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特殊平行四边形

发布时间:2014-01-25 10:57:39  

现实中的矩形图片

(一)

平行四边形定义:两组对边分别平行的四边形
对边平行 边 对边相等 平行四边形性质: 对角相等 角 邻角互补 对角线互相平分 对角线

平行四边形判别:
两组对边分别平行

边: 两组对边分别相等
一组对边平行且相等

的四边 形是平 行四边 形

线: 对角线互相平分

证明命题的一般步骤:
1、审(找条件、结论)

2、作(作图,并标明字母、符号)
3、写(把文字语言转化为几何符

号语言,写已知、求证) 4、证(证明结论)

在一个平行四边形活动框架上,用 两根橡皮筋分别套在两个相对的顶点上, 拉动一对不相邻的顶点,改变平行四边 形的形状,如图:
α α α

经历上述运动及变化过程,回想一下矩 形是怎样定义的?它又具有哪些性质?

矩形定义: 有一个角是直角的平行
四边形是矩形

边: 具有平行四边形
所有边的性质 矩形性质: 角: 四个角都是直角

线:对角线相等且互相平分
与平行四边形的性质相对比,有什么 不同之处?为什么?

你能证明矩形的特殊性质吗?
证明:矩形的对角线相等 已知:矩形ABCD中, AC、BD相交于点O 求证:AC=BD 证明: A O D

B

C

证明:∵四边形ABCD是矩 A 形,
∴AB=CD, ∠ABD=∠ADC=90° RT△ABD与RT△DCA中 ∵AB=CD,∠ABD=∠ADC=90° AD=AD ∴ △ABD≌ △DCA(SAS) ∴AC=BD

D O

B

C

下列是小刚的证明过程 ,这样做对吗? 为什么? A 证明:矩形ABCD中
∵AB∥CD ∴∠OAB=∠OCD, O B

D

C

∠OBA=∠ODC △ABO与△DCO中 ∵ ∠OAB=∠OCD,AB=CD,∠OBA=∠ODC
∴ △ABO ≌△DCO, ∴AO=OD,BO=CO

∴AO+OC=BO+OD,即:AC=BD

如图:矩形的对角线 A 相交于点E,你可以找 到那些相等的线段? 如果擦去△ADC,则 B 剩余的RT△ABC中, A BE是怎样的一条特殊 的线段?它具有什么 特性?为什么? B

D E

C D
E C

经历上述的探讨过程,你能证明以下 结论吗? 推论:直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半。

已知:Rt△ABC中, BE是斜边AC上的中 线, 求证:BE=AC/2 证明:

A
E B

D

C

1、分别过A、C作BC、AB的平行线AD、DC,交 点为D,连接BD 证:ABCD为矩形 BD平分AC, 即:BD过E BE=AC/2

证明:
2、过A作BC的平行线与 BE的延长线交于点D, 连接CD

A
E B
BC=AD BE=AC/2

D

C

证: ?BCE ≌ ?DAE(SAS) 四边形ABCD为矩形

3、延长BE到D,使BE=DE,连接AD、DC。

证:四边形ABCD为平行四边形(对角线互相平分)
四边形ABCD为矩形 BE=AC/2

回顾刚才的证明过程,证明结论的关 键是什么?其中用了哪种思维方式? 运用了那些知识?你有什么体会?

例:如图:矩形ABCD的两条对角线相 交于点O,已知∠AOD=120°,AB=2.5 厘米,求矩形对角线的长。 A C

B

D

1、直角三角形斜边

上的中线长为4厘米,则他的两条 直角边的中点的连线长是
2、已知矩形的一条对角线长为8厘米,两条对角线的 一个交角为60°,则矩形的边长为: 。 3、用8块相同的长方形地砖拼成 一个矩形,则每个长方形地砖的 面积为 。 A、200cm2 B、300cm2

40厘 米

C、600cm2 D、240cm2

4、已知:在矩形ABCD中E、F分别为BC、

AD上的点,且AE=CF,

求证:四边形AECF为平行四边形
A F D

B

E

C

矩形都有哪些判别方式?你能 设法证明它们吗?
定义:

角:
对角线:

请你设计一个方案,看怎样利 用刻度尺检查一个四边形零件是否 是矩形。

有一个角是 矩形 直角的平行 四边形是矩 定义: 形 具有平行四边形 所有边的性质

证明:直角三 角形斜边上的 中线等于斜边 的一半。 证明:过程

例: A
B 解答过程 :

C D

矩形 四个角都是直角 性质:
对角线相等且 互相平分

特殊平行四边形(二) 在认真学习第一课时的基础上,本节课的教学 可按以下环节逐步展开: 1.知识回顾——回想知识,加强记忆、理解。 2.新课引入——动手实践,发现新知。 3.新课讲解——互助合作,探索性质,判别。 4.训练应用——强化训练,加深应用。 5.拓展延伸——类比菱形,探索正方形。 6.小 结——综合思想,归纳思路。 7.作 业——综合知识,强化训练。 下面就每个环节,逐层分析。

第一环节:知识回顾
第二环节:新课引入

第三环节:新课讲解
第四环节:训练应用 第五环节:拓展延伸 第六环节:感悟与收获 第七环节:布置作业

(二)

性质
边 角 线

判别
2、 4、

平行四 平行 邻角互 互相平 1、 相等 补,对 分 3、 边形
角相等

矩形

平行 全为直 互相平 1、 相等 角 分且相 3、 等

2、

菱形定义: 有一组邻边相等的平行四边形是 菱形

试一试:你能用折纸的方 式得到一个菱形吗?折纸 的过程中你发觉菱形有何 特性?总结一下。

菱形的特点:

边:

四条边都相等,对边平行

互相垂直平分,且每条对 对角线:
角线平分每一组对角

以小组为单位讨论、 证明菱形的这些性质 定理。

证明:菱形的对角线互相垂直,并 且每条对角线平分一组对角 A
已知:

菱形ABCD中,AC、 BD相交与点O, B 求证:
AC⊥BD,且AC、BD分 别平分每一组对角。

1 2
O C D

证明: ∵菱形ABCD中,
BO=OD,而?ABD中, AB=AD,BO=OD ,

A 1 2 B O C D

∴AO ⊥BD, ∠ 1= ∠ 2 (三线合一)

即:AC ⊥BD,
∠ 1= ∠ 2 同理可得AC、BD平 分每一组对角

以上的证明过程中你用到了哪些知识?进一步体 验折纸过程,折叠之后的三角形具有什么特点? 你有何体会?

证明:菱形的面积等于其对角线乘积的 一半。

例2:
如图,

四边形ABCD是边 长为13厘米的菱形,其中 对角线BD长10厘米,求: (1)对角线AC的长度

(2)菱形ABCD 的面积

以小组为单位,回想、探讨 菱形的判别方法,并证明其 相关结论

1、下面是菱形具有而矩形不具有的性质为: A、对边平行 B、对角相等 D、对角线互相垂直 C、对角线互相平分

2、菱形的两条对角线的长分别为6厘米和8厘米,则其 周长为 ,面积为 。 3、菱形的周长为40厘米,它的一条对角线长为10厘米, 则它的另一条对角线长为 。

4、先阅读下列题目及小明给 出的证明。再根据要求回答 下列问题: 已知:如图:在平行四边形 ABCD中, ∠A的平分线与 BC交于点E, ∠B的平分线与 AD边交于点F,AE与BF相交 B 于O 求证:四边形ABEF是菱形

A
1 2 O

F

D

3

4

E

C

证明(1) ∵四边形ABCD是平行四边形 A
(2)∴AD∥BC (3) ∴ ∠ABE= ∠BAF=180 ° (4) ∵AE、BF分别是∠BAF、 ∠ABE的平分线 (5) ∴ ∠ 1= ∠ 2= ∠ BAF/2 ∠3= ∠ 4= ∠ ABE/2 (6) ∴ ∠ 1+ ∠ 3=180 ° /2=90 ° (7) ∴ ∠AOB=90 ° (8) ∴AE ⊥BF (9) ∴四边形ABEF是菱形 3 1 4 2 O

F

D

B

E

C

问:1、上述证明是否 正确?

2、如果有错误,指出 在第 步到第 步推 理错误,应在第 步 后添加如下证明过 程: 。

如果想探讨正方形的性质、判别方式, 你会从那些方面入手来解决这个问题? 小组讨论一下,你们会得到那些性质、 判别,你们能迅速的思考出证明方法 吗?

总结 平行四边形、矩形、菱形、正 方形的性质及判别方式,比较其异 同点,加深理解、认识区别。





例2 :
证明:

平行四边形 定义 菱 形 性质 判别 边

证明过程

对角线

特殊平行四边形(三)

在认真学习“矩形、菱形、正方形基本知识”的 基 础上,第三节的教学可按以下步骤逐步展开: 1、课前复习——梳理知识点,对比特点,加深理 解,作好铺垫。 2、探究交流——自我探索,归纳知识,交流成果 3、拓展延伸——开拓思维,强化探索过程 4、综合应用——联系生活,激发兴趣,强化探索 应用 5、小结——体会探索过程,疏理探索思路 6、视野窗——开阔眼界,综合知识,体会《原 本》价值

(三)

性质
平行四边形 对边平行相等,对 角相等,对角线互 相平分
四角都是直角,对 角线相等 四条边相等,对角 线互相垂直 四角相等,四边相 等,对角线相等、 互相垂直平分

判别
1、 2、 4、
1、 1、 2、 2、

3、

矩形 菱形 正方形

3、 3、

矩形+菱形

在学习第一节平行四边形的时候,曾研究过这样一 道题目: 任做一个四边形,并将其四边的中点依次连接起来,得 到一个新的四边形,这个新的四边形的形状有何特征?

怎样证明? (1)猜想一下,如果依次连接矩形各边中点能得到什 么图形?

(2)连接菱形各边中点呢?连接正方形各边中点呢? 连接平行四边形各边中点呢?
画图试一试,设法证明你的猜想。

A
A B C A B C D B C D B A D C D

经历上述猜想、探索、证明过程,你 有何体会?有什么发现? 依次连接四边形各边中点所得的四 边形形状与哪些线段有关系?有怎 样的关系?对所有的四边形都适应 吗?你能用文字语言将你的成果表 达出来,让大家一起分享吗?

如图:梯形ABCD中, A AB∥CD,E、F、G、 E H分别是梯形ABCD边 AB、BC、CD、DA的 中点,当梯形ABCD满 B 足 条件时,

H

D
G F

C

四边形EFGH是菱形。证明你的发现。

2、如图:四边形 A ABCD中,E、F、G、 H分别是AD、BD、 H F BC、AC的中点,顺 次连接E、F、G、H, B 得到的四边形是一个 G 怎样的四边形? 若四边形E、F、G、H是一个菱形,则四边 形ABCD应满足什么条件?

E

D

C

如图:ABCDXA表示 A B 一条环行高速公路,X 表示一座水库,B、C X 表示两个大市镇。已知 ABCD是一个正方形, XAD是一个等边三角形。 假使政府要铺设两条输 D C 水管XB和XC,从水库 向B、C两个市镇供水,那么这两条水管的夹角(即 ∠BXC)是多少度?

欧几里得及其《原理》
在数学上,我们已经了解了很多有关图形方面的知 识和结论,“全等”“相似”“三角形内角和”“勾股 定理”等等都是我们所熟悉的。另外,我们还接触到了 “公理”“定理”“推论”等一系列术语,同时我们也 学会了证明—由已知结论经逻辑推理得到新结论。然而 ,除了这些,你了解我们教科书上的几何内容的背景吗 ? 实际上,我们教科书上的许多几何内容都源于欧几里得 的《原本》。 欧几里得是古希腊数学家,他生于雅典,当时,由 于实际的需要,人们已经积累了大量丰富的几何再系知 识,如一些平面图形和立体图形的面积和体积计算方法 、物体高度的测量、π 的近似值的计算等等。

另一方面,古希腊是逻辑学的发祥地,随着逻辑学的 不断发展,促使人们逐渐重视逻辑的方法重新整理大量零 散的几何知识,使他们成为一个逻辑体系。许多数学家参 与了这一工作,欧几里得是其中最突出的代表。

他选择了一些命题作为公理,这些命题都是无须证明 的。因为我们知道,在证明一个命题之前,总要用到排在 它前面的已知其正确性的命题,而所用到的这些命题又需 要另外一个命题作保证,这样总有一些命题是不能证明的, 即“原始命题”,也就是前面所说的公理。因此,公理就 像一个水系中的源头一样,从任何一个支流或者支流的支 流出发,逆

着水流的方向都可以找到他们的源头。同样, 殴几里得还给出一系列定义,这些定义原则上是用已有的 概念去定义新的概念,因此必然有一些概念是无法定义的, 即“原始概念”。

这样,整个欧几里得几何体系就由两个体系组成:由 “原始体系”(即公理)推出一系列定理;由“原始概念” 定义的一系列概念。《原本》正是呈现这一几何体系的鸿 篇巨制。它汇集了大量前人积累的几何知识,采用了前所 未有的独特编写方式,在公理、定理的基础上,由简到繁 地证明了一系列定理。殴几里得的这一几何系统称为欧几 里得几何,简称欧氏几何。欧几里得建立其几何体系的方 法称为公理化方法。

翻 开 我 们 的 教 科 书 , 看 看 《 证 明 ( — ) 》《 证 明 (=)》《证明(≡)》是不是也就是从定理和定义出发, 推出一系列定理及推论的?事实上,自从《原本》问世后, 它的内容就曾经或仍然是许多国家中学几何课的 重点学 习素材。不仅如此,它所体现的公理化方法对数学及其他 学科都产生了深远的影响。

性质
平行 四边 形 矩形 菱形 正方 形

判别

对边平行相等, 1、 2、 3、 对角相等,对角 线互相平分 4、 四角都是直角, 1、 2、 对角线相等 3、 四条边相等,对 1、 2、 角线互相垂直 3、 四角相等,四边 相等,对角线相 等、互相垂直平 分 矩形+菱 形

A
X

B

D
解题过程:

C


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