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第29讲 生活中的数学(上)-初二奥数教材

发布时间:2014-01-26 15:00:09  

第二十九讲 生活中的数学(三)

——镜子中的世界

在日常生活中,人们为了观察自己的服装仪表是否整洁漂亮,常常要照镜子.如果镜面是很平的,那么在镜子中,人或物体与其像是完全一样的.而且我们都有这样的经验:当人走近镜面,人在镜中的像也走进镜面;当人远离镜面,人在镜中的像也远离镜面.如果你留心的话,就可以发现:人和像与镜面的距离保持相等(图2-155),这种现象叫作面对称.如果我们只取一个侧面,那么镜面就可用一条直线来表示,人和人在镜中的像可用一个平面图形来表示,这样,人、像与镜就成了轴对称,也叫直线对称(图2-155).

如果实物是△,A′B′C′.直线l表示镜,这时称lA(图2-156).图中,A与A′,B与BAA′,BB′,CCl为折痕,把△ABCC

1 ABCDEF是半个蝴蝶形(图2-157(a)),试以直线l为对称

解 为了画出整个蝴蝶,只需要画出图形ABCDEF关于直线l的轴对称图形就可以了.因为A点、F点在直线l上,所以它们的对称点分别和A,F是同一点,这样,只要画出B,C,D,E关于l的对称点就行了.为此,先分别过B,C,D,E向l作垂线,设垂足分别为M,N,P,Q,然后在BM,CN,DP,EQ的延长线上取B′,C′,D′和E′点,使得B′M=MB,C′N=NC,D′P=PD,E′Q=QE,最后连结AB′,B′C′,C′D′,D′E′,E′F,于是就得到完整的蝴蝶形ABCDEFE′D′C′B′了(图 2-157(b)). 例2 设直线l1和直线l2平行,且l1和l2间的距离为a.如果线段AB

在l1的右侧,并设AB关于l1的对称图形是A′B′,而A′B′关于l2的对称图形是A″B″(图2-158),那么,线段AB和A″B

解 因为l1平行于l2l1l2,同理BB′B″也垂直于l1和l2两条直线互相平行”,所以

AA″∥

A′P′=PA

′′=2a,

同理BB′B″A″=BB′B″. ②

过例连续作了两次轴对称移动,那么相当于这个图形作了一2倍.

如果我们反复利用例2的原理,就可以做成带形的花边图案.例如,我们把一张等宽的长纸条像图2-159那样折叠起来,并在上面用小刀刻出一个三角形的洞,然后再展开这张纸条,就会得到如图2-160那样的带形图案.

如果我们把图2-160中的m2,m1,m0,m-1,m-2,m-3看成镜子,A0看作实物,那么A1,A2和A-1,A-2就是A0在镜子中的像了.其实,图中的A1是A0以m0为对称轴作对称移动的对称图形,也可以把A1看作是A-1作一次平行移到所得到的图形.由此,怎样看待A1和A2的关系以及A2和A0的关系呢?请同学们自己作出回答.

有了上面的知识,还可2-162是

-m2,m1,m0,m-1,m-2等看作平行的镜子,A0m0和m-1之间反复映照,那么就会看

可以想象,在镜子m0中的像A1,A2,A3,?,以及在镜子m1中的像A-1,A-2,A-3,?是无限多的.还可以知道:A0在镜m0中的像是A1,A1在镜m-1中的像是A-2,A-2在镜m0中的像是A3,?如此等等.因为A0和A1,A1和A2是轴对称移动,所以A0到A2是平行移动.

例3 设直线l1和直线l2相交,交点为O,其夹角为α.如果线段AB

关于l1的轴对称图形是A′B′,而A′B′关于l2的轴对称图形是A″

B″.试问AB和A″B″间有什么关系?(见图2-164)

解 因为已知AB关于l1的对称图形是A′B′,A′B′关于l2的对称图形是A″B″,所以AB=A′B′,A′B′=A″B″,所以

AB=A″B″,①

由于∠AOP=∠A′OP,∠A′OPA″∠AOA″=2.

同理∠BOB″=2∠POP′=2 ∠AOA″=∠BOB″=2α. ② 线为对称轴,2倍为旋转角,作了一个旋转移

2-165为万花筒中的一一个平行四边形和一段短线在万花筒中连续反

为了清楚地说明上图形成的原理,我们取出图形中的一部分(图2-166)加以分析.

正△ABO以OB;△CBO以OC上相当于△ABO以O样:

,边AO→边CO,

AB→边CD,

,边BO→边DO.

ABO中的平行四边形、小圆和曲线也跟着旋转2-165的绮丽景色.如果同学们有兴

练习二十九

11和l2是两面平行相对的镜子,如果把一个小球放在l1和l2之间(图2-,试问:

(1)小球A在镜l1中的像A′在什么位置?

(2)小球A在镜l1中的像A′在镜l2中的像A″又在什么位置?分别

画在图上;

(3)小球A和像A″之间的距离与l1和l2之间的距离有什么关系?

2.图2-168是万花筒中的一个图案,其中菱形FJKG变成菱形FDAC,如果看成经过以F点为旋转中心、旋转角为x的旋转移动得到的,那么x等于多少度?请从下面的四个答案中选出一个正确的答案来.

(A)60°;

(B)120°;

(C)180°;

(D) 3.图2-

P,Q为两个球,若击P球,使Q球.试问P应碰撞CD边的哪一点?

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