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2013-2014学年第一学期期末西城区初二数学卷答案(含附加题)

发布时间:2014-01-26 10:58:54  

北京市西城区2013—2014学年度第一学期期末试卷

八年级数学参考答案及评分标准 2014.1

一、选择题(本题共24分,每小题3分)

题号答案B

12

9.3. 10.x≥. 11.③. 12.70. 13.2. 2x?1. 14.?3x2+4x. 15.120,75,30(各1分)

二、填空题(本题共24分,每小题3分)

16.(1)答案见图1(2分);(2)(5,0).(1分) 17.解:(1)(a+3b)(a?b)+a(a?2b)

三、解答题(本题共35分,第17、19题各10分,其余每题5分)

图1

=(a2+2ab?3b2)+(a2?2ab) ………………………………………………2分 =2a2?3b2. …………………………………………………………………4分

当a=2,b=1时,原式=2×22?3×12=5.………………………………5分 (2) ? =?4×

2

=+? ………………………………………………………3分 = ………………………………………………………………5分

18.证明:如图2.

∵ ∠DAC=∠EAB,

∴ ∠DAC+∠CAB=∠EAB+∠CAB,

即 ∠DAB=∠EAC. …………………………… 1分 在△DAB和△EAC中,

D

E

A

? ∠DAB=∠EAC,

?

…………………………… 3分 ? AB=AC,

?

?∠B=∠C,

∴ △DAB≌△EAC.(ASA)………………… 4分 ∴ BD= CE.……………………………………… 5分

C

B

图2

八年级数学参考答案及评分标准 第 1 页(共 4 页)

…… 3 分 (3)在 MN 上截取 DA = h .…………………………… 4 分 (4)连接 AB,AC. …………………………………… 5 分 则△ABC 是所求作的等腰三角形. 四、解答题(本题 6 分) 22.解: (1)画图见图 4,图中 ∠ABC 的三等分线是射线 BQ , BP .………………………………………1 分
M D B T

h a C

B

D

N
S

图3
A R N Q P E C

(2)∵ PQ=QR,BQ⊥PR,…………………………… 2 分 ∴ BP=BR.

(线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等) ∴ ∠ ABQ =∠ PBQ . …………………… 3 分 ∵ PQ⊥MN,PT⊥BC,PT=PQ,

图4

八年级数学参考答案及评分标准

第 2 页 (共 4 页)

∴ ∠ PBQ =∠ PBC . (角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上) …………………………………… 4 分 ∴ ∠ ABQ =∠ PBQ =∠ PBC .………5 分

V S R N D B M T Q P E C A

1 (3)答: ∠ABS = ∠ABC 不成立.在 ∠ABC 的外部所 3 1 画 ∠ABV = ∠ABC 见图 5. …………… 6 分 3
五、解答题(本题共 11 分,第 23 题 5 分,第 24 题 6 分) 23.解: (1)作 CD⊥x 轴于点 D,那么 ∠CDA = 90° . (如图 6) ∵ 在平面直角坐标系 xOy 中, A(?2,0) , B(0, 4) , ∴ ∠AOB = 90° , AO = 2 , OB = 4 . ∴ ∠AOB = ∠CDA , ∠1 + ∠3 = 90° . ∵ AC⊥AB, ∴ ∠2 + ∠3 = 90° . ∴ ∠1 = ∠2 . 在△AOB 和△CDA 中,

图5

y
B 1

1 3 2 O M D x 1

A

C

? ∠1 = ∠2, ? ? ∠AOB = ∠CDA, ? AB = CA, ?

图6

∴ △AOB≌△CDA.(AAS)…………………………………………… 1 分 ∴ AO=CD= 2,OB=DA=4.……………………………………………… 2 分 ∴ OD = DA ? AO = 2 ,OD=CD. ∵ 点 C 在第四象限, ∴ 点 C 的坐标为 C (2, ?2) .……………………………………………… 3 分 由 CD⊥OD 可得 ∠COD = 45° . ∴ ∠COA = 180° ? 45° = 135° .……………………………………………4 分 (2) S ΔPOM + S ΔBOM 的值为
E

4

. ………………………………………… 5 分
E
4 F 2

A

A
1 3

B

C

D

B

C

D

图7

图8

八年级数学参考答案及评分标准

第 3 页 (共 4 页)

24.解:(1)按要求作图见图 7.……………………………………………………… 1 分 猜想:AD=BE. ………………………………………………………… 2 分 (2)证法一:在线段 AE 上截取 AF =AC,连接 BF. (见图 8) 又∵ ∠BAC= 90° ,即 BA⊥CF, ∴ FB=BC. ∴ ∠1=∠2. ∵ A,F,E 三点共线,B,C,D 三点共线, ∴ ∠1 + ∠3 = 180° , ∠2 + ∠ 4 = 180° . ∴ ∠3=∠4.…………………………………………………… 3 分 ∵ AE=2CA,AF =AC, ∴ EF = AE ? AF = 2CA ? AC = AC ,即 AC = EF .…… ∵ CD=BC,FB=BC, ∴ CD= FB. 在△ACD 和△EFB 中, 4



? AC = EF , ? ? ∠3 = ∠4, ? CD = FB, ?
∴ △ACD≌△EFB.(SAS) ……………………………… 5 分

∴ AD =EB. ………………………………………………… 6 分 证法二:延长 AC 到点 F,使 CF=CA,连接 BF,那么 AF=2CA. (见图 9) 在△BCF 和△DCA 中,

? CF = CA, ? ? ∠BCF = ∠DCA, ? BC = DC , ?
∴ △BCF≌△DCA.(SAS)… 3 分 ∴ FB= AD. ……………………4 分 ∵ AE=2CA,AF=2CA, ∴ AE= AF. 又∵ ∠BAC= 90° ,即 AB⊥EF, ∴ BE= FB.…………………… 5 分 ∴ AD= BE.…………………… 6 分
B C F D A E

图9

八年级数学参考答案及评分标准

第 4 页 (共 4 页)

— 2014 学年度第一学期期末试卷 北京市西城区 2013

八年级数学附加题参考答案及评分标准
一、阅读与思考(本题 6 分) 解: (1) 9 (2) ? 1 ? + ? 2 ? + ? 3 ? + ? 4 ? + L + ? 49 ?

2014.1

; ……………………………………………………………………… 3 分

= 1× 3 + 2 × 5 + 3 × 7 + 4 × 9 + 5 ×11 + 6 ×13 + 7 ……………………………… 5 分 = 210 .………………………………………………………………………… 6 分
二、操作与探究(本题 6 分) 解: (1)画出(补全)纸片展平后的四边形 CHGD 及相应 MN,PQ 的对应位置见图 1;……………… 2 分 (2)答:∠POG= 30° .…………………………… 3 分 证明:记 MN,EF 的交点为 K,连接 MN′,ON′. 设正方形的边长为 a. 由折叠过程可知 ON ′ = ON = OM = EF 垂直平分线段 MO. 1 ∴ MN ′ = ON ′ = a . 2 ∴ MN ′ = ON ′ = OM . ∴ △ OMN ′ 为等边三角形. ∴ ∠MON ′ = 60° . 1 1 ∴ ∠NOG = ∠NON ′ = (180° ? ∠MON ′) = 60° . 2 2 ∴ ∠POG= 30° .……………………………………………………… 6 分 三、解答题(本题 8 分) 解: (1)连接 FE,FC,如图 2. ∵ AD 平分∠MAN, ∴ ∠1=∠2. ………………………………… 1 分 在△ABF 和△ACF 中,

?

? ?

? ?

? ?

?

?

?

1 1 MN = a , 2 2
图1

? AB = AC , ? ?∠1 = ∠2, ? AF = AF , ?

图2

∴ △ABF≌△ACF.(SAS)…………………………………………………… 2 分

八年级数学附加卷参考答案及评分标准

第 1 页( 共 3 页)

∴ FB=FC,∠ABF=∠3. ∵ 线段 EC 的垂直平分线交直线 AD 于点 F, ∴ FE=FC. ∴ ∠3=∠4. ∴ FB=FE,∠ABF=∠4. ∴ ∠5=∠EBF. ∵ ∠AEF+∠4=180°, ∴ ∠AEF+∠ABF=180°. ∵ 四边形 AEFB 的内角和等于 360°, ∴ ∠BAE + ∠BFE = 360° ? (∠AEF + ∠ABF ) = 180° . ∵ △BEF 中,∠5+∠EBF +∠BFE =180°, ∴ ∠5+∠EBF =∠BAE ,即 ∠5+∠EBF =∠1+∠2. ∴ 2∠EBF =2∠2. ∴ ∠EBF =∠2,即∠EBF=∠CAG. ……………………………………………5 分 (2)在线段 CA

24.解:(1)按要求作图见图7.……………………………………………………… 1分

猜想:AD=BE. ………………………………………………………… 2分(2)证法一:在线段AE上截取AF =AC,连接BF.(见图8)

又∵∠BAC=90°,即BA⊥CF,∴FB=BC .∴ 1=∠ ∠2.

∵A,F,E三点共线,B,C,D三点共线, ∴∠1 +∠3=180°,∠2+∠4=180°.∵AE= 2CA,AF =AC,

∴EF =AE?AF=2CA? AC=AC,即AC=EF.…… 4分∵CD=BC,FB=BC, .∴CD= FB在△ACD和△EFB中,

∴∠3=分∠4.…………………………………………………… 3

?AC=EF,

? ?∠3=∠4,?

?CD=FB,

∴△ACD≌△EFB.(SAS) ……………………………… 5分∴AD =EB. ………………………………………………… 6分

在△BCF和△DCA中,

证法二:延长AC(见图9) 到点F,使CF=CA,连接BF,那么AF=2CA.

? CF=CA,?

∠BCF=∠DCA, ? ?

?BC=DC,

∴△BCF≌△DCA.(SAS)… 3分. ……………………4分∴FB= AD∵AE= 2CA,AF=2CA,∴AE= AF.

B

D

E

A

又∵∠ BAC=90°,即AB⊥EF,∴BE= FB.…………………… 5分 ∴AD= BE.…………………… 6分

图9

八年级数学参考答案及评分标准 第 4 页(共 4 页)

—2014学年度第一学期期末试卷 北京市西城区2013

八年级数学附加题参考答案及评分标准

一、阅读与思考(本题6分)

(2)++++L+ 2014.1

3分

解:(1); ………………………………………………………………………

=1×3+2×5+3×7+4×9+5×11+6×13+7……………………………… 5分

=210.………………………………………………………………………… 6分

二、操作与探究(本题6分)

解:(1)画出(补全)纸片展平后的四边形CHGD及相应

MN,PQ的对应位置见图1;……………… 2分

(2)答:∠POG=30°.…………………………… 3分

证明:记MN,EF的交点为K,连接MN′,ON′. 设正方形的边长为a.

由折叠过程可知ON′=ON=OM= EF垂直平分线段MO.

1

∴ MN′=ON′=a.

2 ∴ MN′=ON′=OM. ∴ △OMN′为等边三角形.

∴ ∠MON′=60°.

11

∴ ∠NOG=∠NON′=(180°?∠MON′)=60°.

22

1 1

MN=a,

2 2

图1

∴ ∠POG=30°.……………………………………………………… 6分

三、解答题(本题8分) 解:(1)连接FE,FC,如图2. ∵AD平分∠MAN,

∴ ∠1=∠2. ………………………………… 1分

在△ABF和△ACF中,

?AB=AC, ?

?∠1=∠2,

?AF=AF,?

∴ △ABF≌△ACF.(SAS)…………………………………………………… 2分

八年级数学附加卷参考答案及评分标准 第 1 页(共 3 页)

∴ FB=FC,∠ABF=∠3.

∵ 线段EC的垂直平分线交直线AD于点F,

∴ FE=FC.

∴ ∠3=∠4.

∴ FB=FE,∠ABF=∠4.

∴ 5=∠∠EBF.

∵ ∠AEF+∠4=180°,

∴ ∠AEF+∠ABF=180°.

∵ 四边形AEFB的内角和等于360°,

∴ ∠BAE+∠BFE=360°?(∠AEF+∠ABF)=180°.

∵ △BEF中,∠5+∠EBF +∠BFE =180°,

∴ ∠5+∠EBF =∠BAE ,即 5+∠∠EBF =∠1+∠2.

∴ 2∠EBF =2∠2.

∴ ∠EBF =∠2,即∠EBF=∠CAG. ……………………………………………5分

(2)在线段CA的延长线上截取AC′=AC.

①当点E在线段AC′上(点E不与点A,点C′重合)时(即点A在线段EC的垂

直平分线左侧时), 如图3,

∠EBF+∠ 证明:与(1)同理可证△ABF≌△ACF.( ∴ FB=FC,∠ABF=∠3.

∴ FB=FE, ∴ ∠5=∠EBF.

∵ ∠BAC是△ABE的外角,

∴ ∠BAC=∠AEB+∠6,

∴ ∠1+∠2=2∠2=∠5+∠4+∠6

=∠5+∠ABF+∠6=∠5+∠EBF=2∠EBF.

∴ ∠2=∠EBF.

∵ ∠2+∠CAG=180°,

∴ ∠EBF+∠CAG=180°. .……………………………………7分

, ②当点E在线段AC′的延长线上时(即点A在线段EC的垂直平分线右侧时)

如图4,∠EBF=∠CAG.

八年级数学附加卷参考答案及评分标准 第 2 页( 共 3 页)

证明:由 1=∠∠2可得∠BAF=∠CAF.

与(1)同理可证△ABF≌△ACF. (SAS)

∴ FB=FC,∠ABF=∠ 3.

∴ FB=FE,∠ABF=∠4.

∴ ∠5=∠FEB.

∵ ∠BAC是△ABE的外角,

∴ ∠BAC=∠ABE+∠6.

∴ ∠1+∠2=2∠2= +∠6 ∠5+∠ABF

=∠5+∠4 +∠6=∠5+∠BEF=2∠5.

∴ ∠5=∠2.

即 ∠EBF=∠CAG. …………………………………………………8分 ③当点E与点A或点C ′重合时,∠CAG不存在.

C′ 综上所述,当点E在线段AC′上(点 E不与点A,点重合)时,

∠EBF+∠CAG=180°;当点E在线段AC′的延长线上时,∠EBF=∠CAG;当点E与点A或点C′重合时,∠CAG不存在.

八年级数学附加卷参考答案及评分标准 第 3 页(共 3 页)

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