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2013届人教版中考数学复习解题指导:第14讲 二次函数的图象与性质(一)

发布时间:2014-01-26 09:50:48  

第14讲┃

二次函数的图象与性质(一)

第14讲┃ 考点聚焦

考点聚焦
考点1 二次函数的概念 一般地,如果____________ y=ax2+bx+( ca,b, c是常数,a≠0),那么y叫做x的二 次函数 ①等号左边是函数,右边是关于自 变量x的二次式,x的最高次数是2; ②二次项系数a≠0

定义

二次函数 y=ax2+bx+c 的结构特征

第14讲┃ 考点聚焦

考点2

二次函数的图象及画法
2+bx+c(a≠0)的图象是 二次函数 y = ax 2 ?- b ,4ac-b ? ? 2a 以____________ 4a ? ? ? 为顶点,以直线 ______________为对称轴的抛物线

图象

用描点法画 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的步骤

y=a(x-h)2+k 的形 (1)用配方法化成________________ 式; (2)确定图象的开口方向、对称轴及顶点 坐标; (3)在对称轴两侧利用对称性描点画图

第14讲┃ 考点聚焦 考点3 二次函数的性质

函数

二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)

a>0
图象

a<0

开口 方向

抛物线开口向上,并向上 抛物线开口向下, 无限延伸 并向下无限延伸

第14讲┃ 考点聚焦
对称轴 顶点坐标 b 直线x=- 2a
? b 4ac-b2? ?- , ? 4a ? ? 2a

b 直线x=- 2a
? b 4ac-b2? ?- , ? 4a ? ? 2a

在对称轴的左侧,即当

在对称轴的左侧,即当

增减性

b x<- 时, y随x的增大 b 2a x<- 时, y随x的增大 2a 而增大;在对称轴的右 而减小;在对称轴的右 b 侧,即当 x > - 时, y b 2 a 侧,即当x>- 时, y 2a 随x的增大而减小,简 随x的增大而增大,简 记左增右减 记左减右增

第14讲┃ 考点聚焦
函数 二次函数y=ax2+bx+c( a、b、c为常数, a≠0)

a>0

a<0
抛物线有最高点,当x

最值

b 抛物线有最低点,当x=- 时, y b 2a =- 时, y有最大 2a 2 4ac- b 有最小值,y最小值= 4ac- b2 4a 值,y最大值 = 4a
? a 越小,? ? ?越小,抛物线的开口越大

? ? ? 二次项系数 ? ?a ?的大小决定抛物线的开口大小;?a ?越大,抛物线的开口

a的特性
常数项c 的 意义

c是抛物线与y轴交点的纵坐标,即x=0时,y=c

第14讲┃ 考点聚焦 考点3 用待定系数法求二次函数的解析式 方法 适用条件及求法 若已知条件是图象上的三个点,则设所 求二次函数为y=ax2+bx+c,将已知三 个点的坐标代入,求出a、b、c的值 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称 轴方程与最大值(或最小值),设所求二次 函数为y=a(x-h)2+k,将已知条件代入, 求出待定系数,最后将解析式化为一般 形式

1.一般式

2.顶点式

第14讲┃ 考点聚焦

3.交点式

若已知二次函数图象与x轴的两个交点 的坐标为(x1,0),(x2,0),设所求二 次函数为y=a(x-x1)(x-x2),将第三点 (m,n)的坐标(其中m、n为已知

数)或其 他已知条件代入,求出待定系数a,最 后将解析式化为一般形式

第14讲┃ 归类示例

归类示例
? 类型之一 二次函数的定义 命题角度: 二次函数的概念.

若y=(m+1)xm2-6m-5是二次函数,则m=( A ) A.7 B.-1 例1 C.-1或7 D.以上都不对 [解析] 让x的次数为2,系数不为0,列出方程与不等式解 答即可. 由题意得:m2-6m-5=2,且m+1≠0. 解得m=7或-1,且m≠-1, ∴m=7,故选A.

第14讲┃ 归类示例

利用二次函数的定义,二次函数中自变量的最高 次数是2,且二次项的系数不为0.

第14讲┃ 归类示例 ? 类型之二 二次函数的图象与性质

命题角度: 1. 二次函数的图象及画法; 2. 二次函数的性质. 例2 (1)用配方法把二次函数y=x2-4x+3变成y=(x- h)2+k的形式; (2)在直角坐标系中画出y=x2-4x+3的图象; (3)若A(x1,y1),B(x2,y2)是函数y=x2-4x+3图象上的两点 ,且x1<x2<1,请比较y1、y2的大小关系(直接写结果); (4)把方程x2-4x+3=2的根在函数y=x2-4x+3的图象上表 示出来.

第14讲┃ 归类示例

[解析] (1)根据配方法的步骤进行计算. (2)由(1)得出抛物线的对称轴,顶点坐标列表 ,注意抛物线与x轴、y轴的交点及对称点等特 殊点的坐标,不要弄错. (3)开口向上,在抛物线的左边,y随x的增大 而减小. (4)抛物线y=x2-4x+3与直线y=2的交点的 横坐标即为方程x2-4x+3=2的两根.

第14讲┃ 归类示例 解:(1)y=x2-4x+3=(x2-4x+4)+3 -4=(x-2)2-1. (2)由(1)知图象的对称轴为直线x=2, 顶点坐标为(2,-1),列表: x … 0 y … 3 1 2 3

0 -1 0

4 … 3 …

描点作图如下图. (3)y1>y2. (4)如图,点C,D的横坐标x3,x4即为方程x2-4x+ 3=2的根.

第14讲┃ 归类示例

(1) 求二次函数的图象的顶点坐标有两种方法:①
2? ? b 4 ac - b ? 配方法;②顶点公式法,顶点坐标为? - , ? ?. 4a ? ? 2a

(2) 画抛物线y=ax +bx+c的草图,要确定五个方 面,即①开口方向;②对称轴;③顶点;④与y轴交 点;⑤与x轴交点.

2

第14讲┃ 归类示例 ? 类型之三 二次函数的解析式的求法

命题角度: 1. 一般式,顶点式,交点式; 2. 用待定系数法求二次函数的解析式. 例3 已知抛物线经过点A(-5,0),B(1,0),且 顶点的纵坐标为 ,求二次函数的解析式. [解析] 根据题目要求,本题可选用多种方法求关系式.

第14讲┃ 归类示例
解:解法一:∵抛物线与x轴的两个交点为A(-5,0),B(1,0),由对 称性可知,它的对称轴为直线x= -5+1 2 =-2,∴抛物线的顶点为

? ? 9? 9? P ?-2, ? ,已知抛物线上的三点A(-5,0),B(1,0),P ?-2, ? ,设一般 2? 2? ? ?

? 9? ? 式,设y=ax +bx+c,把A(-5,0),B(1,0),P -2, ?的坐标代入,得 2? ?
2

1 ? ?a+b+c=0, ?a=-2, ?25a-5b+c=0, ? ∴? 解得?b=-2, ? 5 ?4a-2b+c=9, 2 c= , ? ? ? 2

1 5 ∴ 所求抛物线的关系式为y=- x2-2x+ . 2 2

第14讲┃ 归类示例
? 9? ? ? - 2 , ? ? 2 ? ?

解法二 :∵由解法一知抛物线的顶点为 P 式,

,可设顶点

9 设y= a(x+2) + ,把x=1,y =0代入,得 2
2

9 0=a(1+2) + , 2
2

1 1 9 2 ∴a=- .∴y=- (x+2) + , 2 2 2 1 2 5 即y=- x -2x+ . 2 2

第14讲┃ 归类示例
? 9? ? ? - 2 , ? 2? ? ?

解法三:由解法一知抛物线过点P

,∵A(-5, 0),

B(1 ,0)是抛物线与x轴的交点,设交点式,设y=a(x+5)(x- 9 1),把x=-2,y = 代入, 2 9 1 得a( -2+5)(-2 -1)= ,∴a =- . 2 2 1 1 2 5 ∴y=- (x+5)(x -1),即y=- x -2x+ . 2 2 2

第14讲┃ 归类示例

(1)当已知抛物线上三点求二次函数的解析式时, 一般采用一般式y=ax2+bx+c(a≠0);(2)当已知抛 物线顶点坐标(或对称轴及最大或最小值)求解析式时 ,一般采用顶点式y=a(x-h)2+k;(3)当已知抛物线 与x轴的交点坐标求二次函数的解析式时,一般采用 交点式y=a(x-x1)(x-x2).

第14讲┃ 回归教材

回归教材
一题多法提能力 教材母题 人教版九下P20T4
抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(-1,0),(3, 0),求这条抛物线的对称轴.

第14讲┃ 回归教材

第14讲┃ 回归教材

第14讲┃ 回归教材

中考变式
1.抛物线y=(x+3)(x-1)的对称轴是直线( B ) A.x=1 B.x=-1 C.x=-3 D.x=3

图14-1

第14讲┃ 回归教材

2.[2011·威海] 二次函数y=x2-2x-3的图象 如图14-1所示.当y<0时,自变量x的取值范 围是( A ) A.-1<x<3 B.x<-1 C.x>3 D.x<-1或x>3

第14讲┃ 回归教材

3.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点是A(-1,0)、 B(3,0),与y轴的交点是C,顶点是D.若四边形ABDC的 面积是18,求抛物线的解析式.

第14讲┃ 回归教材

第14讲┃ 回归教材


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