 2?0是关于x的一元一次方程,

⑴求m的值;⑵写出关于x的一元一次方程。

★★3、若方程?m?1?x?m?x?1是关于x的一元二次方程,则m的取值范围是

。 2

★★★4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程,则下列不可能的是(

C.n=2,m=1 D.m=n=1

例1、已知2y?y?3的值为2,则4y?2y?1的值为。

例2、关于x的一元二次方程?a?2?x?x?a?4?0的一个根为0,则a的值为。 2222例3、已知关于x的一元二次方程ax?bx?c?0?a?0?的系数满足a?c?b,则此方程 2

必有一根为 。

例4、已知a,b是方程x?4x?m?0的两个根,b,c是方程y?8y?5m?0的两个根,

★1、已知方程x?kx?10?0的一根是2,则k为。 ★2、已知关于x的方程x?kx?2?0的一个解与方程

⑴求k的值; ⑵方程的另一个解。

★3、已知m是方程x?x?1?0的一个根,则代数式m?m?。

★★4、已知a是x?3x?1?0的根,则2a?6a?

★★5、方程?a?b?x??b?c?x?c?a?0的一个根为( ) 22222x?1?3的解相同。 x?12222

A ?1 B 1 C b?c D ?a

xy★★★6、若2x?5y?3?0,则4?32?

x?m?m?0?,?x??m 2

※※对于?x?a??

m,?ax?m???bx?n?等形式均适用直接开方法 222

例1、解方程:?1?2x?8?0; ?2?25?16x=0; ?3??1?x??9?0; 222

例2、若9?x?1??16?x?2?,则x的值为。

22

A.x2?3?2x2?1 B.?x?2??0 C.2x?3?1?x D.x2?9?0 2

x?x1??x?x2??0?x?x1,

或x?x2

0,”

?ax?m???bx?n?,?x?a??x?b

???x?a??x?c? , 22

x2?2ax?a2?0

例1、2x?x?3??5?x?3?的根为( )

A x?552 B x?3 C x1?,x2?3 D x? 225

2例2、若?4x?y??3?4x?y??4?0,则4x+y的值为。

变式1:a?b?222???a2?b2??6?0,则a2?b2?。

变式2:若?x?y??2?x?y??3?0,则x+y的值为 。

变式3:若x?xy?y?14,y?xy?x?28,则x+y的值为。 例3、方程x?x?6?0的解为( )

A.x1??3,x2222?2 B.x1?3,x

22??2 C.x1?3,x2??3 D.x1?2,x2??2 例4、解方程: x?2

2?1x?2?4?0 2?例5、已知2x?3xy?2y?0,则x?y的值为 。 x?y

x?y的值为 。 x?y变式:已知2x?3xy?2y

?0,且x?0,y?0,则

★1、下列说法中: 22

①方程x?px?q?0的二根为x1,x2,则x?px?q?(x?x1)(x?x2) ② ?x?6x?8?(x?2)(x?4). 222

③a?5ab?6b?(a?2)(a?3)

④ x?y?(x?y)(x?

22222y)(x?y) ⑤方程(3x?1)?7?0可变形为(3x?1?7)(3x?1?7)?0

正确的有( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

★2、以1?7与1?7为根的一元二次方程是()

A.x?2x?6?0 B.x?2x?6?0

C.y?2y?6?0 222 D.y?2y?6?0 2

★★3、⑴写出一个一元二次方程,要求二次项系数不为1,且两根互为倒数: ⑵写出一个一元二次方程,要求二次项系数不为1,且两根互为相反数: ★★4、若实数x、y满足?x?y?3??x?y??2?0,则x+y的值为( )

A、-1或-2 B、-1或2 C、1或-2 D、1或2

5、方程:x?21?2的解是 x2

22★★★6、已知6x?xy?6y?0,且x?0,y?0,求

22x?6y的值。 x?yr,方程x?9?199?2800x?01?0的较大根为★★★7、方程?199

2007x2?2008x?1?0的较小根为s,则s-r的值为。

b?b2?4ac?2?bx?c?0?a?0???x? ??22a4a??

※在解方程中,多不用配方法;但常利用配方思想求解代数式

的值或极值之类的问题。

例1、 试用配方法说明x?2x?3的值恒大于0。

例2、 已知x、y为实数,求代数式x?y?2x?4y?7的最小值。

例3、 已知x?y?4x?6y?13?0,x、y22222

2为实数,求x的值。 y

例4、 分解因式:4x?12x?3

★★1、试用配方法说明?10x?7x?4的值恒小于0。

★★2、已知x2?22111,则?x??4?0x??2xxx

2★★★3、若t?2??3x?12x?9,则t的最大值为,最小值为

★★★4、如果a?b?

a?0,且b?4ac?0

c?1?1?4a?2?2?1?4,那么a?2b?3c的值为 。

2?

?b?b2

?4ac2x?,?a?0,且b?4ac?0? 2a

例1、选择适当方法解下列方程:

2⑴3?1?x??6. ⑵?x?3??x?6???8. ⑶x?4x?1?0 2

⑷3x?4x?1?0 ⑸3?x?1??3x?1???x?1??2x?5? 2

例2、在实数范围内分解因式:

(1)x?22x?3; (2)?4x?8x?1. ⑶2x?4xy?5y

说明:①对于二次三项式ax?bx?c的因式分解,如果在有理数范围内不能分解, 一般情况要用求根公式,这种方法首先令ax?bx?c=0,求出两根,再写成 222222

ax2?bx?c=a(x?x1)(x?x2).

②分解结果是否把二次项系数乘进括号内,取决于能否把括号内的分母化去.

⑴求代数式的值; ⑵解二元二次方程组。

3??x?1?x2?12例1、 已知x?3x?2?0,求代数式的值。 x?1

例2、如果x?x?1?0,那么代数式x?2x?7的值。 232

a3?2a2?5a?1例3、已知a是一元二次方程x?3x?1?0的一根,求的值。 2a?12

例4、用两种不同的方法解方程组

?2x?y?6,?22?x?5xy?6y?0.(1)(2)

说明:解二元二次方程组的具体思维方法有两种:①先消元,再降次;②先降次,再 消元。但都体现了一种共同的数学思想——化归思想,即把新问题转化归结为我们已 知的问题.

①定根的个数;

②求待定系数的值;

③应用于其它。

例1、若关于x的方程x?2kx?1?0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是。 例2、关于x的方程?m?1?x?2mx?m?0有实数根,则m的取值范围是( ) 22A.m?0且m?1 B.m?0 C.m?1 D.m?1

例3、已知关于x的方程x??k?2?x?2k?0 2

(1)求证:无论k取何值时,方程总有实数根;

(2)若等腰?ABC的一边长为1,另两边长恰好是方程的两个根,求?ABC的周长。

例4、已知二次三项式9x?(m?6)x?m?2是一个完全平方式,试求m的值.

2

?x2?2y2?6,例5、m为何值时,方程组?有两个不同的实数解?有两个相同的实数解?

?mx?y?3.

★1、当k 时,关于x的二次三项式x?kx?9是完全平方式。

★2、当k取何值时,多项式3x?4x?2k是一个完全平方式?这个完全平方式是什么? ★3、已知方程mx?mx?2?0有两个不相等的实数根,则m的值是222

?y?kx?2,★★4、k为何值时,方程组?2 y?4x?2y?1?0.?

(1)有两组相等的实数解,并求此解;

(2)有两组不相等的实数解;

(3)没有实数解.

★ ★★5、当k取何值时,方程x?4mx?4x?3m?2m?4k?0的根与m均为有理数?

例1、关于x的方程?m?1?x?2mx?3?0 222

⑴有两个实数根,则m为 ,

⑵只有一个根,则m为 。

例2、 不解方程,判断关于x的方程x?2?x?k??k??3根的情况。 22

例3、如果关于x的方程x?kx?2?0及方程x?x?2k?0均有实数根,问这两方程 是否有相同的根?若有,请求出这相同的根及k的值;若没有,请说明理由。

⑴“碰面”问题;⑵“复利率”问题;⑶“几何”问题;

⑷“最值”型问题;⑸“图表”类问题

1、五羊足球队的庆祝晚宴,出席者两两碰杯一次,共碰杯990次,问晚宴共有多少人出席? 2、某小组每人送他人一张照片,全组共送了90张,那么这个小组共多少人?

3、北京申奥成功,促进了一批产业的迅速发展,某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场,根据计划,第一年投入资金600万元,第二年比第一年减少221,第三年比第二年减少3

1,该产品第一年收入资金约400万元,公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收回,21还要盈利,要实现这一目标,该产品收入的年平均增长率约为多少?(结果精确到0.1,3

?3.61)

4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品,据市场分析,若按每千克50元销售,一个月能售出500千克,销售单价每涨1元,月销售量就减少10千克,针对此回答:

(1)当销售价定为每千克55元时,计算月销售量和月销售利润。

(2)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得月销售利润达到8000元, 销售单价应定为多少?

5、将一条长20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。

(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这两段铁丝的长度分别为多少?

(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗?若能,求出两段铁丝的长度;若不 能,请说明理由。

(3)两个正方形的面积之和最小为多少?

6、A、B两地间的路程为36千米.甲从A地,乙从B地同时出发相向而行,两人相遇后,甲再走2小时30分到达B地,乙再走1小时36分到达A地,求两人的速度.

ax?bx?c?0而言,当满足①a?0、②??0时,

才能用韦达定理。

1?x2??

例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程2x?8x?7?0的两根,则这个直角三 角形的斜边是( )

A. B.3 C.6 D.

222bc,

x1

x2? aa2例2、已知关于x的方程kx??2k?1?x?1?0有两个不相等的实数根x1,x2,

(1)求k的取值范围;

(2)是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数?若存在,求出k的值;若不 存在,请说明理由。

例3、小明和小红一起做作业,在解一道一元二次方程(二次项系数为1)时,小明因看错 常数项,而得到解为8和2,小红因看错了一次项系数,而得到解为-9和-1。你知道 原来的方程是什么吗?其正确解应该是多少?

例4、已知a?b,a?2a?1?0,b?2b?1?0,求a?b?

变式:若a?2a?1?0,b?2b?1?0,则

22222ab?的值为。 ba4例5、已知?,?是方程x?x?1?0的两个根,那么??

3??1、解方程组??x?y?3,

22(1)?x?y?5(2)

2 2.已知a?7a??4,b?7b??4(a?b),求2ba?的值。 ab

3223、已知x1,x2是方程x?x?9?0的两实数根,求x1?7x2?3x2?66的值。

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