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九年级数学一元二次方程根与系数关系

发布时间:2013-09-23 15:56:56  

22.2.4

一元二次方程的

根与系数的关系

基本知识
题1 口答
2 2

1.下列方程的两根和与两根积各是多少?

⑴.X -3X+1=0
⑶.2X +3X=0
1.x1 ? x 2 ? 3 2 2.x1 ? x 2 ? 3 3 3.x1 ? x 2 ? ? 2
2

⑵.3X -2X=2
⑷.3X =1 x1 x 2 ? 1
2 x1 x 2 ? ? 3
2

x1 x 2 ? 0

4.x1 ? x2 ? 0

1 x1 x 2 ? ? 3

在使用根与系数的关系时,应注意: ⑴不是一般式的要先化成一般式;
b ⑵在使用X1+X2=- 时, a

注意“- ”不要漏写。

题2 已知两圆的半径是一元二次方程

2 x ? 14 x ? m ? 0
2

的两个根,两圆的圆心距等于7, 则这两圆的位置关系是( C ) A、外离 B、相交 C、外切 D、内切

练习1 已知关于x的方程 x ? (m ? 1) x ? 2m ? 1 ? 0 当m= -1 时,此方程的两根互为相反数.
2

当m= 分析:1. 2.

1

时,此方程的两根互为倒数.

x1 x2 ? 2m ? 1 ? 1

x1 ? x2 ? m ? 1 ? 0

应用:一求值

题3 则:

x1 ? x2 ?
2 1 2 2
2

4

x1 ? x 2 ?
2

1

x ? x ? ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x 2 = 14
( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x 2 = 12
2

另外几种常见的求值

x1 ? x 2 1 1 1. ? ? x1 x 2 x1 x 2
2 2 2 x1 x 2 x1 ? x 2 ( x1 ? x 2 ) ? 2 x1 x 2 ? ? 2. ? x1 x 2 x1 x 2 x 2 x1

3.( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1

4. x1 ? x 2 ?

( x1 ? x 2 )

2

? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2

求与方程的根有关的代数式的值时, 一般先将所求的代数式化成含两根之和,
两根之积的形式,再整体代入.

练习2 (1)设 为 A. 1

x ? x ? 1 ? 0 的两个实数根 1 1 x1 , x 2 则: x ? x 的值为( A )
2
1 2

B. -1

C.

5 D.

5 5



已知两根求作新的方程
以 x 1 , x 2 为两根的一元二次方程

(二次项系数为1)为:

x ? ( x1 ? x2 ) x ? x1 x2 ? 0
2

题4. 点p(m,n)既在反比例函数
图象上, 又在一次函数

2 y ? ? ( x ? 0) 的 x

y ? ? x ? 2 的图象上,

则以m,n为根的一元二次方程为(二次项系数为1): 2 解:由已知得, n ? ? n=-2 即 m· m m+n=-2 n ? ?m ? 2

{

{

∴所求一元二次方程为:

x ? 2x ? 2 ? 0
2

题5

以方程X +3X-5=0的两个根的相反数为根的方程 是( B ) A、y +3y-5=0 C、y2+3y+5=0
2

2

B、 D、

y -3y-5=0 y2-3y+5=0

2

分析:设原方程两根为

新方程的两根之和为 (? x1 ) ? (? x 2 )

?3 新方程的两根之积为(? x1 ) ? (? x2 ) ? ?5

x1 , x 2 则: x1 ? x2 ? ?3, x1 x2 ? ?5

求作新的一元二次方程时: 1.先求原方程的两根和与两根积. 2.利用新方程的两根与原方程的两根之 间的关系,求新方程的两根和与两根积. (或由已知求新方程的两根和与两根积) 3.利用新方程的两根和与两根积, 求作新的一元二次方程.

练习: 1.以2和 -3为根的一元二次方程 (二次项系数为1)为:x
2

? x?6 ? 0



已知两个数的

和与积,求两数

题6 已知两个数的和是1,积是-2,则两 2和-1 。 个数是 解法(一):设两数分别为x,y则: 解得: { x=2 或 y=-1 x=-1 { y=2

{

x ? y ?1

x ? y ? ?2

解法(二):设两数分别为一个一元二次方程 2 的两根则: a ? a ? 2 ? 0 求得 a1 ? 2, a 2 ? ?1 ∴两数为2,-1



求方程中的待定系数
2

题7 如果-1是方程 2 x

?x?m?0

-3 的一个根,则另一个根是___m=____。
(还有其他解法吗?)

题8 已知方程 x 2 ? kx ? k ? 2 ? 0 的两个实数根 2 是 x1, x 2 且 x12 ? x 2 ? 4 求k的值。 解:由根与系数的关系得

X1+X2=-k, X1×X2=k+2
又 K 2X12+ X2 2 = 4

解得:k=4 或k=-2 ∵ △= K2-4k-8 当k=4时, △<0

即(X1+ X2

)2 -2X

1X2=4

2(k+2)=4

当k=-2时,△>0
∴ k=-2

K2-2k-8=0



综合

题9 在△ABC中a,b,c分别为∠A, ∠B,∠C 的对边,且c= 5 3 ,若关于x的方程

(5 3 ? b) x ? 2ax ? (5 3 ? b) ? 0
2

有两个相等的实数根,又方程

2 x ? (10 sin A) x ? 5 sin A ? 0
2

的两实数根的平方和为6,求△ABC的面积.

小结:

1、熟练掌握根与系数的关系;
2、灵活运用根与系数关系解决问题;

3、探索解题思路,归纳解题思想方法。

作业:试卷《课后练习》

题9 方程

mx 2 ? 2mx ? m ? 1 ? 0(m ? 0)

有一个正根,一个负根,求m的取值范围。 解:由已知,

{

△= 4m 2 ? 4m(m ? 1) ? 0

m ?1 x1 x2 ? ?0 m



{

m>0 m-1<0

∴0<m<1

一正根,一负根

两个正根

两个负根

{

△>0 X1X2<0

{

△≥0

X1X2>0
X1+X2>0

{

△≥0

X1X2>0
X1+X2<0


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