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二次函数中三角形面积的计算

发布时间:2014-01-26 10:59:05  

探索者研发学习中心

二次函数中的面积计算练习

1.

(2012海淀一模)已知抛物线y?x2?bx?c的顶点为P,与y轴交于点A,与直线OP交于点B.

(1)如图1,若点P的横坐标为1,点B的坐标为(3,6),试确定抛物线的解析式;

(2)在(1)的条件下,若点M是直线AB下方抛物线上的一点,且S?ABM?3, 求点M的坐标;

图1 图2 25.解:(1)依题意, ?

b

?1, 解得b=-2. 2?1

将b=-2及点B(3, 6)的坐标代入抛物线解析式y?x2?bx?c得 6?32?2?3?c. 解得c=3.

所以抛物线的解析式为y?x2?2x?3.………………………………………1分

(2)∵抛物线y?x2?2x?3与y轴交于点A,

∴ A(0, 3). ∵B(3, 6),

可得直线AB的解析式为y?x?3.

设直线AB下方抛物线上的点M坐标为(x,x2?2x?3),过M点作y轴的平行线交直线AB于点N, 则N(x, x+3). (如图1)

∴ S?ABM?S?AMN?S?BMN?

1

MN?xB?xA?3. ……………………2分 2

∴?x?3?x2?2x?3??3?3.

??

解得 x1?1,x2?2. ∴点M的坐标为(1,2) 或 (2,3). ……………………4分

12

??

Cxiaojun

- 1 -

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2. 如图,直线y=-x-1与抛物线y=ax+bx-4都经过点A(-1,0)、C(3,-4).

(1)求抛物线的解析式;

(2)动点P在线段AC上,过点P作x轴的垂线与抛物线相交于点E,求线段PE长度的最大值;

(3)当线段PE的长度取得最大值时,在抛物线上是否存在点Q,使△PCQ是以PC为直角边的直角三角形?若存在,请求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.

3. 已知平面直角坐标系中,抛物线y?ax2?(a?1)x与直线y?kx的一个公共点为A(4,8). (1)求此抛物线和直线的解析式;(2)若点P在线段OA上,过点P作y轴的平行线交(1)中抛物线于点Q,求线段PQ长度的最大值;

Cxiaojun

- 2 -

探索者研发学习中心 4.

如图,已知直线y=

12

x与抛物线y=ax+b(a≠0)交于A(-4,-2)、B(6,3)两点.抛物线与y轴2

的交点为C.

(1)求这个抛物线的解析式.

(2)在抛物线上存在点M,使△MAB是以AB为底边的等腰三角形,求点M的坐标. (3)在抛物线上是否存在点P,使得△PAC的面积是△ABC面积的

3

,若存在,试求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.

- 3 -

4

备用图

Cxiaojun

探索者研发学习中心 5.

(2012朝阳初三上期末)已知抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于A、B两点(点A在原点的左侧,点B在原点

的右侧),与y轴交于点C,且OB=

11

OC,tan∠ACO=,顶点为D. 26

(1)求点A的坐标.

(2)求直线CD与x轴的交点E的坐标.

(3)在此抛物线上是否存在一点F,使得以点A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形?若存在,

请求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.

(4)若点M(2,y)是此抛物线上一点,点N是直线AM上方的抛物线上一动点,当点N运动到

什么位置时,四边形ABMN的面积S最大? 请求出此时S的最大值和点N的坐标. (5)点P为此抛物线对称轴上一动点,若以点P为圆心的圆与(4)中的直线AM及x轴同时相切,

则此时点P的坐标为.

备用图①备用图②

(1)根据题意,得C(0,6).

在Rt△AOC中,tan?ACO?

1

,OC=6, 6

∴OA=1. ∴A(-1,0).……………………………………………………………1分 (2)∵OB?

1

OC,∴OB=3. ∴B(3,0). 2

?a?b?6?0,?a??2,

由题意,得?解得?

9a?3b?6?0.b?4.??

∴y??2x?4x?6.

∴D(1,8).……………………………………………………………………2分 可求得直线CD的解析式为y?2x?6.

∴E(-3,0).……………………………………………………………………3分 (3)假设存在以点A、C、F、E为顶点的平行四边形,

则F1(2,6),F2(-2,6),F3(-4,-6).

2

Cxiaojun

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经验证,只有点(2,6)在抛物线y??2x2?4x?6上,

∴F(2,6).………………………………………………………………………4分

(4)如图,作NQ∥y轴交AM于点Q,设N(m, ?2m2?4m?6).

当x=2时,y=6,∴M(2,6).

可求得直线AM的解析式为y?2x?2.

∴Q(m,2m+2).

∴NQ=?2m2?4m?6?(2m?2)??2m2?2m?4.

∵S?S1

?ABM?S?AMN,其中S?ABM?2?4?6?12,

∴当S?AMN最大时,S值最大.

∵S?AMN?S?ANQ?S?MNQ

?1

2?3?(?2m2?2m?4),

??3m2?3m?6,

??3(m?127

2)2?4. ∴当m?127

2时,S?AMN的最大值为4.

∴S的最大值为75

4. 当m?1

2时,?2m2?4m?6?15

2.

∴N(115

2,2).

(5)P1(1,?1),P2(1,??1).

说明:写成P4

1(1,?1),P4

2(1,??1)不扣分.

- 5 -

Cxiaojun

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