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相似三角形的应用复习

发布时间:2014-01-25 17:01:39  

相似三角形的应用

了解平行光线
自无穷远处发的光相互平行地向前行 进,称平行光。自然界中最标准的平行光 是太阳光。
在阳光下,物体的高度与影长有有什么关系?

同一时刻物体的高度与影长成正比,

尝试画出影子 选择同时间测量
A


D





B

E C

F

如何运用“三角形的相似知识”来说明“平行光 线的照射下,同一时刻物高与影长成比例”?

例2.在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例,在 某一时刻,有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米, 某一高楼的影长为60米,那么高楼的高度是多少米? 解:设高楼的高度为x米,则

? 1.8 60米 3米

1.8 x ? 3 60 60 ? 1.8 x? 3 x ? 36
答:楼高36米.

例1 据史料记者,古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用 相似三角形的原理,在金字塔影子顶部立一根木杆,集中 大院光线构成两个相似三角形,来测量金字塔的高度. 如图,如果木杆EF长2m,它的影长FD为3m,测得OA 为201m,求金字塔的高度BO. 解:太阳光是平行光线,由此∠BAO=∠EDF,又 ∠AOB=∠DFE=90° ∴ △ABO∽△DEF.
BO OA ? EF FD
OA ? EF 201? 2 BO ? ? ? 134 FD 3
O B E

A(F)

D

因此金字塔的高为134m.

1.小明测得旗杆的影长为12米,同一时刻把1 米的标秆竖立在地上,它的影长为 1.5米。于 每个星期一上午学校内的全体师生都要参加升 旗仪式,想不想测量咱们旗杆的高度呢? 是小明很快就算出了旗杆的高度。你知道他是 怎么计算的吗?

如果让标杆影子的顶端与旗杆影 子的顶端C重合,你认为可以吗?
A

解:∵太阳光是平行光线
D E E F ? A B B C


D B 12 1 E

AB=8
D 1 1.5 C E 1.5 F

2.某同学想利用树影测量树高.他在某一时刻测得
小树高为1.5米时,其影长为1.2米,当他测量教学 楼旁的一棵大树影长时,因大树靠近教学楼,有一 部分影子在墙上.经测量,地面部分影长为6.4米, 墙上影长为1.4米,那么这棵大树高多少米?
A

解:作DE⊥AB于E



D E B 1.4 c 1.5 1.2

1.5 x ? 1.2 6.4

∴AE=8 ∴AB=8+1.4=9.4米

6.4

物体的影长不等于地上的部分加上墙上的部分

拓展: 已知教学楼高为12米,在距教学楼9米的北 面有一建筑物乙,此时教学楼会影响乙的采光吗?

甲 12

12 乙

D

1.5

9

1.2



9.6

E

0.6



练习

5.如图:小明想测量一颗大树AB的 高度,发现树的影子恰好落在土坡 的坡面CD和地面CB上,测得 CD=4m,BC=10m,CD与地面成30度角, 且测得1米竹杆的影子长为2米,那 么树的高度是多少?

A

B

D C

3.小明要测量一座古塔的高度,从距他2米的一小 块积水处C看到塔顶的倒影,已知小明的眼部离地 面的高度DE是1.5米,塔底中心B到积水处C的距离 A 是40米.求塔高AB?
解:∵∠DEC=∠ABC=

90° ∠DCE=∠ACB ∴△DEC∽△ABC

AB BC ? ? DE CE
AB 40 ? 1.5 2

D

E

C

B

? AB ? 30 金字塔还可以怎么测量高度? 答:塔高30米.

还可以这样测量金字塔的高……
请列出比例式 DE:BC=AE:AC
D B

C



A

┐ E

3.皮皮欲测楼房高度,他借助一长5m的标竿,当楼房顶 部、标竿顶端与他的眼睛在一条直线 上时,其他人测 出AB=4cm,AC=12m。已知皮皮眼睛离地面1.6m.请你帮他 算出楼房的高度。 F

E D

A

B

C

4.已知左、右两棵并排的大树的高分别是AB=8m 和CD=12m, 两树的根部的距离BD=5,一个身高1.6m的人沿着正对这两棵 树的一条水平直路从左向右前进,当他与走边较低的树的距 离小于多少时,就不能看到右边较高的树的顶端C?

FG=8米
A E G F B

C

H D

练习

6、如图,有一路灯杆AB(底部B不 能直接到达),在灯光下,小明在 点D处测得自己的影长DF=3m,沿 BD方向到达点F处再测得自己得影 长FG=4m,如果小明得身高为1.6m, 求路灯杆AB的高度。
A

C B

E G

D

F

如果在点C后面有一条河,那么利用全等测量A、B间的 距离还可行吗?如果不可行,你会有怎样的测量方法?测 量工具只能用皮尺.
解:连结AC、BC,延长AC到D, 1 CD ? ,延长 AC 使 BC到E, 使
1 CE ? BC 2

A

B

2

,连结DE并测量出

它的长度,则A、B间的距离就 是DE长度的2倍。

C E D

如果点C 在河岸上,大家知道如何测量 A 、 B 间的距离吗? 测量工具只能用皮尺.
解:连结AC、BC,分别取AC, BC的中点D、E,连结DE并测 量出它的长度,则A、B间的距 离就是DE长度的2倍。 A

B
D C

E

例3如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目 标点P,在近岸点Q和S,使点P、Q、S共线且直线PS与河垂 直,接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T,确定 PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.如果测得QS=45m, ST=90m,QR=60m,求河的宽度PQ. 解:∵ ∠PQR=∠PST=90°,∠P=∠P, P ∴ △PQR∽△PST.
PQ QR ? PS ST PQ QR PQ 60 ? , ? PQ ? QS ST PQ ? 45 90

PQ×90=(PQ+45)×60 解得PQ=90. 因此河宽大约为90m

Q S

R

b T a

1.大运河的两岸有一段是平行的,为了估算其运河的宽度,我 们可以在对岸选定一个目标作为点A,再在运河的这一边选点B、 C,使AB⊥BC,然后再选点E,使EC⊥BC,用视线确定BC和AE的 交点为D。(1)想象一下,如何确定点的位置?如何画图?(2) 要估算运河的宽度,你认为要测量哪些可以测量的线段? (3)如果测得BD=120m,DC=60m,EC=50m,求出大运河的大致 宽度AB。 解:∵∠ADB=∠EDC, ∠ABC=∠ECD=90° ∴ΔABD∽ΔECD ∴ AB ? BD ,
EC CD

A

BD ? EC 120 ? 50 解得,AB ? ? ? 100(m). CD 60

B

D

C E

2.为了测量一池塘的宽AB,在岸边找到了一点C,使 AC⊥AB,在AC上

找到一点D,在BC上找到一点E,使 DE⊥AC,测出AD=35m,DC=35m,DE=30m,那么你能算 出池塘的宽AB吗?
因为 ∠ACB=∠DCE , A D E B ∠CAB=∠CDE=90°, 所以 △ABC∽△DEC , AB AC 那么 ? DE DC

DE ? AC 40 ? ( 30 ? 30 ) 解得 AB ? ? ? 80 (米) DC 30 答: 池塘的宽大致为80米.

C

给我一个支点我可以撬起整个地球!
---阿基米德

练习2.如图,铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m, 当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高 8 m。 B C 16m



D

0.5m 1m O A ( 第 2题 )


练习

4、如图,已知零件的外径a为25cm , 要求它的厚度x,需先求出内孔的直 径AB,现用一个交叉卡钳(两条尺长 AC和BD相等)去量,若 OA:OC=OB:OD=3,且量得CD=7cm,求 厚度x。
(分析:如图,要想求厚 度x,根据条件可知,首先 得求出内孔直径AB。而在 图中可构造出相似形,通 过相似形的性质,从而求 出AB的长度。)

O

? 不经历风雨,怎么见彩虹 ? 没有人能随随便便成功!


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