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初中几何综合之图形证明题(教师用)

发布时间:2014-01-25 09:57:50  

几何综合之图形证明题

1、(2013年潍坊市)如图,四边形ABCD是平行四边形,以对角线BD为直径作⊙O,分别于BC、AD相交于点E、F.

(1)求证四边形BEDF为矩形.

(2)若BD2?BE?BC试判断直线CD与⊙O的位置

关系,并说明理由.

答案:

(1)证明:?BD为?O的直径,??DEB??DFB?90?

又?四边形ABCD是平行四边形,?AD//BC.

??FBC??DFB?90?,?EDA??BED?90??四边形BEDF为矩形.

(2)直线CD与?O的位置关系为相切.

BDBC?BEBD

??DBC??CBD,??BED?BDC??BDC??BED?90?,即BD?CD.理由如下:?BD2?BE?BC,?

?CD与?O相切.

考点:平行四边形的性质,矩形的判定,,相似三角形的判定,直径对的圆周角是直角,圆的切线的判定等知识的综合运用.

点评:关键是掌握矩形的判定方法,三角形相似的判定方法,圆的切线的判定方法.

2、(2013陕西压轴题)问题探究

(1)请在图①中作出两条直线,使它们将圆面四等分;

(2)如图②,M是正方形ABCD内一定点,请在图②中作出两条直线(要求其中一条直线必须过点M),使它们将正方形ABCD的面积四等分,并说明理由. 问题解决

(3)如图③,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB+CD=BC,点P是AD的中点,如果AB=a,CD=b,且b?a,那么在边BC上是否存在一点Q,使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分?若存在,求出BQ的长;若不存在,说明理由.

图① 图②

图③

(第25题图)

考点:本题陕西近年来考查的有:折叠问题,勾股定理,矩形性质,正方形的性质,面积问题及最值问题,位似的性质应用等。此题考查对图形的面积等分问题。

解析:此题主要考查学生的阅读问题的能力,综合问题的能力,动手操作能力,

问题的转化能力,分析图形能力和知识的迁徙能力,从特殊图形到一般的过渡,

从特殊中发现关系到一般的知识迁移的过程。

(1)问较易解决,圆内两条互相垂直的直径即达到目的。

(2)问中其实在八年级学习四边形时好可解决此类问题。平行四边形过对角线的交点的直线将平行四边形分成面积相等的两个部分。而在正方形中就更特殊,常见的是将正方形重叠在一起旋转的过程中的图形的面积不变的考查,此题有这些知识的积累足够解决。

(3)问中可以考虑构造(1)(2)中出现的特殊四边形来解决。也可以用中点的性质来解决。在中学数学中中点就有两个方面的应用,一是中线(倍长中线构造全等三角形或者是平行四边形)二是中位线的应用。

解:(1)如图①所示.

(2)如图②,连接AC、BD相交于点O,作直线OM分别交AD、BC于P、Q两点,过点O作用OM的垂线分别交AB、CD于E、F两点,则直线OM、EF将正方形ABCD的面积四等分.

理由如下:

(第25题答案图)

∵点O是正方形ABCD对角线的交点,∴点O是正方形ABCD的对称中心 ∴AP=CQ,EB=DF,

D在△AOP和△EOB中,

∵∠AOP=90°-∠AOE,∠BOE=90°-∠AOE

∴∠AOP=∠BOE

∵OA=OB,∠OAP=∠EBO=45°∴△AOP≌△EOB

∴AP=BE=DF=CQ ∴AE=BQ=CF=PD

设点O到正方形ABCD一边的距离为d. 1111∴(AP?AE)d?(BE?BQ)d?(CQ?CF)d?(PD?DF)d 2222

∴S四边形APOE?S四边形BEOQ?S四边形CQOF?S四边形POFD

∴直线EF、PQ将正方形ABCD面积四等分

另解:∵点O是正方形ABCD对角线的交点,∴点O是正方形ABCD的中心

∴OA=OB=OC=OD ∠OAP=∠OBE=∠OCQ=∠ODF=45°

∵PQ⊥EF,∴∠POD+∠DOF=90°,∠POD+∠POA=90°

∴∠POA=∠DOF同理:∠POA=∠DOF=∠BOE=∠COQ

∴△AOP≌△BOE≌△COQ≌△DOF

∴S四边形APOE?S四边形BEOQ?S四边形CQOF?S四边形POFD?1S正方形ABCD 4

∴直线EF、PQ将正方形ABCD面积四等分

(3)

存在.当BQ=CD=b时,PQ将四边形ABCD面积二等分. 理由如下:如图③,延长BA至点E,使AE=b,

延长CD至点F,使DF=a,连接EF. ∴BE∥CF,BE=CF ∴四边形BCFE为平行四边形, M ∵BC=BE=a+b,∴平行四边形DBFE为菱形 连接BF交AD于点M,则△MAB≌△MDF

∴AM=DM.即点P、M重合. 答图③ ∴点P是菱形EBCF对角线的交点, (第25 在BC上截取BQ=CD=b,则CQ=AB=a.

设点P到菱形EBCF一边的距离为d

∴S?ABP?S?QBP?11(AB?BQ)d?(CQ?CD)d?S?CQP?S?CDP 22

所以当BQ=b时,直线PQ将四边形ABCD的面积分成相等的两部分.

另解:存在.当BQ=CD=b时,PQ将四边形ABCD面积二等分.

理由如下:如图④,连接BP并延长BP交CD延长线于点F,连接CP ∵点P是AD的中点,∴PA=PD

∵AB∥CD,∴∠ABP=∠DFP,∵∠APB=∠DPF ∴△APB≌△DPF

∴AB=DF,PB=PF,所以CP是△CBF的中线,∴S?CPB

∵AB+CD=BC,DF+CD=BC,即:CB=CF,∴∠CBF=∠CFB

∵∠ABP=∠DFP∴∠ABP=∠CBP即PB是角平分线.

∴点P到AB与CB的距离相等,

∵BQ=b,所以CQ=AB=a

∴S?ABP?S?CPF ?S?CQP 答图④ ∴S四边形ABQP?S四边形QCDP (第25题答案图) 所以当BQ=b时,直线PQ将四边形ABCD的面积分成相等的两部分.

3、(2013?玉林)如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AD⊥DC,点A关于对角线BD的对称点F刚好落在腰DC上,连接AF交BD于点E,AF的延长线与BC的延长线交于点G,M,N分别是BG,DF的中点.

(1)求证:四边形EMCN是矩形;

(2)若AD=2,S梯形ABCD=,求矩形EMCN的长和宽.

4、(13年北京7分24)在△ABC中,AB=AC

,∠BAC=?(0????60?),将线段BC

绕点B逆时针旋转60°得到线段BD。

(1)如图1,直接写出∠ABD的大小(用含?的式子表示);

(2)如图2,∠BCE=150°,∠ABE=60°,判断△ABE的形状并加以证明;

(3)在(2)的条件下,连结DE,若∠DEC=45°,求?的值。

1解析:【解析】(1)30??? 2

(2)△ABE为等边三角形

证明连接AD、CD、ED

∵线段BC绕点B逆时针旋转60?得到线段BD

则BC?BD,?DBC?60?

又∵?ABE?60?

1∴?ABD?60???DBE??EBC?30??? 2

且△BCD为等边三角形.

在△ABD与△ACO中

?AB?AC??AD?AD

?BD?CD?

∴△ABD≌△ACD(SSS)

11∴?BAD??CAD??BAC?? 22

∵?BCE?150?

11∴?BEC?180??(30???)?150??? 22

在△ABD与△EBC中

A

E

??BEC??BAD???EBC??ABD

?BC?BD?

∴△ABD≌△EBC(AAS)

∴AB?BE

∴△ABE为等边三角形

(3)∵?BCD?60?,?BCE?150?

∴?DCE?150??60??90?

又∵?DEC?45?

∴△DCE为等腰直角三角形

∴DC?CE?BC

∵?BCE?150? ∴?EBC?(180??150?)?15? 2

1而?EBC?30????15? 2

∴??30?

【点评】本题是初中数学重要模型“手拉手”模型的应用,从本题可以看出积累掌握常见模

型、常用辅助线对于平面几何的学习是非常有帮助的.

考点:几何综合(等边三角形、等腰直角三角形、旋转全等、对称全等、倒角)

5、(13年山东青岛、24压轴题)已知,如图,□ABCD中,AD=3cm,CD=1cm,∠B=45°,点P从点A出发,沿AD方向匀速运动,速度为3cm/s;点Q从点C出发,沿CD方向匀速运动,速度为1cm/s,连接并延长QP交BA的延长线于点M,过M作MN⊥BC,垂足是N,设运动时间为t(s)(0<t<1),解答下列问题:

(1)当t为何值时,四边形AQDM是平行四边形?

(2)设四边形ANPM的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;

(3)是否存在某一时刻t,使四边形ANPM的面积是□ABCD面积的一半,若存在,求出相应的t值,若不存在,说明理由

(4)连接AC,是否存在某一时刻t,使NP与AC的交点把线段AC分成2:1的两部分?若存在,求出相应的t值,若不存在,说明理由

NDB

解析:

DB

第24题备用图 DB

解得:t

=1, 4

当AE:EC=1

时, 同理可得:AEBA??

CDCN,解得:t

=1, 7

答:当t

t

NP与AC的交点把线段AC分成2:1的两部分 6、(2013年广州市)已知AB是⊙O的直径,AB=4,点C在线段AB的延长线上运动,点D在⊙O 上运动(不与点B重合),连接CD,且CD=OA.

(1)当

OC=12),求证:CD是⊙O的切线;

(2)当OC

>时,CD所在直线于⊙O相交,设另一交点为E,连接AE.

①当D为CE中点时,求△ACE的周长;

②连接OD,是否存在四边形AODE为梯形?若存在,请说明梯形个数并求此时AE·ED的值;若不存在,请说明理由。

分析:(1)关键是利用勾股定理的逆定理,判定△OCD为直角三角形,如答图①所示;

(2)①如答图②所示,关键是判定△EOC是含30度角的直角三角形,从而解直角三角形求出△ACE的周长;

②符合题意的梯形有2个,答图③展示了其中一种情形.在求AE?ED值的时候,巧妙地利用了相似三角形,简单得出了结论,避免了复杂的运算.

解:(1)证明:连接OD,如答图①所示.

由题意可知,CD=OD=OA=AB=2,OC=,

222∴OD+CD=OC

由勾股定理的逆定理可知,△OCD为直角三角形,则OD⊥CD,

又∵点D在⊙O上,

∴CD是⊙O的切线.

(2)解:①如答图②所示,连接OE,OD,则有CD=DE=OD=OE,

∴△ODE为等边三角形,∠1=∠2=∠3=60°;

∵OD=CD,∴∠4=∠5,

∵∠3=∠4+∠5,∴∠4=∠5=30°,

∴∠EOC=∠2+∠4=90°,

因此△EOC是含30度角的直角三角形,△AOE是等腰直角三角形.

在Rt△EOC中,CE=2OA=4,OC=4cos30°=,

在等腰直角三角形AOE中,AE=OA=,

∴△ACE的周长为:AE+CE+AC=AE+CE+(OA+OC)=+4+(2+)=6+

+.

②存在,这样的梯形有2个.

答图③是D点位于AB上方的情形,同理在AB下方还有一个梯形,它们关于直线AB成轴对称.

∵OA=OE,∴∠1=∠2,

∵CD=OA=OD,∴∠4=∠5,

∵四边形AODE为梯形,∴OD∥AE,∴∠4=∠1,∠3=∠2,

∴∠3=∠5=∠1,

在△ODE与△COE中,

∴△ODE∽△COE, 则有,∴CE?DE=OE=2=4. 22

∵∠1=∠5,∴AE=CE,

∴AE?DE=CE?DE=4.

综上所述,存在四边形AODE为梯形,这样的梯形有2个,此时AE?DE=4.

点评:本题是几何综合题,考查了圆、含30度角的直角三角形、等腰直角三角形、等边三角形、梯形等几何图形的性质,涉及切线的判定、解直角三角形、相似三角形的判定与性质等多个知识点,难度较大

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