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相似三角形的判定(3) 人教版九年级下册

发布时间:2014-01-26 16:00:12  

学习目标
知识与能力 ? 理解相似三角形的判定方法. 过程与方法 ? 以问题的形式,创设一个有利于学生
动手和探究的情境,达到学会本节课

所学的相似三角形的判定方法. 情感态度与价值观 ? 培养学生积极的思考、动手、观察的
能力,使学生感悟几何知识在生活中

的价值.

教学重难点
? 会应用相似三角形的两个判定方
法。

? 怎样选择合 适 的判定方法来判
定两个三角形相似。

? 抓住判定方法的条件,通过已知
条件的分析,把握图形的结构特点。

复习回顾相似三角形判定方法
1、(定义)三组对应边的比相等且对应角相等; 2、(平行)平行于三角形一边的直线与其他两边(或 两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似。 3、(判定定理1)三组对应边的比相等的两个三角 形相似。 4、(判定定理2)两组对应边之比相等且夹角相等 的两个三角形相似。

问题引入:

观察两副三角尺,其中同样角度(30°与60°,或45°与 45°)的两个三角尺大小可能不同,但它们看起来是相 似的。一般地,如果两个三角形有两组对应角相等,它 们一定相似吗?

已知:在△ABC 和△A′B′C′中, ∠A=∠A', ∠B'=∠B 求证: Δ A'B'C'∽Δ ABC
B A A′

C

B′

C′

判定定理3:如果一个三角形的两个角与另一个三角
形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。

两角对应相等,两三角形相似。

用数学符号表示:
∵ ∠A=∠A', ∠B=∠B' ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
B

A

A′

C

B′

C′

基础演练
A’

1、下列图形中两个三角形是否相似?
A

B

A

C

D A B

(1)

C B’ A’

C’

(2)
D

A

E

E C

B

(3)

C

B’

C’

B

(4)

如图,弦AB和CD相交于⊙O内一点P,

求证:PA ? PB = PC?PD
A D B C

? O

P

变式:如果弦AB和CD相交于圆O外一点P,结 论还成立吗? A
B

O
C

P D

探究4
H L

已知: Rt△ABC 和 Rt△A1B1C1.
AB BC ? ? k, A1 B1 B1C1

A

求证: △ABC∽△A1B1C1. A1
你能证明吗?

B

C

B1

C1

知识要点
判定三角形相似的定理之四



H L

如果一个直角三角形的斜边和一条 直角边与另一个直角三角形的斜边和一 条直角边对应成比例, 那么这两个直角 A A1 三角形相似。 即: Rt△ABC 和 Rt△A1B1C1.
B C

如果

AB BC ? ? k, A1 B1 B1C1

B1

C1

那么 △ABC∽△A1B1C1.

随堂练习

1. 判断下列说法是否正确?并说明理由。 (1)所有的等腰三角形都相似。× (2)所有的等腰直角三角形都相似。√ (3)所有的等边三角形都相似。 √ (4)所有的直角三角形都相似。 × (5)有一个角是100 °的两个等腰三角形都相 似。 √ (6)有一个角是70 °的两个等腰三角形都相 似。 × (7)若两个三角形相似比为1,则它们必全等。 √ (8

)相似的两个三角形一定大小不等。

顶角相等

A
A'

B'

C'

B

C

第 一 种 情 况

∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'

底角相等

A
A'

B'

C'

B

C

第 二 种 情 况

∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'

A

顶角与底角相等
A'

B'

C'

B

C

第 三 种 情 况

两三角形不相似

4. 过△ABC(∠C>∠B)的边AB上 一点D 作一条直线与另一边AC相交,截 得的小三角形与△ABC相似,这样的直 线有几条? A
D ● B C

这样的直线有两条: A D E D

A

E C C B B 作DE,使∠AED=∠C作DE,使∠AED=∠B ∠A=∠A ∠A=∠A ∠AED=∠ ∠AED=∠ C B AED∽ △ABC △ ADE∽ △ △ABC

课堂小结
1. 相似图形三角形的判定方法:
? 通过定义 (三边对应成比例,三角相等) ? 平行于三角形一边的直线 (SSS) ? 三边对应成比例 ( SAS ) ? 两边对应成比例且夹角相等 (AA) ? 两角对应相等 ? 两直角三角形的斜边和一条直角边对应成 (HL) 比例

拓展延伸 1.求证:直角三角形被斜边上的高分 成的两个直角三角形和原三角形相似。 已知:在RtΔ ABC中,CD是斜边AB上的高。 求证: Δ ABC∽Δ ACD∽Δ CBD C

P48练习2
A D B

结论: ΔACD∽Δ CBD ΔACD ∽Δ ABC ΔBCD ∽Δ ABC

CD2=AD · DB AC2=AD · AB BC2=BD · AB

此结论可以称为“母子相似定理”,今后可以直接使用.

A

D

B
18
4 √2 12√2

C

2.如图:在Rt △ ABC中, ∠ABC=900,BD⊥AC于D 若 AB=6 AD=2 则AC= BD= BC=


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