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2013届人教版中考数学复习解题指导:第16讲 二次函数的应用

发布时间:2014-01-26 09:50:56  

第16讲┃ 二次函数的应用

第16讲┃ 考点聚焦

考点聚焦
考点1 二次函数的应用

二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型, 这就需要认真审题,理解题意,利用二次函数解决实际 问题,应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润 、最节省方案等问题.

第16讲┃ 考点聚焦

考点2 建立平面直角坐标系,用二次函数的图象解决实际问题

建立平面直角坐标系,把代数问题与几何问题进行互 相转化,充分结合三角函数、解直角三角形、相似、全等 、圆等知识解决问题,求二次函数的解析式是解题关键.

第16讲┃ 归类示例

归类示例
? 类型之一 利用二次函数解决抛物线形问题 命题角度: 1. 利用二次函数解决导弹、铅球、喷水池、抛球、 跳水等抛物线形问题; 2. 利用二次函数解决拱桥、护栏等问题. [2012·安徽] 如图16-1,排球运动员站在点O处练

例1

习发球,将球从O点正上方2 m的A处发出,把球看成点, 其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y= a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9 m,高度为2.43 m,球场的边界距O点的水平距离为18 m.

第16讲┃ 归类示例 (1)当h=2.6时,求y与x的关系式(不要求写出自 变量x的取值范围);

(2)当h=2.6时,球能否越过球网?球会不会出界? 请说明理由;
(3)若球一定能越过球网,又不出边界,求h的取值 范围.

图16-1

第16讲┃ 归类示例

[解析] (1)根据h=2.6和函数图象经过点(0,2),可用待定 系数法确定二次函数的关系式;(2)要判断球是否过球网, 就是求x=9时对应的函数值,若函数值大于或等于网高2.43 ,则球能过网,反之则不能;要判断球是否出界,就是求抛 物线与x轴的交点坐标,若该交点坐标小于或等于18,则球 不出界,反之就会出界;要判断球是否出界,也可以求出x =18时对应的函数值,并与0相比较.(3)先根据函数图象过 点(0,2),建立h与a之间的关系,从而把二次函数化为只含 有字母系数h的形式,要求球一定能越过球网,又不出边界 时h的取值范围,结合函数的图象,就是要同时考虑当x=9 时对应的函数y的值大于2.43,且当x=18时对应的函数y的 值小于或等于0,进而确定h的取值范围.

第16讲┃ 归类示例

解:(1)∵h=2.6 ,球从O点正上方2 m的A处发出, ∴y= a(x-6)2+h过点(0,2), ∴2= a(0-6)2+2.6, 1 解得a =- , 60 1 故y与 x的关系式为:y=- (x-6) 2+2.6. 60

第16讲┃ 归类示例

第16讲┃ 归类示例

第16讲┃ 归类示例

利用二次函数解决抛物线形问题,一般是先根据 实际问题的特点建立直角坐标系,设出合适的二次 函数的解析式,把实际问题中已知条件转化为点

的 坐标,代入解析式求解,最后要把求出的结果转化 为实际问题的答案.

第16讲┃ 归类示例 ? 类型之二 二次函数在营销问题方面的应用

命题角度: 二次函数在销售问题方面的应用.

例2 [2011· 盐城] 利民商店经销甲、乙两种商品.现有 如下信息:

图16-2

第16讲┃ 归类示例

请根据以上信息,解答下列问题: (1)甲、乙两种商品的进货单价各多少元? (2)该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300 件.经调查发现,甲、乙两种商品零售单价分别每 降0.1元,这两种商品每天可各多销售100件.为了 使每天获取更大的利润,商店决定把甲、乙两种商 品的零售单价都下降m元.在不考虑其他因素的条 件下,当m定为多少时,才能使商店每天销售甲、 乙两种商品获取的利润最大?每天的最大利润是多 少?

第16讲┃ 归类示例

[解析] (1)相等关系:甲、乙两种商品的进货单价之和是5 元;按零售价买甲商品3件和乙商品2件,共付了19元. (2)利润=(售价-进价)×件数.

第16讲┃ 归类示例

第16讲┃ 归类示例

二次函数解决销售问题是我们生活中经常遇 到的问题,这类问题通常是根据实际条件建立二 次函数关系式,然后利用二次函数的最值或自变 量在实际问题中的取值解决利润最大问题.

第16讲┃ 归类示例 ? 类型之三 二次函数在几何图形中的应用

命题角度: 1. 二次函数与三角形、圆等几何知识结合往往是涉及 最大面积,最小距离等; 2. 在写函数解析式时,要注意自变量的取值范围. 例3 [2012· 无锡] 如图16-3,在边长为24 cm的正方形纸 片ABCD上,剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三 角形,再沿图中的虚线折起,折成一个长方体形状的包装 盒(A、B、C、D四个顶点正好重合于上底面上一点).已 知E、F在AB边上,是被剪去的一个等腰直角三角形斜边 的两个端点,设AE=BF=x cm.

第16讲┃ 归类示例

(1)若折成的包装盒恰好是个正方体,试求这个包装盒 的体积V; (2)某广告商要求包装盒的表面(不含下底面)积S最大 ,试问x应取何值?

图16-3

第16讲┃ 归类示例
[解析 ] (1)根据已知得出这个正方体的底面边长 a= 2 x cm, EF= 2 a= 2x(cm),再利用 AB= 24 cm,求出 x进而可得出这个包装盒的体积 V; (2)利用已知表示出包装盒的表面积,进而利用函数最值求出即可. 解: (1)根据题意,知这个正方体的底面边长 a= 2 x cm, EF= 2 a= 2x (cm), ∴ x+ 2x+ x= 24 , x= 6, a= 6 2 cm, V = a3= (6 2)3= 432 2(cm3 ). (2)设包装盒的底面边长为 y cm,高为 h cm, 则 y= 2x, h= 24- 2x 2 = 2(12- x),

∴ S= 4yh+ y2 = 4 2x· 2(12- x)+ ( 2x)2=- 6x2+ 96x= - 6(x- 8

)2+ 384. ∵ 0<x<12,∴当 x= 8时, S取得最大值 384 cm2.

第16讲┃ 归类示例

二次函数在几何图形中的应用,实际上是数形结 合思想的运用,融代数与几何为一体,把代数问题与 几何问题进行互相转化,充分运用三角函数解直角三 角形,相似、全等、圆等来解决问题,充分运用几何 知识求解析式是关键.二次函数与三角形、圆等几何 知识结合时,往往涉及最大面积,最小距离等问题, 解决的过程中需要建立函数关系,运用函数的性质求 解.

第16讲┃ 回归教材

回归教材
如何定价利润最大 教材母题 人教版九下P23探究1
某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件. 市场调查反映:如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖 出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件.已知商品的 进价为每件40元,如何定价才能使利润最大?

第16讲┃ 回归教材
解:(1)设每件涨价x元,每星期售出商品的利润y随x变化 的关系式为y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x),自变量x 的取值范围是0≤x≤30. ∴y=-10x2+100x+6000 =-10(x-5)2+6250, 因此当x=5时,y取得最大值为6250元. (2)设每件降价x元,每星期售出商品的利润y随x变化的关 系式为y=(60-x-40)(300+20x),自变量x的取值范围是 0≤x≤20, ∴y=-20x2+100x+6000 =-20(x-2.5)2+6125, 因此当x=2.5时,y取得最大值为6125元.

第16讲┃ 回归教材

(3)每件售价60元(即不涨不降)时,每星期可卖 出300件,其利润y=(60-40)×300=6000(元). 综上所述,当商品售价定为65元时,一周能获 得最大利润6250元. [点析] 本题是一道较复杂的市场营销问题,需要分情 况讨论,建立函数关系式,在每种不同情况下,必须 注意自变量的取值范围,以便在这个取值范围内,利 用函数最值解决问题.

第16讲┃ 回归教材

中考变式
[2012·嘉兴] 某汽车租赁公司拥有 20 辆汽车.据统计,当 每辆车的日租金为 400 元时,可全部租出;当每辆车的日租 金每增加 50 元,未租出的车将增加 1辆;公司平均每日的各 项支出共4800元.设公司每日租出x辆时,日收益为y元.(日 收益=日租金收入-平均每日各项支出) (1)公司每日租出x辆 (1400-50x) 元(用含x的代数式表示); 时,每辆车的日租金为__________ (2)当每日租出多少辆时,租赁公司日收益最大?最大是多 少元? (3)当每日租出多少辆时,租赁公司日收益不盈也不亏?

第16讲┃ 回归教材

解:(1) (1400-50x) (2)y=x(-50x+1400)-4800=-50x2+1400x-4800=-50(x -14)2+5000. 当x=14时,在0≤x≤20范围内,y有最大值5000. ∴当每日租出14辆时,租赁公司日收益最大,最大值为5000 元. (3)要使租赁公司日收益不盈也不

亏,即y=0. 即-50(x-14)2+5000=0,解得x1=24,x2=4. ∵x=24不合题意,舍去. ∴当每日租出4辆时,租赁公司日收益不盈也不亏


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