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11.2三角形全等的判定(HL)

发布时间:2014-01-26 09:50:50  

11.2三角形全等的判定(HL)

◆随堂检测

1. 如图,AC=AD,∠C,∠D是直角,你能说明BC与BD相等吗?

2.如图,两根长相等的绳子,一端系在旗杆上,另一端分别固定在地面的两个木桩上, 两根木桩到旗杆底部的距离相等吗?请说明理由。

3. 如图,已知AD⊥BE,垂足C是BE的中点,AB=DE.求证:AB//DE.

D B ●拓展提高

4.把下列说明Rt△ABC≌Rt△DEF的条件或根据补充完整.

(1) _______,∠A=∠D ( ASA )

(2) AC=DF,________ (SAS)

(3) AB=DE,BC=EF ( )

(4) AC=DF, ______ ( HL )

(5) ∠A=∠D, BC=EF ( )

(6) ________,AC=DF ( AAS

5.小明既无圆规,又无量角器,只有一个三角板,他是怎样画角平分线的呢?他的具体做法如下:在已知∠AOB的两边上,分别取OM=ON,再分别过点M、N作OA、

OB的垂线交点为P,画射线OP.则OP平分∠AOB。其中运用

的数学道理是 。

6.如图,幼儿园的滑梯有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,

(1)△ABC≌△DEF吗?(2)两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系?

7. 如图,已知∠B=∠E=90°,AC=DF,BF=EC.求证:AB=DE.

●体验中考

1.(浙江省湖州市)如图:已知在△ABC中,DE=DF,过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,D为BC边的中点,

垂足分别为E,F.

求证:△BED≌△CFD

F

C D ?2.(北京市).已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90,CD?AB于点D,点E 在AC上,CE=BC,过E点作 AC的垂线,交CD的延长线于点F .

求证:AB=FC AE

参考答案:

随堂检测:

1、要挖掘图中隐含的公共边

答案:

在Rt△ACB和Rt△ADB中,

∵AB=AB, AC=AD

∴ Rt△ACB≌Rt△ADB (HL)

∴BC=BD(全等三角形对应边相等).

2、两根木桩到旗杆底部的距离是否相等,也就是看OB与OC是否相等,OB、OC分别在Rt△ABO和Rt△ACO中,只需证明这两个三角形全等。

答案:在Rt△ABO和Rt△ACO

∵AB=AC,AO=AO

∴Rt△ABO≌Rt△ACO(HL),

∴OB=OC.

3、要证明AB//DE,则需要证明∠B=∠E,而∠B、∠E分别是△ABC、△DEC的角,所以问题转化为证明△ABC和△DEC全等.由AD⊥BE,可得∠ACB=∠DCE=90,由C是BE的中点,可得BC=EC,再根据AB=DE可利用“HL”证明两个三角形全等.

证明:由AD⊥BE,得△ABC和△DEC为直角三角形,

由C为BE的中点,得BC=EC,

在Rt△ABC和Rt△DEC中, AB=DE,BC=EC,

所以Rt△ABC≌Rt△DEC(HL),

所以∠B=∠E,所以AB//DE.

评析:证明两个直角三角形全等,当已知条件中有斜边对应相等时,可考虑判定方法“HL”的应用. 拓展提高:

1、要利用题中的“直角三角形有一个角是直角”的条件

答案:

(1) AC=DE

(2) CB=FE

(3) HL

(4) AB=DE

(5) AAS

(6) ∠B=∠E

2、小明在做法中创设“斜边、直角边”,构造两个直角三角形全等,得出对应角相等。

答案:“斜边、直角边”证明两个直角三角形全等,再利用全等三角形的对应角相等

3、C.解析:先利用AAS证得△AEC≌△ADB,从而得AE=AD,故EB=DC,再证Rt△EBC≌Rt△DCB(HL),Rt△EBC≌Rt△DCB(AAS)

4、根据已知条件易证(1)△ABC≌△DEF,(2)利用全等三角形的性质得证

解:(1)在Rt△ABC和Rt△DEF中,

∵ BC=EF, AC=DF

∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL)

(2)∵Rt△ABC≌Rt△DEF

∴∠ABC=∠DEF(全等三角形对应角相等)

∵ ∠DEF+∠DFE=90°

∴∠ABC+∠DFE=90°

5、根据∠B=∠E=90°,可知△ABC和△DEF均为直角三角形,已知斜边AC=DF,所以可使用“HL”证明两个三角形全等,根据全等三角形的性质得到对应边BA与DE相等.

证明:由BF=CE,得BF+FC=CE+FC,即BC=EF.

在Rt△ABC和Rt△DEF中,

AC=DF,BC=EF,

所以Rt△ABC≌Rt△DEF,

所以BA=DE.

评注:利用“HL”判定两个直角三角形全等,当知道斜边对应相等时,应先证明一组直角边对应相等,然后再利用“HL”证明三角形全等.

体验中考:

1、?DE⊥AB,DF⊥AC

??BED??CFD?90°

?D是BC的中点,

?BD?CD,

∵DE=DF

?△BED≌△CFD(HL)

2、要证AB=FC,只需证Rt△ABC≌Rt△FCE 证明:∵∠ACB=90

∴∠BCD+∠ACD=90

∵CD?AB

∴∠B+∠BCD=90

∴∠ACD=∠B

∵FE⊥AC

∴∠FEC=∠ACB=90

∵CE=BC

∴△ABC≌△FCE(ASA)

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