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相似三角形判定复习

发布时间:2014-01-25 17:01:39  

相似三角形复习课(1)

一、知识回顾
相似三角形的判定定理: 定理1:三边对应成比例,两三角形相似。
AB BC CA ? ? ? △ABC∽△A'B'C' A' B' B' C' C' A' B'
BC AB ? A' B ' B' C '

A'

C'

定理2:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似。 ∠B= ∠B' ?△ABC∽△A'B'C' A

定理3:两角对应相等,两三角形相似。 ∠A= ∠A' ∠B= ∠B' ? △ABC∽△A'B'C'

B

C

提炼总结 : 相似三角形中常用基本图形:
A

A字型
B

Z型
E

D

C
A

B

C

点 移 到 与

重 合
A D ∠ACB=Rt∠ CD⊥AB B



连结CD,BE, △ABE 与△ACD相似吗? B

A

A D C

公共边角型
B

双垂直型

D

E

E

斜截型

D

蝴蝶型
C

C

E

三垂直型

学以致用
判断题 1).所有的等边三角形都相似 ( ) 2).所有的等腰直角三角形都相似 ( ) 3).所有的直角三角形都相似 ( ) 4).所有等腰三角形都相似 ( ) 5).有一个角是100°的两个等腰三角形相似 ( ) 6).有一个角是70°的两个等腰三角形相似 ( ) 7).如果两个三角形周长之比是1∶2,那么它的面积 之比为1∶4 ( ) 8).若两等腰三角形面积之比为9∶25,则它的底边 之比为3∶5 ( )

1.判断题 ⑴两个菱形是相似形. ( ) ⑵两个矩形是相似形. ( ) ⑶两个正方形是相似形. ( ) ⑷两个正多边形是相似形. ( ) ⑸有一个角相等的两个等腰梯形是相似形.( ⑹两个直角梯形是相似形. ( ) 2.下列说法正确的是( B ) A.相似形是全等形. B.全等形是相似形. C.不全等的图形不是相似形. D.不相似的图形可能是全等形.

)

3.下列各组图形中,肯定是相似形的是( B ). A.两个腰长不相等的等腰三角形 B.两个半径不等的圆 C.两个面积不相等的平行四边形 D.两个面积不相等的菱形 4.下列图形中,必是相似形的是( C ) A.都有一个角是40o 的两个等腰三角形 B.都有一个角为50o 的两个等腰梯形 C.都有一个角是30o 的两个菱形 D.邻边之比为2:3的两个平行四边形.

5.一个四边形的各边长分别为1 cm,2 cm,3 cm, 4 cm,另一个与它相似的四边形的周长是40 cm那么 后一个四边形的最长边的长是( ) A.1 cm. B. 4 cm. C. 10 cm. D.16 cm.

6.在一矩形ABCD的花坛四周 修筑小路,使得相对两条小 路的宽均相等。花坛AB=20 米,AD=30米,试问小路的 宽x与y的比值为多少时,能 使小路四周所围成的矩形 A`B`C`D`能与矩形ABCD相 似?请说明理由。

7、下列题设中能判定△ABC∽△A’B’C’的是 ( C ) A、 ∠A=50°,∠B=40° ∠A‘=50°,∠C’=80° B、 ∠A=∠A’=80°, AB=4,A’B’=10,BC=9,B’C’=45 C 、 AB=48,BC=80,AC=60, A’B’=24,A’C’=30,B’C’=40 D、 ∠A=∠A’=90°, AB=5,BC=A’C’=7

8 、 在△ ABC 与△ A?B?C?中,有下列条 件: BC AC AB BC ? ③

∠A=∠ ① A?B? ? B?C ?;② ; B?C ? A?C ? C? ④∠ A?C =∠ 。如果从中任取两个条件 组 成 一 组 , 那 么 能 判 断 △ ABC∽△ A?B?C? 的共有( )组。 A、1 B 、2 C、3 D、4

9、如图,小正方形的边长均为1,则下列图 中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( )

10.如图,在△ABC中,DE//BC,AD:CD=1:3, BE=6cm,则AE= cm. 11.如图,在△ABC中,若∠AED=∠B,DE=6, AB=10,AE=8,则BC的长为__________.
A
A E D

E D
C

B

B

C

5.如图, △ ABC中,AB=12,AC=15,D为AB
上的一点,且AD= AB,在AC上取一点E,使 以A、D、E为顶点的三角形和△ ABC相似,则 AE 等于 10或6.4 . A
1、如果E没有说明在AC上有几种可能? 2、如果D在直角三角形斜边上有几种可能?

2 3

E E
C

D
B

D


动点探讨:
例、在?ABC中,AB=8cm,BC=16cm,点P从点A开始 沿AB边向B点以2cm/秒的速度移动,点Q从点B开始 沿BC向点C以4cm/秒的速度移动,如果P、Q分别从A、 B同时出发,经几秒钟?BPQ与?BAC相似?
B

4cm/秒
Q

8
2cm/秒
A

P

16
C

分析:由于?PBQ与?ABC有公共角∠B,所以若?PBQ与 ?ABC相似,则有两种可能一种情况为?PBQ∽ ?ABC 即 PQ∥AC;另一种情况为?QBP ∽ ?ABC

13如图,物AB与其所成像A’B’平行,孔心O 到蜡烛头A的距离是36cm,到蜡烛头的像A’的 距离是12cm,你知道像长是物长的几分之几 吗?你是怎样知道的?

A
O0 B

B’ A’

1、条件探索型
例1.已知:如图,△ABC中,P是AB边上的一点, 连结CP.满足一个什么条件时△ ACP∽△ABC. A ∠1= ∠ACB 或∠2= ∠B P 1 2 B C

AC:AP=AB:AC AC2=AB· AP

2.如图, △ ABC 中,点P在AB上,在下列四 个条件中(1) ∠ACP= ∠ B;(2) ∠ APC= ∠ ACB;(3)AC2=AP· AB;(4)AB· CP=AP· CB.能 满足△ APC和△ ACB相似的条件是D ( )
A.(1)(2)(4) C.(2)(3)(4) B.(1)(3)(4) D.(1)(2)(3)
P

A

B

C

3、正方形ABCD中,E为CD中点,P在BC上, 请添加一个条件是△ADE~△ECP。 A D

E

B

P

C

2、结论探索型

1、如图,⊿ABC是等边三角形,点D,E分别 在BC,AC上,且BD=CE,AD与BE相交于点F.
(1)试说明⊿ABD≌⊿BCE.
(2)⊿AEF与⊿ABE相似吗?说说你的理由. (3)BD2=AD· DF吗?请说明理由. A

E
F B D C

2、在等边⊿ABC中,D为AC上一点,连BD,直 线EF与AB,BC,BD交与E、F、P。 A

E
P B F

D A

E P C B D F C

3、 将两块完全相同的等腰直角三角板摆成如图的样 子,假设图形中的所有点、线都在同一平面内,则图中 有相似(不包括全等)三角形吗?如有,把它们一 一 A 写出来.

解:有相似三角形,它们是: △ADE∽ △BAE,
△BAE ∽ △CDA ,

B

1 D

2 E G

C

△ADE∽ △CDA
( △ADE∽ △BAE ∽ △CDA)F

二、证明题:
如图,AB∥CD,AO=OB,DF=FB,DF交AC于E, 求证:ED2=EO · EC.

D O E A

C

F

B

△ABC中,∠ BAC是直角,

过斜 边中点M而垂直 于斜边BC的直线交CA的延长线于E,交AB于D,连 AM. E 求证: AM2=MD ·ME A D



B

M

C

△ABC中,AM平分∠BAC,DN垂直平分AM. 求证:MN2=BN ·CN A

D

B

M

C

N

过 ABCD的一个顶点A作一直线分别交对角 线BD、边BC、边DC的延长线于E、F、G . 求证:EA2 = EF·EG .
A E B F G C D

补充:梯形一题!!基本图形找共同建 立等量关系!!

△ABC为锐角三角形,BD、CE为高 .

求证: △ ADE∽ △ ABC
E

A

D B

C

如图:在Rt△ABC中∠ACB=90° CD是斜边AB上的高. (1)图中有哪几对相似三角形,请用符号把他 们表示出来.

(2)AC是哪两条线段的比例中项? (3)BC是哪两条线段的比例中项? (4)CD是哪两条线段的比例中项?

5.如图,已知:Rt △ABC中,∠ACB=90°, CE⊥AB,垂足为E,在CE的延长线上取一点 P,连接AP,BG⊥AP,垂足为G. 试说明: CE2=PE.DE.
C


E D G P

A

B

6. △ ABC中,AD⊥BC于点D,DE⊥AC于E,
DF⊥AB于点F
A

试说明:∠ AEF= ∠ B
F

E
C



B

D


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