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位似图形复习

发布时间:2014-01-25 17:01:42  

A

位似图形
C O C’

B

B’

A’

下图各组是经过放大或缩小得到的多边形,它们 相似吗?如果相似,观察那么这种相似什么特征?

位似

是相似图形

每组对应顶点连线相交于一点,对应边互相平行或共线

一.位似图形的概念
如果两个图形不仅相似,而且每组对应顶点所在 的直线都经过同一点,对应边互相平行(或共 线),那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点

叫做位似中心,其相似比又叫做位似比.
相似 对应顶点的连 对应边平行(或共线) 线相交于一点

注:三者缺一不可!

D’

例1.判断下列各对图形是不 是位似图形.

E’ E

D C B

C’

(1)相似五边形ABCDE与五边形 A ( 是 ) A’B’C’D’E’; A’ (2)正方形ABCD与正方形A’B’C’D’; D’

B’ C’

( 是 )

D (3)等边三角形ABC与等边三角形A’B’C’. A C’

C A’ B’

( 是 )
B’ A

B

B C

A’

例2、判断下列各对图形哪些是相似图形,哪些是位似 图形.
①DE∥BC ②∠AED=∠B

相似且位似 A ③两个正方形 E 相似但不是位似 B C D

相似但不是位似

结论1:位似图形是相似
F 图形的特殊情形,位似的 要求更为苛刻。 G

二. 位似图形的性质
⑴一般性质:具有相似多边形的性质

周长比等于位似比 面积比等于位似比的平方

⑵特殊性质:位似图形上任意一对对应顶点到 位似中心的距离之比等于位似比.

OA' OB' A'B' (1),(2)图中,位似中心为 0,则: = = … = OA OB AB AF AP AE EP FP (3)图中,位似中心为 A,则: = = = = AD AC AB BC DC

练习与拓展

特殊性质在作图中的运用

OA’:OA =OB’:OB =OC’:OC= 2:1
确定位似中心
A

A'

.

确定原图的关键点
O.

确定位似比

B B’

找出新图形的对应关键点 画出图形

.

C

.
C’

1.如图,已知△ABC和点O.以O为位似中心,求作

△A’B’C’ 和△ABC位似,且位似比为2.
注:在作图中,如无特殊说明,位似比通常代表新图形与原图形的比。 k﹥1,将原图形放大,0<k<1,将原图形缩小

思考:还有没其他作法?
C’

.

. B’
. O
B

A

C

A'

.

如果位似中心给定在三角形内部呢?

A'

A

.
B’

B

O C
C’

A

以0为位似中心把△ABC 缩小为原来的一半。
C 0

B

C’

B’

A’

探索:

位似变换与平面直角坐标系

在平面直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0),以原点O为 位似中心,相似比为1:3,把线段AB缩小. y
A

.

A'

o

.

x
B

B'

观察对应点之间的坐标 的变化,你有什么发现?

A′(2,1) B′(2,0) A (6,3) B (6,0)

在平面直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0),以 原点O为位似中心,位似比为1:3,把线段AB缩小.
A′(2,1),B′(2,0) y
A

A〞(-2,-1),B〞(-2,0) A (6,3), B (6,0),

A' B〞

观察对应点之间的坐 标 x 的变化,你有什么发现 ?
B

o
A〞

B'

结论3:在平面

直角坐标系中, 以原点O为位似中心,位似比为 k,若原图形上点A的坐标为(x,y),那么位似图形对应点A’ 的坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky)

探索2:

在平面直角坐标系中, △ABC三个顶点的坐标分别 为A(2,3),B(2,1),C(6,2),以原点O为位似中心,位 似比为2画它的一个位似图形. 放大后对应点的坐标分别是:
A′( 4 ,6 ), B′( 4 ,2 ), C′( 12 ,4 ) y A'
6

4 3 2 1 B 12 A B' C C'

x

2 4 6 o 还有其他的答案吗?

A′( -4 ,-6 ), B′( -4 ,-2 ), C′( -12 ,-4 ) 此时,位似中心0位于两图形的异侧,做题时注意审 题!看清要求(其中一个,异侧,同侧等) y
A(2,3)

K=2
C(6,2)

B(2,1)

o

x

例3.在平面直角坐标系中, 四边形ABCD的四个顶点的坐标
分别为A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),画出它的 一个 以原点O为位似中心,位似比为1/2的位似图形. y
A

D
A′
B

D′ B′ C’’

x
B’’

C

C′

o
A’’

解:如图,因为0为位似中心,位似比为1/2 ,分别取点 A′( -3,3 ), B′( -4,1 ), C′( -2,0 ), D′( -1,2 ) 依次连接点A′ B′ C′ D′就是要求作的位似图形。
D’’

小结
1. 位似图形 2.位似图形的性质 3.利用位似的特殊性质可以把一个图形放大或缩小 4.有关的三个结论
结论1:位似图形是相似图形的特殊情形 结论2:位似中心的位置由两个图形的位置决定,可能在两个 图形的同侧,异侧,图形的内部,边上,或顶点上 结论3:在平面直角坐标系中, 以原点O为位似中心,位似比为k, 若原图形上点A的坐标为(x,y),那么位似图形对应点A’的 坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky)

三角形ABC放大为原来的2倍
E B O D F E

C
A

F D O
C A B

位似中心 对应点连线都交于____________ 平行或共线 对应线段_______________________________


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