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相似三角形经典例题解析

发布时间:2014-01-27 10:48:13  

初三(下)相似三角形总结

一、如何证明三角形相似

例1、如图:点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上,AG交BC、BD于点E、F,则△AGD∽ ∽ 。

A

AADD F

D CBE

B GCB

例2、已知△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD是角平分线,求证:△ABC∽△BCD

EF

C

例3:已知,如图,D为△ABC内一点连结ED、AD,以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD,∠BCE=∠BAD

求证:△DBE∽△ABC

例4、矩形ABCD中,BC=3AB,E、F,是BC边的三等分点,连结AE、AF、AC,问图中是否存在非全等的相似三

角形?请证明你的结论。

二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式

例5、△ABC中,在AC上截取AD,在CB延长线上截取BE,使AD=BE,求证:DF?AC=BC?FE

DA

A

DE

F

E

KCBB MC

例6:已知:如图,在△ABC中,∠BAC=90,M是BC的中点,DM⊥BC于点E,

长线于点D。

交BA的延

AE2ME

求证:(1)MA=MD?ME;(2) ?2

MDAD

2

例7:如图△ABC中,AD为中线,CF为任一直线,CF交AD于E,交AB于F,求证:AE:ED=2AF:FB。

三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。

例8:已知:如图E、F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点,且

EBAF1

??。求证:∠AEF=∠FBD ABAD3

C

E

B

B

FE

AD

A

F

D

D

SC

A

O

C

E

A

B

C

例9、在平行四边形ABCD内,AR、BR、CP、DP各为四角的平分线, 求证:SQ∥AB,RP∥BC

例10、已知A、C、E和B、F、D分别是∠O的两边上的点,且AB∥ED,BC∥FE,求证:AF∥CD

例11、直角三角形ABC中,∠ACB=90°,BCDE是正方形,AE交BC于F,FG∥AC交AB于G,求证:FC=FG

例12、Rt△ABC锐角C的平分线交AB于E,交斜边上的高AD于O,过O引BC的平行线交AB于F,求证:AE=BF

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B

BF

DA

G

C

初三(下)相似三角形总结

(答案)

例1分析:关键在找“角相等”,除已知条件中已明确给出的以外,还应结合具体的图形,利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。本例除公共角∠G外,由BC∥AD可得∠1=∠2,所以△AGD∽△EGC。再∠1=∠2(对顶角),由AB∥DG可得∠4=∠G,所以△EGC∽△EAB。

例2分析:证明相似三角形应先找相等的角,显然∠C是公共角,而另一组相等的角则可以通过计算来求得。借助于计算也是一种常用的方法。

证明:∵∠A=36°,△ABC是等腰三角形,∴∠ABC=∠C=72°又BD平分∠ABC,则∠DBC=36°

在△ABC和△BCD中,∠C为公共角,∠A=∠DBC=36°∴△ABC∽△BCD

例3分析: 由已知条件∠ABD=∠CBE,∠DBC公用。所以∠DBE=∠ABC,要证的△DBE和△ABC,有一对角相等,要证两

个三角形相似,或者再找一对角相等,或者找夹这个角的两边对应成比例。从已知条件中可看到△CBE∽△ABD,这样既有相等的角,又有成比例的线段,问题就可以得到解决。

证明:在△CBE和△ABD中,∠CBE=∠ABD, ∠BCE=∠BAD∴△CBE∽△ABD∴BCBEBCAB=即:= ABBDBEBD

BCAB=∴△DBE∽△ABC BEBD△DBE和△ABC中,∠CBE=∠ABD, ∠DBC公用∴∠CBE+∠DBC=∠ABD+∠DBC∴∠DBE=∠ABC且

例4分析:本题要找出相似三角形,那么如何寻找相似三角形呢?下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形:

(1) 如图:称为“平行线型”的相似三角形

E (2)如图:其中∠1=∠2,则△ADE∽△ABC称为“相交线型”的相似三角形。

A

E

1

BDCBA4DEDCABCE (3)如图:∠1=∠2,∠B=∠D,则△ADE∽△ABC,称为“旋转型”的相似三角形。

观察本题的图形,如果存在相似三角形只可能是“相交线型”的相似三角形,及△EAF与△ECA

解:设AB=a,则BE=EF=FC=3a,

由勾股定理可求得AE=2a, 在△EAF与△ECA中,∠AEF为公共角,且AEEC??2所以△EAF∽△ECA EFAE

例5 分析:证明乘积式通常是将乘积式变形为比例式及DF:FE=BC:AC,再利用相似三角形或平行线性质进行证明:

证明:过D点作DK∥AB,交BC于K, A∵DK∥AB,∴DF:FE=BK:BE D又∵AD=BE,∴DF:FE=BK:AD,而BK:AD=BC:AC

即DF:FE= BC:AC,∴DF?AC=BC?FE

0E例6 证明:(1)∵∠BAC=90,M是BC的中点,∴MA=MC,∠1=∠C,

0∵DM⊥BC,∴∠C=∠D=90-∠B,∴∠1=∠D,

BMAME2∵∠2=∠2,∴△MAE∽△MDA,∴,∴MA=MD?ME, ?MDMA

MAMEMEAEMAAEMEAE2

???(2)∵△MAE∽△MDA,∴,∴ ??ADMDADMAAD2MDMAMD

2C评注:命题1 如图,如果∠1=∠2,那么△ABD∽△ACB,AB=AD?AC。

2命题2 如图,如果AB=AD?AC,那么△ABD∽△ACB,∠1=∠2。

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初三(下)相似三角形总结

例7 分析:图中没有现成的相似形,也不能直接得到任何比例式,于是可以考虑作平行线构造相似形。怎样作?观察要证明的结论,紧紧扣住结论中“AE:ED”的特征,作DG∥BA交CF于G,得△AEF∽△DEG,AEAF。与结论?DEDG

1AE2AFAF相比较,显然问题转化为证DG?FB。 ??12EDFBBF2

证明:过D点作DG∥AB交FC于G则△AEF∽△DEG。(平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线所得三角形与原三角形相似)AE?AF (1)

DEDG

1∵D为BC的中点,且DG∥BF∴G为FC的中点则DG为△CBF的中位线,(2)将(2)代入(1)得:AE?AF?2AF DG?BF

2DE1FBBF2

例8 分析:要证角相等,一般来说可通过全等三角形、相似三角形,等边对等角等方法来实现,本题要证的两个角分

别在两个三角形中,可考虑用相似三角形来证,但要证的两个角所在的三角形显然不可能相似(一个在直角三角形中,另一个在斜三角形中),所以证明本题的关键是构造相似三角形,

证明:作FG⊥BD,垂足为G。设AB=AD=3k则BE=AF=k,AE=DF=2k,BD=32k

∵∠ADB=45,∠FGD=90∴∠DFG=45∴DG=FG=

0000DF2?2k∴BG=32k?2k?22k∴AFFG1?? AEBG2又∠A=∠FGB=90∴△AEF∽△GBF ∴∠AEF=∠FBD

例9 分析:要证明两线平行较多采用平行线的判定定理,但本例不具备这样的条件,故可考虑用比例线段去证明。利用比例线段证明平行线最关键的一点就是要明确目标,选择适当的比例线段。要证明SQ∥AB,只需证明AR:AS=BR:DS。

证明:在△ADS和△ARB中。

11ARBR∠DAB,∠DCP=∠PCB=∠ABC∴△ADS∽△ABR ?22ASDS

ARBR 但△ADS≌△CBQ,∴DS=BQ,则,∴SQ∥AB,同理可证,RP∥BC ?ASBQ∵∠DAR=∠RAB=

例10分析:要证明AF∥CD,已知条件中有平行的条件,因而有好多的比例线段可供利用,这就要进行正确的选择。其实要证明AF∥CD,只要证明OAOF即可,因此只要找出与这四条线段相关的比例式再稍加处理即可成功。 ?OCOD

OAOBOEOFOAOF证明:∵AB∥ED,BC∥FE∴,∴两式相乘可得: ???OEODOCOBOCOD

例11 分析:要证明FC=FG,从图中可以看出它们所在的三角形显然不全等,但存在较多的平行线的条件,因而可用比例线段来证明。要证明FC=FG,首先要找出与FC、FG相关的比例线段,图中与FC、FG相关的比例式较多,则应

FCFG(“?”代表相同的线段或相等的线段),便可完成。 ???

GFAF证明:∵ FG∥AC∥BE,∴△ABE∽△AGF 则有而FC∥DE ∴△AED∽△AFC ?BEAE

CFAFGFCFAFDFGF则有 ∴又∵BE=DE(正方形的边长相等)∴,即GF=CF。 ????DEAEBEDEAEBEBE

AEAC例12 证明:∵CO平分∠C,∠2=∠3,故Rt△CAE∽Rt△CDO,∴ ?ODCD

BFABACABAEBF又OF∥BC,∴又∵Rt△ABD∽Rt△CAD,∴,即∴AE=BF。 ???ODADCDADODOD选择与FC、FG都有联系的比作为过渡,最终必须得到

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初三(下)相似三角形总结

一、选择题

1.(2009年滨州)如图所示,给出下列条件:

①?B??ACD;②?ADC??ACB;③ACAB2;④AC?AD?AB. ?CDBC

其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为( )

A.1 B.2 C.3 D.

4

【关键词】三角形相似的判定.

【答案】C

2.(2009年上海市)如图,已知AB∥CD∥EF,那么下列结论正确的是( )

A.ADBC ?DFCEB.BCDF ?CEADC.CDBC ?EFBED.CDAD ?

EFAF

【关键词】平行线分线段成比例

【答案】A

3.(2009成都)已知△ABC∽△DEF,且AB:DE=1:2,则△ABC的面积与△DEF的面积之比为

(A)1:2 (B)1:4 (C)2:1 (D)4:1

【关键词】

【答案】B

4. (2009年安顺)如图,已知等边三角形ABC的边长为2,DE是它的中位线,则下面四个结论:

(1)DE=1,(2)△CDE∽△CAB,(3)△CDE的面积与△CAB的面积之比为1:4.其中正确的有:

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

【关键词】等边三角形,三角形中位线,相似三角形

【答案】D

5.(2009重庆綦江)若△ABC∽△DEF, △ABC与△DEF的相似比为1∶2,则△ABC与△DEF的周长比为( )

A.1∶4

【关键词】

【答案】B

6.(2009年杭州市)如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x,那么x的值( )

A.只有1个 B.可以有2个

第 4 页 共 7 页 B.1∶2 C.2∶1 D

初三(下)相似三角形总结

C.有2个以上但有限 D.有无数个

【关键词】相似三角形有关的计算和证明

【答案】B

7.2009年宁波市)如图,菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,M、N分别是边AB、AD的中点,连接OM、ON、MN,则下列叙述正确的是( )

A.△AOM和△AON都是等边三角形

B.四边形MBON和四边形MODN都是菱形

C.四边形AMON与四边形ABCD是位似图形

D.四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形

B O

C

D

【答案】C 【关键词】位似

8.(2009年江苏省)如图,在5?5方格纸中,将图①中的三角形甲平移到图②

中所示的位置,与三角形乙拼成一个矩形,那么,下面的平

移方法中,正确的是( )

A.先向下平移3格,再向右平移1格

B.先向下平移2格,再向右平移1格

C.先向下平移2格,再向右平移2格

D.先向下平移3格,再向右平移2格

【关键词】平移

【答案】D

9.(2009年义乌)在中华经典美文阅读中,小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。已知这本书的长为20cm,则它的宽约为

A.12.36cm B.13.6cm C.32.36cm D.7.64cm

【关键词】黄金比

【答案】A

10. (2009年娄底)小明在一次军事夏令营活动中,进行打靶训练,在用枪瞄准目标点B时,要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上,如图4所示,在射击时,小明有轻微的抖动,致使准星A偏离到A′,若OA=0.2米,OB=40米,AA′=0.0015米,则小明射击到的点B′偏离目标点B的长度BB′为 ( ) A.3米B.0.3米C.0.03米D.0.2米

【关键词】相似三角形

【答案】

B

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初三(下)相似三角形总结

11.(2009恩施市)如图,在△ABC中,?C

则BC的长为( )

A.2 B

且CD?2,DE?1,?90°,?B?60°,D是AC上一点,DE?AB于E, C

. D

. 【关键词】解直角三角形、相似

【答案】

B

12.(2009年甘肃白银)如图3,小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度,移动竹竿,使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时,竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m,则旗杆的高为( )

A.12m B.10m C.8m D.

7m

【关键词】相似三角形判定和性质

【答案】A

13.(2009年孝感)如图,将放置于平面直角坐标系中的三角板AOB绕O点顺时针旋转90°得△A′OB′.已知∠AOB=30°,∠B=90°,AB=1,则B′点的坐标为

A

.3311) B

.( C

.( D

.) 22222222

【关键词】旋转

【答案】A

14.(2009年孝感)美是一种感觉,当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时,越给人一种美感.如图,某女士身高165cm,下半身长x与身高l的比值是0.60

,为尽可能达到好的效果,她应穿的高跟鞋的高度大约为

A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm

【关键词】黄金比

【答案】C

15. (2009年新疆)如图,小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( )

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初三(下)相似三角形总结

【关键词】相似三角形的判定

【答案】A

16.(2009年天津市)在△ABC和△DEF中,AB?2DE,AC?2DF,?A??D,如果△ABC的周长是16,面积是12,那么△DEF的周长、面积依次为( )

A.8,3 B.8,6 C.4,3 D.4,6

【关键词】相似三角形的性质

【答案】A

17.(2009年牡丹江市)如图, △ABC中,CD?AB于D,一定能确定△ABC为直角三角形的条件的个数是( ①?1??A,②CD

AD?DB

CD,③?B??2?90°,④BC∶AC∶AB?3∶∶,45

⑤AC?BD?AC?CD

A.1 B.2 C.3 D.4

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