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第20讲 类比与联想-初二奥数教材

发布时间:2014-01-26 15:00:09  

第二十讲 类比与联想

类比就是根据两种事物一部分类似的性质,推测这两种事物其他类似性质的推理方法.例如,由分数的性质类似地推测分式的性质;由直线与圆的位置关系推测圆与圆的位置关系;由一次函数、一次方程、一次不等式的某些性质和解法,推测二次函数、二次方程、二次不等式的某些类似的性质与解法等.

联想是由某种事物而想到其他相关事物的思维活动.当我们遇到一个数学问题时,常常想起与它类似的问题、类似的解法,从而有利于新问题的解决.

1.类比与发现

例1 已知:△ABC中,∠C= 90°,E点在AB边上,且ED⊥BD.求△2-

解 引CFBAACCF是底边AB上的中线.因为H为△ABC

°,所以

∠ADE=∠CBH.

∠BCH=45°,可知△ADE∽△CBH.所以

类比 如果保留例1中等腰三角形诸条件,去掉直角这一特殊性,那么是否会产生类似的命题呢?由此想到例2.

例2 如图2-114.已知△ABC中,∠C=4∠B=4∠A,BD是AC边上的中线,E点在AB上,且∠AED=∠C,S△ABC=1,求S△AED.

解 类似例1的解法,引CF⊥AB于F,交BD于H,显然△ADE不相似于△CBH.但由已知条件

∠C=4∠B=4∠A,

∠A=∠B=30°,∠ 由于CF平分∠C,所以

又因为∠AED=∠ACB,∠A=∠AADE 所以

°,∠A=30°,所以若设CF=x,则

类比 如果保留例1中的直角等条件,去掉等腰三角形这一特殊性,可以类似地得到例3.

例3 已知△ABC中∠C= 90°,AC=2BC=2,BD是AC边上的中线,CF⊥AB于F,交BD于H(图2-115).求S△CBH.

解 本题直接求S△CBH有些困难,联想例1、例2助线DE⊥BD交AB于E.

由于AC=2BC=2,D是AC的中点,且∠C=∠

∠CBH=∠

因为CF⊥AB于FA

所以 S△CBH=S△ADE △

(2)例3由例1类比而来,最自然的想法是求S△ADE,为增加难度与变

换方式获得新命题,故例3反求S△CBH.

我们知道一个三角形的三边如果是a,b,c,那么就有

│b-c│<a<b+c,①

即三角形任意一边小于其余两边之和,大于其余两边之差. 我们对①类比:是否有

存在呢?如果②存在,那么就发现了如下命题(例

2.联想与解题

例5 a,b为两个不相等且都不为零的数,同时有

a2+pa+q=0,b2+pb+q=0,

分析与解 由已知条件,联想到方程根的定义,a,b是方程x2+px+q=0的两个根,由a,b不为零,有

例6 如果(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0 分析与解 (1)展开原式有

z2-2xz+x2-2

+4y2=0,

即 (x+z-

(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,

b2-4ac的形式,因此,可联想到方程

y)t2+(z-x)t+(y-z)=0(x-y≠0)有二相等实根.由

(x-y)+(z-x)+(y-z)=0

可知1是以上方程的根,再由根与系数关系知

所以 x+z=2y.

当x=y=0,即x=y时,有x=y=z,所以

x+z=2y.

例7 化简

分析与解 这是一个根式的化简问题,分子、分母大同小异,自然联想到应用因式分解,使分子、分母具有公因式,化简就很容易了.

例8 图2-(如正方形ABCD),然后在如△AHB,△BEC,△CDF,△DAG).设a,b,c

即 c2=2ab+b2-2ab+a2,

即 c2=a2+b2.

这是中国古代数学家独立于西方毕达哥拉斯和欧几里得发明的证

法.后人沿用“出入相补原理”,也就是割补原理解决了许多数学问题,也创造了“勾股定理”的许多新证法.事实上每位初中同学,学了勾股定理,只要用心思考,一定会用割补法想出更新的证明勾股定理的方法.下面的几例,便是同学们提出的割补图.

设a,b,c分别为直角三角形的勾、股、弦.

(1)在图 2-117中,有

a2+b235+S2)

=22S2132

(2)在图 2-3+(S1+S2)

1+S3+S4+S'2+S5=c2

(3)在图2-119中,有

a2+b2=(S2+S5)+(S1+S3+S4)

=S1+S2+S3+S4+S5=c2.

(4)在图2-120中,有

a2+b2=(S'2+S5)+(S1+S3+S4)

=(S'2+S4)+(S1+S3+S5)

=S1+S2+S3+S5=c2.练习二十

1.在直角△ABC中,∠C=90 (1)(如图2-121),那么面积S1,S2,S3 (2)那么面积S1,S2,S3-122)

(提示:联想同分数,分母大的反而小,变比较分数的大小为比较倒数的大小.)

(提示:如联想到已知公比之比值k,则可化难为易.)

4.参照图2-120,写出勾股定理的逻辑证明.

5.已知:△ABC中,∠C=2∠A=2∠B,BD是∠B的分角线,E点在AB上,且∠ADE=∠DBC,S△ABC=1,求S△ADE.

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