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初二动点问题(含答案) 2

发布时间:2014-01-25 09:57:43  

动态问题

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.

关键:动中求静.

数学思想:分类思想 数形结合思想 转化思想

一、单动点问题

小菜一碟:如图2,正方形ABCD的边长为4,点M在边DC上,且DM=1,N为对角线AC上任意一点,则DN+MN的最小值为

例 (10年房山二模压轴)25. (1)如图1,已知矩形ABCD中,点E是BC上的一动点,过点E

D图1

DG

图3

C

作EF⊥BD于点F,EG⊥AC于点G,CH⊥BD于点H,试证明CH=EF+EG;

(2) 若点E在BC的延长线上,如图2,过点E作EF⊥BD于点F,EG⊥AC的延长线于点G,CH⊥BD

于点H, 则EF、EG、CH三者之间具有怎样的数量关系,直接写出你的猜想; (3) 如图3,BD是正方形ABCD的对角线,L在BD上,且BL=BC, 连结CL,点E是CL上任一点, EF⊥BD

于点F,EG⊥BC于点G,猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量关系,直接写出你的猜想; (4) 观察图1、图2、图3的特性,请你根据这一特性构造一个图形,

使它仍然具有EF、EG、CH这

样的线段,并满足(1)或(2)的结论,写出相关题设的条件和结论.

1.(2009临沂25)数学课上,张老师出示了问题:如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点.?AEF?90,且EF交正方形外角?DCG的平行线CF于点F,求证:AE=EF.

经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:取AB的中点M,连接ME,则AM=EC,易证△AME≌△ECF,所以AE?EF.

在此基础上,同学们作了进一步的研究:

(1)小颖提出:如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B,C外)的任意一点”,其它条件不变,那么结论“AE=EF”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由;

(2)小华提出:如图3,点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE=EF”仍然成立.你认为小华的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由.

D 解:(1)正确. A

D 证明:在AB上取一点M,使AM?EC,连接ME. A F ?BM?BE.??BME?45°,??AME?135°. F ?CF是外角平分线,??DCF?45°,??ECF?135°. G ??AME??ECF. 图1 C G ??AEB??BAE?90°,?AEB??CEF?90°, D A

. ?AE?EF. △AME≌△BC(FASA)??BAE??CEF. ?F (2)正确.

证明:在BA的延长线上取一点N.使AN?CE,连接NE. G N ?BN?BE. ??N??PCE?45°. 图2 D A ?四边形ABCD是正方形, ?AD∥BE. D A NAE??CE.F ??DAE??BEA. ??

. ?△ANE≌△ECF(ASA)

?AE?EF. G E G 图3 2.(2009年江西中考题25)如图1,在等腰梯形ABCD中,AD//BC,E是AB的中点,过点E作EF//BC交CD于点F,AB=4,BC=6,∠B=60°.

(1)求点E到BC的距离;

(2)点P为线段EF上的一个动点,过点P作PM⊥EF交BC于M,过M作MN//AB交折线ADC于N,连结PN,设EP=x.

①当点N在线段AD上时(如图2),△PMN的形状是否发生改变?若不变,求出△PMN的周长;若改变,请说明理由;

②当点N在线段DC上时(如图3),是否存在点P,使△PMN为等腰三角形?若存在,请求出所有满足条件的x的值;若不存在,请说明理由.

?

图1 图2 图3

思路点拨

1.先解读这个题目的背景图,等腰梯形ABCD的中位线EF=4,这是x的变化范围.平行线间的距离处处相等,AD与EF、EF与BC间的距离相等.

2.当点N在线段AD上时,△PMN中PM和MN的长保持不变是显然的,求证PN的长是关键.图形中包含了许多的对边平行且相等,理顺线条的关系很重要.

3.分三种情况讨论等腰三角形PMN,三种情况各具特殊性,灵活运用几何性质解题.

满分解答

(1)如图4,过点E作EG⊥BC于G.

在Rt△BEG中,BE?1AB?2,∠B=60°, 2

. 所以BG?BE?cos60??1,EG?BE?sin60??

所以点E到BC的距离为.

(2)因为AD//EF//BC,E是AB的中点,所以F是DC的中点.

因此EF是梯形ABCD的中位线,EF=4.

①如图4,当点N在线段AD上时,△PMN的形状不是否发生改变.

过点N作NH⊥EF于H,设PH与NM交于点Q.

在矩形EGMP中,EP=GM=x,PM=EG=.

在平行四边形BMQE中,BM=EQ=1+x.

所以BG=PQ=1.

因为PM与NH平行且相等,所以PH与NM互相平分,PH=2PQ=2.

在Rt△PNH中,NH=3,PH=2,所以PN=7.

在平行四边形ABMN中,MN=AB=4.

因此△PMN的周长为3+7+4.

图4 图5

②当点N在线段DC上时,△CMN恒为等边三角形.

如图5,当PM=PN时,△PMC与△PNC关于直线PC对称,点P在∠DCB的平分线上. 在Rt△PCM中,PM=3,∠PCM=30°,所以MC=3.

此时M、P分别为BC、EF的中点,x=2.

如图6,当MP=MN时,MP=MN=MC=,x=GM=GC-MC=5-3.

如图7,当NP=NM时,∠NMP=∠NPM=30°,所以∠PNM=120°.

又因为∠FNM=120°,所以P与F重合.

此时x=4.

综上所述,当x=2或4或5-时,△PMN为等腰三角形.

图6 图7 图8

考点伸展

第(2)②题求等腰三角形PMN可以这样解:

如图8,以B为原点,直线BC为x轴建立坐标系,设点M的坐标为(m,0),那么点P的坐标为(m,3),MN=MC=6-m,点N的坐标为(

22(6?m)m?6,). 22由两点间的距离公式,得PN?m?9m?21.

当PM=PN时,m?9m?21?9,解得m?3或m?6.此时x?2.

当MP=MN时,6?m?

22,解得m?6?3,此时x?5?. 2当NP=NM时,m?9m?21?(6?m),解得m?5,此时x?4.

二、双动点问题

例:如图1,梯形ABCD中,AD∥ BC,∠B=90°,AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从A开始沿AD边以1cm/秒的速度移动,点Q从C开始沿CB向点B以2 cm/秒的速度移动,如果P,Q分别从A,C同时出发,设移动时间为t秒。

当t= 时,四边形是平行四边形;6

当t= 时,四边形是等腰梯形

. 8

1、(2012贵州遵义12分)如图,△ABC是边长为6的等边三角形,P是AC边上一动点,由A向C运动(与A、C不重合),Q是CB延长线上一点,与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(Q不与B重合),过P作PE⊥AB于E,连接PQ交AB于D.

(1)当∠BQD=30°时,求AP的长;

(2)当运动过程中线段ED的长是否发生变化?如果不变,求出线段ED的长;如果变化请说明理由.

2、如图,已知△ABC中,AB?AC?10厘米,BC?8厘米,点D为AB的中点.

(1)如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由; ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPD与△CQP全等?

(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿△ABC三边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇?

解:(1)①∵t?1秒, ∴BP?CQ?3?1?3厘米,

∵AB?10厘米,点D为AB的中点, ∴BD?5厘米.

又∵PC?BC?BP,BC?8厘米, ∴PC?8?3?5厘米, ∴PC?BD.

又∵AB?AC, ∴?B??C, ∴△BPD≌△CQP.

②∵vP?vQ, ∴BP?CQ, 又∵△BPD≌△CQP,?B??C,则BP?PC?4,CQ?BD?5, ∴点P,点Q运动的时间t?BP4?33秒, ∴vQ?CQ515??4t3厘米/秒。

8015x?x?3x?2?103秒. (2)设经过x秒后点P与点Q第一次相遇, 由题意,得4,解得

80?3?803P∴点共运动了厘米. ∵80?2?28?24,∴点P、点Q在AB边上相遇, 80

∴经过3秒点P与点Q第一次在边AB上相遇.

三、线动问题

例:如图,在Rt△ABC中,?ACB?90°,?B?60°,BC?2.点O是AC的中点,过点O的直线l从与AC重合的位置开始,绕点O作逆时针旋转,交AB边于点D.过点C作CE∥AB交直线l于点E,设直线l的旋转角为?.

(1)①当??EDBC是等腰梯形,此时AD的长为 ;

②当??EDBC是直角梯形,此时AD的长为 ;

(2)当??90°时,判断四边形EDBC是否为菱形,并说明理由.

解:(1)①30,1;②60,1.5;

(2)当∠α=900时,四边形EDBC是菱形.

∵∠α=∠ACB=900,∴BC//ED. ∵CE//AB, ∴四边形EDBC是平行四边形

在Rt△ABC中,∠ACB=900,∠B=600,BC=2, ∴∠A=300.

1AC

2∴

∴AO=.在Rt△AOD中,∠A=300,∴AD=2. ∴BD=2. ∴BD=BC. 又∵四边形EDBC是平行四边形,

(备用图) ∴四边形EDBC是菱形

4、在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.

M M C C

B B A D 图1 图3 N 图2

(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:①△ADC≌△CEB;②DE=AD+BE;

(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,求证:DE=AD-BE;

(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系?请写出这个等量关系,并加以证明.

解:(1)① ∵∠ACD=∠ACB=90° ∴∠CAD+∠ACD=90° ∴∠BCE+∠ACD=90°

∴∠CAD=∠BCE ∵AC=BC ∴△ADC≌△CEB

② ∵△ADC≌△CEB ∴CE=AD,CD=BE ∴DE=CE+CD=AD+BE

(2) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE 又∵AC=BC

∴△ACD≌△CBE ∴CE=AD,CD=BE ∴DE=CE-CD=AD-BE

(3) 当MN旋转到图3的位置时,DE=BE-AD(或AD=BE-DE,BE=AD+DE等)

∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE, 又∵AC=BC,

∴△ACD≌△CBE,

∴AD=CE,CD=BE, ∴DE=CD-CE=BE-AD.

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