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第26讲 含参数的一元二次方程的整数根问题-初二奥数教材

发布时间:2014-01-26 15:00:12  

第二十六讲 含参数的一元二次方程的整数根问题

对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实根情况,可以用判别式Δ=b2-4ac来判别,但是对于一个含参数的一元二次方程来说,要判断它是否有整数根或有理根,那么就没有统一的方法了,只能具体问题具体分析求解,当然,经常要用到一些整除性的性质.本讲结合例题来讲解一些主要的方法.

例1 m是什么整数时,方程

(m2-1)x2-6(3m-1)x+72=0

有两个不相等的正整数根.

解法1 首先,m2-1≠0,m≠±1.Δ=36(m2>0.用求根公式可得

由于x1,x2m-1=1,2,3,6,4,

解得m=2=6,x.

解法2 2-1x1,x2,

,3,4,68,9,12,18,24,36,72,即

m23,57,9,10,13,19,25,37,73,

,9,25才有可能,即m=±2,±3,±5.

m=2时方程才有两个不同的正整数根.

一般来说,可以先把方程的根求出来(如果比较容易求的话),然后利用整数的性质以及整除性理论,就比较容易求解问题,解法1就是这样做的.有时候也可以利用韦达定理,得到两个整数,再利用整除性质求解,解法2就是如此,这些都是最自然的做法.

例2 已知关于x的方程

a2x2-(3a2-8a)x+2a2-13a+15=0

(其中a是非负整数)至少有一个整数根,求a的值.

分析 “至少有一个整数根”应分两种情况:一是两个都是整数根,另一种是一个是整数根,一个不是整数根.我们也可以像上题一样,把它的两个根解出来.

解 因为a≠0,所以

所以

所以只要a是3或5,5.

例3 设m

2-(m- m 解 全平方数.令-1)2-4m=n2,

m2-6m+1=n2,

-3)2-n2=8,

(m-3+n)(m-3-n)=8.

由于m-3+n≥m-3-n,并且

(m-3+n)+(m-3-n)=2(m-3)

是偶数,所以m-3+n与m-3-n同奇偶,所以

说明 一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根,那么它的判别式一定是完全平方数,然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决.

例4 关于x的方程

ax2+2(a-3)x+(a-2)=0

至少有一个整数解,且a是整数,求a

解 当a=0时,原方程变成-6x-2=0 当a≠0式

Δ=4(a-2-- 为完全平方数,从而9-9-4a=n2,则n是正奇数,

要使而n为正奇数,只能n=1,从而a=2.要使x2为整数,即n-3|n可取1,5,7,从而a=2,-4,-10.

综上所述,a的值为2,-4,-10.

说明 本题是前面两种方法的“综合”.既要用判别式是平方数,又要用直接求根.有时候,往往是几种方法一同使用.

例5 已知关于x的方程

x2+(a-6)x+a=0

的两根都是整数,求a的值.

解 设两个根为x1≥x2,由韦达定理得

从上面两式中消去a得

x1x2+x1+x2=6,

所以 (x1+1)(x2+1)=7,

所以a=x1x2=0或16. 说明 x1,x2的不定

例6 r2+(r-1)=0

首先对r=0时,是关于x的一次方程;0xr是有理数,处理起来有些困难,均不能奏效.可用韦达定理,先把这个

时,原方程为x-1=0,所以x=1.

当r≠0时,原方程是关于x的一元二次方程,设它的两个整数根为x1,x2,且x1≥x2,则

消去r得

x1x2-x1-x2=2,

所以(x1-1)(x2-1)=3.

例7 已知a是正整数,且使得关于x

ax2+2(2a-4(a 至少有一个整数根,求a 解 将原方程变形为

(x2)2. 显然x+20

a≥1,即

所以-8≤0,

(x+4)(x-2)≤0,

所以 -4≤x≤2(x≠-2).

当x=-4,-3,-1,0,1,2时,得a的值为1,6,10,3

说明 从解题过程中知,当a=1时,有两个整数根-4,2;当a=3,6,10时,方程只有一个整数根.有时候,在关于x的一元二次方程中,如果参数是一次的,可以先对这个参数来求解.

例8 已知方程x2+bx+c=0与x2+cx+b=0各有两个整数根x1,x2

(2)求证:b-1≤c≤b+1; (3)求b,c的所有可能的值.

解 (1)由x1x2>0知,x1与x2同号.若x12>0

(2)由(1)知,x1<0,x2<01,2-1.由韦达定理 c-(b-1)=x1x212 + 所以 c≥-

b+1, 所以-1≤c≤b+1.

(3)由(2)可知,b与c的关系有如下三种情况: (i)c=b+1.由韦达定理知

x1x2=-(x1+x2)+1,

所以 (x1+1)(x2+1)=2,

解得x1+x2=-5,x1x2=6,所以b=5,c=6.

(ii)c=b.由韦达定理知

x1x2=-(x1+x2),

所以 (x1+1)(x2+1)=1,

所以x1=x2=-2,从而b=4,c=4.

(iii)c=b-1.由韦达定理知

所以

,(4,4),(6,5).

1

2x1,x2

k为整数,且关于x的方程

(k2-1)x2-3(3k-1)x+18=0

有两个不相同的正整数根,则k=____.

(3)两个质数a,b恰好是关于x的方程x2-21x+t=0

的两个根,

(4)方程x2+px+q=0的两个根都是正整数,并且p+q=1992,则方程较大根与较小根的比等于____.

(5)已知方程(a2-1)x2-2(5a+1)x+24=0有两个不相等的负整数根,则整数a的值是____.

2.设m为整数,且4<m<40,又方程

(x2-2(2m-3)x+4m2-14m+8=0

有两个整数根,求m的值及方程的根.

3.已知关于x的一元二次方程

x2+(m-17)x+m-2=0

的两个根都是正整数,求整数m的值.

4.求使关于x的方程a2x2+ax+1-7a2=0a.

5.求所有的整数a,使得关于x

ax2+2ax- 至少有一个整数根.

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