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二次函数的图象及性质

发布时间:2014-01-25 10:57:55  

二次函数y=ax2的图象和性质
y

x

一. 平面直角坐标系: 1. 有关概念: 2. 平面内点的坐标: 3. 坐标平面内的点与有序 实数对是: 一一对应.

P (a,b)
第二象限

y(纵轴)

b
第一象限

a
第三象限

o

x(横轴)
第四象限

坐标平面内的任意一点M,都有唯一一对有序实数(x,y)与它对应; 任意一对有序实数(x,y),在坐标平面内都有唯一的点M与它对应.

4. 点的位置及其坐标特征: y ①.各象限内的点: ②.各坐标轴上的点: ③.各象限角平分线上的点:
N(a,-b) Q(b,-b) M(a,b) Q(0,b) C(m,n)

(-,+) o
D(-m,-n) P(a,a)

(+,+)
P(a,0)

x (+,-)
B(-x,y)

④.对称于坐标轴的两点:

(-,-)

⑤.对称于原点的两点:

A(x,y)

x

y=x2 y= - x2 ...

... ...

-2 -1.5 4 2.25 -4 -2.25

-1 -0.5 1

0

0.5 0.25 -0.25

1 1 -1

1.5 2.25

2

...

0.25 0 -1 -0.25 0

4 -2.25 -4

... ...

函数图象画法

描点法

注意:列表时自变量 2 取值要均匀和对称。 y?? x
画出下列函数的图象。

y ? x2

1 y? x

列表 描点
1 2 (1) y ? x 2 ( 2) y ? 2 x 2 2 2 (3) y ? ? x 3
y ? ?x2

连线

用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结 用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结

x
y? 1 2 x 2 y=x 2

... ...

-4 -3 8 4.5

-2 -1 2

0 0 0 0 0 0

1 0.5 0.5 0.5 1
? 2 3

2 2 1 2 1.5 1.5

3 4.5 1.5 4.5 2
? 8 3

4 8

...

0.5

... ...
...

x
y=2x2

... ...

-2 -1.5

-1 -0.5

2
8 3 -6

8

4.5
8 3

2

0.5
-1
? 2 3

x
y ? ? 2x 2 y=2x 2 3

... -3 ... -6

-2 -1.5
?

... ...

1.5

1 y ? x2 2

y ? 2x2

列表参考

2 y ? ? x2

y ? x2

1 2 y? x 2

y ? 2x2

y ? ?x2

2 y ? ? x2 3

二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时 所经过的路线,我们把它叫做抛物线。

这条抛物线关于 y轴 这条抛物线关于 y轴 这条抛物线关于 y轴 对称, y 轴就是它的 对称, y轴就是它的 对称, y轴就是它的 对称轴。 对称轴。 对称轴。 对称轴与抛物线的交点 叫做抛物线的顶点。

y ? x2
1、观察右图, 并完成填空。 2、练习2 3、想一想 4、练习4
二次函数y=ax2的性质 1、顶点坐标与对称轴 2、位置与开口方向 3、增减性与极值

y ? ?x2

y=x2 抛物线 y=-x2 ( 0,0) 2与抛物线 ( 0, 0) 顶点坐标 在同一坐标系内,抛物线 y=x 2 在同一坐标系内,抛物线y=x 与抛物线 2 y=-x -x 的位置有什么关系? 如果在同一坐标系内 2的位置有什么关系? y轴 y轴 对称轴 y= 如果在同一坐标系内 2 2 画函数 y=ax 与y= -ax 的图象,怎样画才简便? 2与y= 2的图象,怎样画才简便? 画函数 y=ax -ax 在x轴

的上方(除顶点外) 位置 答:抛物线抛物线 在x轴的下方(除顶点外) y=x2与抛物线 y= -x2 既关于x轴对 称,又关于原点对称。只要画出y=ax2与y= -ax2中的 开口方向 向上 向下 一条抛物线,另一条可利用关于x轴对称或关于原点 增减性对称来画。 动画演示 极值 当x=0时,最小值为0。 当x=0时,最大值为0。

y?x

2

当a>0时,在对称轴的 左侧,y随着x的增大而 减小。 当a>0时,在对称轴的 右侧,y随着x的增大而 增大。 当a<0时,在对称轴的 左侧,y随着x的增大而 增大。 当 x=-2 当 x=1时, 时,y=4 y=1 当 x=-1 当 x=2时, 时,y=1 y=4

当 x=-2 当 x=1时, 时,y=-4 y=-1 当 x=-1 当 x=2时, 时,y=-1 y=-4

y ? ?x

当a<0时,在对称轴的 2 右侧,y随着x的增大而 减小。

y ? x2

二次函数y=ax2的性质

y ? ?x

2

1、抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴。

2、当a>0时,抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且 向上无限伸展; 当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且 向下无限伸展。

3、当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小; 在对称轴右侧,y随着x的增大而增大。当x=0时函数y的值最小。 当a<0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大; 在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大。

y ? 2x2

2、根据左边已画好的函数图象填空: (1)抛物线y=2x2的顶点坐标是 (0,0), 对称轴是 y轴 ,在 对称轴的右 侧,
2 2 y?? x 3

y随着x的增大而增大;在 对称轴的左 侧, y随着x的增大而减小,当x= 0 时, 函数y的值最小,最小值是 0 ,抛物 线y=2x2在x轴的 上 方(除顶点外)。

(2)抛物线

2 y ? ? x 2在x轴的 3

下 方(除顶点外),在对称轴的

左侧,y随着x的 增大而增大 ;在对称轴的右侧,y随着x的 增大而减小 ,当x=0时,函数y的值最大,最大值是 当x 0 ,

?

0时,y<0.

1、已知抛物线y=ax2经过点A(-2,-8)。 (1)求此抛物线的函数解析式; (2)判断点B(-1,- 4)是否在此抛物线上。 (3)求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。 解(1)把(-2,-8)代入y=ax2,得 -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为 y= -2x2. (2)因为 ? 4 ? ?2(?1) 2 ,所以点B(-1 ,-4) 不在此抛物线上。 (3)由-6=-2x2 ,得x2=3, x?? 3 所以纵坐标为-6的点有两个,它们分别是

( 3 ,?6)与(? 3 ,?6)

? 3

3

( ? 3 , 6) y=-2x2

( 3,6)


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