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求通项1

发布时间:2014-01-25 12:54:14  

几种数列通项的求法

类型一、前n项和法 已知前n项和,求通项公式

?S1 (

an?1)n???Sn?Sn?1 (n?2)

例1:设﹛an﹜的前n项和为Sn,且满足sn=n2+2n-1, 求﹛an﹜的通项公式.

解: ?sn?n2

?2n?1 ? 当n?1时 a1?s1?2

? 当n?2时 a?s?s?n2?2

nnn?1

n?1

?[(n?1)2?2(n?1)?1]

?2n?1

? a?2 n?1n???2n?1 n?2

类型二、累加法 形如

an?1?an?f(n)

的递推式在﹛an﹜中,已知a1=1,an=an-1+n (n≥2),求通项an.

解: ? an?an?1?n an?1?an?2?n?1 an?2?an?3?n?2 an?3?an?4?n?3 .......

a 3?a2?3 a2?a1?2 以上各式相加得 an?a1?(2?3?4???n) =1+(n+2)(n-1)

2

n练习:

已知?an?中,a1?1,an?3

n?1

?a?2)证明:a3?1

n?1 (nn?

2

类型三、累乘法形如

an?1?f(n)?an

的递推式

已知?an

n?中,a1?2,an?1?3?an,求通项an.

解:

an?3n?1, an?1?3n?2, an?2?3n?3, an?3

a?3n?4n?1an?2an?3an?4

....... a3?32, a2

a?32a1 以上各式相乘得a3n?a1?3?32?3???3n?2?3n?1

? 2?31?2?3?????(n-1) n(n-1) ?2?32 n(n-1)

an?2?3

2

已知?aa?

2?n?中,1?2,an?1???2?n???an,求通项an.

类型四、形如 an?1?pan?q

的递推式 数列 ?an?满足a1?1,an?1?2an?1 ,求an.:配凑法构造等比数列

解:

? an?2an?1?1 ? an?1?2an?1?1 ?1?2(an-1?1) a

? an?1a?2 ? ?an?1?是以a1?1为首项,n?1?1

以2为公比的等比数列an

??1?1?2n?1?2n

类型五、相除法形如 a n ?1 ? Aa n ? B ? A n ? 1 的递推式

数列?an?1n?满足:a1?3,an?1?3an?3,

求?an?通项公式.

解: ?a3aaan?1

n?n?1?3n ? nn?n?1

33?1

? ?an?是以a1

为首项,以1为公差的等差数列

??3n?

?3

? an?a1?(n-1)?1?n ? an

3n

3

n?n3a?

pan

n?1

类型六、形如

qan?p 的递推式

数列?aan

n?满足:a1?1,an?1?2a1

,

n?求?an?通项公式

解:

aan?11n?

2a ?2an?1?1?1?2

n?1?1anan?1an?1 ? ?1?是以1 ?a?? 为首项,以2为公差的等差数列na1

1 a?1?(n?1)2?2n?1 ? a1

n?nan2n?1

已知数列?a?的前n项和为Sa*nn,且Sn?n?5n?85,n?N

(1)证明:?an?1?是等比数列;

(2)求数列?Sn?的通项公式,并求出使得Sn?1?Sn成立的最小正整数n.

解析:(1) 当n?1时,a≥2时,a5

1??14;当nn?Sn?Sn?1??5an?5an?1?1,所以an?1?6

(an?1?1),又a1?1??15≠0,所以数列{an?1}是等比数列; n?1

n?1

(2) 由(1)知:a?5?

n?1??15????

,得a1?15???5?

6?

n??6?

?

,从而

n?1

S?75???5?

n?6?

?

?n?90(n?N*);

n?由Sn?1>Sn,得??5?

1

?6?

?

?

25,n?log25?1?14.9,最小正整数n?15.6

25 (2010天津文数)(22)(本小题满分14分)

在数列?a*

n?中,a1=0,且对任意k?N,a2k?1,a2k,a2k+1成等差数列,其公差为2k.

(Ⅰ)证明a4,a5,a6成等比数列; (Ⅱ)求数列?an?的通项公式;

(Ⅲ)记T22n?a?32a?????n2,证明3?2n?Tn?(2n?2). 23an2

【解析】本小题主要考查等差数列的定义及前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基

础知识,考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法,满分14分。

(I)证明:由题设可知,a2?a1?2?2,a3?a2?2?4,a4?a3?4?8,a5?a4?4?12, a6?a5?6?18。

从而

a6a?a5a?3,所以a4,a5,a6成等比数列。 542

(II)解:由题设可得a2k?1?a2k?1?4k,k?N*

所以a2k?1?a1??a2k?1?a2k?1???a2k?1?a2k?3??...?a3?a1?

?4k?4?k?1??...

??4 1 ?2k?k?1?,k?N*.

由aa?k?1? ,从而a2

1?0,得2k?1?2k2k?a2k?1?2k?2k.

??a?n2?1

,n为奇数n所以数列?2

n2n?的通项公式为an?????1??1?n2或写为an?2,n?N*。 ??2

,n为偶数

4(III)证明:由(II)可知a?k?1?,a2

2k?1?2k2k?2k,

以下分两种情况进行讨论:

(1) 当n为偶数时,设n=2m?m?N*?

若m?1,则2n??n

k2

?2, k?2ak

若m?2,则

2

2

?n

k2m??2k?m?1?2k?1?m

k?2a???4k2m?14k2?4k?1kk?1a2kk?1a??2?k?12k? 2k?1k?12kk?1m?1m ?2m????4k2?4k?1??1k?1?2kk?12kk?1??2m??2?1?1?1??

??k?1??

2??kk?1???? ?2m?2?m?1??

1?1?312???1m???n2?2?n

. n

所以2n??

k2?3k?2ak2?1n,从而3n

2?2n??k2

?2,n?4,6,8,.... k?2ak

(2) 当n为奇数时,设n?2m?1?m?N*?。

?n

k22m22

?k2??2m?1??4m?3?1

??2m?1?k?2a?kk?2aka2m?1

22m2mm?1 ?4m?

12?12m?1?2n?312?n?1

n

所以2n??k231,从而3n

?k2

???2,n?3,5,7,.... k?2ak2n?122n??k?2ak

综合(1)和(2)可知,对任意n?2,n?N*,有3

2

?2n?Tn?2.

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