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因式分解(七年级数学第5次)

发布时间:2014-01-27 10:48:13  

子悦教育春季班内部资料·七年级数学·第5次 姓名:

§9.5因式分解之提公因式法

试一试

1.你能用简便方法计算:375×2.8+375×4.9+375×2.3吗?

2.你能把多项式ab+ac+ad写成积的形式吗?请说明你的理由.

做一做:

多项式ma?mb?mc中的每一项都含有一个相同的因式_______,我们称之为_________.

2. 问题:下列多项式的各项是否有公因式?如果有,试着找出来 .

(1)a2b+ab2 ; (2)3x2-6x3; (3)9abc-6a2b2+12abc2

探究新知

(Ⅰ)_________________________________,叫做这个多项式各项的公因式。

(Ⅱ)公因式的构成:①系数: ;

②字母: ;

③指数: .

(Ⅲ)把下列各式的公因式写在式子的后边

(1)3x2+x (2)4x+6 (3)3mb2-2nb (4)7y2-21y

(5)8a3b2+12a2b-ab (6)7x3y2-42x2y3 (7)4a2b – 2ab2 + 6abc (8)7(a-3) – b(a-3)

(Ⅳ)填空并说说你的方法:

(1)a2b+ab2=ab(2)3x2-6x3=3x(3)9abc-6a2b2+12abc2=3ab

归纳:

因式分解的定义: .

注意点:(1) .(2) .(3) . 因式分解与整式乘法的联系和区别:

趁热打铁:

下列各式从左到右的变形,哪些是因式分解?

(1)6x2y3=2x2y·3y; (2)ab+ac+d=a(b+c)+d (3) a2-1=(a+1)(a-1)

1 (4)(a+1)(a-1) = a2-1 (5) x2+1=x(x+ ) x

第 1 页

子悦教育春季班内部资料·七年级数学·第5次 姓名: 例题讲解:

例1:把6a3b-9a2b2c分解因式; 例2:把6a3b-9a2b2c+3a2b分解因式

例2:将下列各式因式分解(讲练结合)

(1)-2m3+8m2-12m 练习:-8a2b2+4a2b-2ab

(2)3a(x+y)-2b(x+y) 练习:3m(x?y)?n(y?x); 4q(1?p)3?2(p?1)2

小心这道题!!!把(2a+b)(2a-3b)-3a(2a+b)分解因式

课堂反馈:

1.把探究新知(Ⅲ)分解因式

2.把下列各式因式分解:

(1)?4m3?16m2?2m (2)10(a-b)2-5(b-a)3 (3)2m(m-7)-(7-m)(m-3)

课外延伸

一.选择题

1. 下列多项式中,能用提公因式法分解因式的是 ( )

A.x2?y B.x2?2x C.x2?3y D.x2?xy?y2

2. 下列各等式从左到右的变形中,属于因式分解的是 ( )

A. (x?3)(x?3)?x2?9 B. x2?9?x?(x?3)(x?3)?x

C. 3x2?3x?1?3x(x?1)?1 D. a2?2ab?b2?(a?b)2

3. (?3)2002?(?3)2003分解因式后是 ( )

A. 32002 B. ?2?32002 C. ?3 D.3

4. 下列因式分解中正确的是 ( )

A.3xm?12xm?1?xm(3?12x) B.?a?b?2??b?a?3??a?b?2(1?b?a)

C.2?x?2y???2y?x?2??x?2y??2?2y?x? D.8x2y?4x?4xy?2x?1?

第 2 页

子悦教育春季班内部资料·七年级数学·第5次 姓名:

5. 多项式?3x2y3z?4x3y3z?6x4yz2各项的公因式是___________;

多项式3a3b?4ab2?2a2b2x中的公因式是___________.

6. ?12x2?32x??4x?(________);5x2?10xy?(________)?(x?2y).

7. 用提公因式法将下列各式分解因式:

(1)2a?4b (2)6xyz?3xz2 (3)6x3y2?5x2y3?2x2y2

(4)xm?xm?1 (5)?m?n??p?q???m?n??p?q? (6)x?x?y??y?x?y? 2

(7)?x?2y??2x?3y??2?2y?x??5x?y? (8)x?a?x??a?y??y?x?a??y?a?

§9.6因式分解之平方差公式法

★试一试

1. 992-1是100的整数倍吗?

1782. 和老师比一比,看谁算的又快又准确:①572-562 ; ②962-952; ③()2-()2. 2525

★做一做:

整式乘法中我们学习了乘法公式:两数和乘以这两数差:即:(1)(a+b)(a-b)=a2-b2

左边是整式的乘积,右边是一个多项式,把这个等式反过来就是_________________________ (平方差公式),左边是__________,右边是___________请你判断一下,第二个式子从左到右是不是因式分解? 像这样将乘法公式反过来用,对多项式进行因式分解,这种因式分解方法称为_______.

★议一议:下列多项式可以用平方差公式分解吗?

(1)x2-y2 (2)x2+y2 (3)-x2-y2 (4)-x2+y2 (5)64-a2 (6)4x2-9y2

总结平方差公式的特点:

1.左边特征是:.

2.右边特征是:.

第 3 页

子悦教育春季班内部资料·七年级数学·第5次 姓名:

探究新知

例1.依葫芦画瓢:(体验用平方差公式分解因式的过程)

(1)x2-4=x2-22= (x+2)(x-2) (2)x2-16 =( )2-( )2= ( )( )

(3)9-y2=( )2-( )2= ( )( )(4)1-a2 =2-( )2= ( )( ) 例2.把下列多项式分解因式:

4 (1) 36-25x2 (2) 16a2-9b2 (3)m2-0.01n29

例3.观察公式a2-b2 =(a+b)(a-b),你能抓住它的特征吗?公式中的字母a、b不仅可以表示数,而且都可以表示代数式.尝试把下列各式分解因式

(1)(x+p)2-(x+q)2 (2)16(m-n)2-9(m+n)2 (3)9x2-(x-2y) 2

例4.把下列各式分解因式

(1)4a2-16 (2)a5-a3 (3)x4-y4 (4)32a3-50ab2

一句话点评: .

趁热打铁:

1. 课本P73练一练

2.下列分解因式是否正确:

(1)-x2-y2=(x+y)(x-y)(2)9-25a2=(9+25a)(9-25a)(3)-4a2+9b2=(-2a+3b)(-2a-3b)

3.把下列各式分解因式:

(1)4a2-(b+c)2 (2)(3m+2n)2-(m-n)2

(3)(4x-3y)2-16y2 (4)-4(x+2y)2+9(2x-y)2

课外延伸

一.判断:下列各式能不能写成平方差的形式(能画“√”,并分解,不能的画“×”)

(1)x2+64 ( ); (2)-x2-4y2 ( )

1(3)9x2-16y4 ( ); (4)-x6+9n2 ( ) 4

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子悦教育春季班内部资料·七年级数学·第5次 姓名:

(5)-9x2-(-y)2 ( ); (6)-9x2+(-y)2 ( )

(7)(-9x)2-y2 ( ); (8)(-9x)2-(-y)2 ( )

二.选择题

1. 下列各式中,能用平方差公式分解因式的是 ( )

A.?a2?b2 B.?a2?b2 C.a2?b2 D.a3?b3

2. (x+1)2-y2分解因式应是 ( )

A. (x+1-y)(x+1+y) B. (x+1+y)(x-1+y)

C. (x+1-y)(x-1-y) D. (x+1+y)(x-1-y)

三、填空:

1.填空(把下列各式因式分解)

(1)1?p2=____________ (2)49c2?36?________________ 24(3)m?n?___________ (4)?0.25a2m2?9=______________ 9256

(5)4?x2n=______________ (6)(a?b)2?1=__________________

2.把下列各式分解因式

(1)x5?x3?x3?_____??________________________

(2)2ab3?2ab?2ab?________??__________________

(3)x3?16x?x?________??___________________

(4)3ax2?3ay4?2ab?________??___________________

(5)8y4?2y2?______________________________________

四.把下列各式分解因式

4(1)4x2?9y2 (2)0.81a2?16b2 (3)m2?0.012 9

(4) 8a3?2a(a?1)2 (5) ??b?c?2?4a2 (6)1?16a4b4

(7)?3m?2n?2??m?n?2 (8)4z2??x?y?2 (9) 4?x?y?2?25?x?y?2

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子悦教育春季班内部资料·七年级数学·第5次 姓名:

(10)?a?b?c?2??a?b?c?2 (11)?a?b?3?4?a?b?

五.运用简便方法计算

(1)20072?49 (2)1.222?9?1.332?4

1125(3)已知x=,y(x+y)2-(x-y)2的值. 7522

§9.6因式分解之完全平方公式

★试一试

1. 前面我们学习了因式分解的意义,并且学会了一些因式分解的方法,运用学过的方法你能将a2+2a+1分解因式吗?

2. 在括号内填上适当的式子,使等式成立:

(1)(a+b)2= ; (2)(a-b)2= .

(3)a2+ +1=(a+1)2 ; (4)a2- +1=(a-1)2.

思考:(1)你解答上述问题时的根据是什么?

(2)第(1)(2)两式从左到右是什么变形?第(3)(4)两式从左到右是什么变形?

★认一认:

我们知道利用平方差公式可以来进行因式分解,那么这节课就来研究如何利用完全平方公式来进行因式分解. =(a+b)2 ; (a-b)2

完全平方式的特点:

左边:①项数必须是_________项;

②其中有两项是________________________________;

③另一项是_____________________________________.

右边:_____________________________________________.

口诀: .

★议一议:判断下列各式是完全平方式吗?

1(1)a2-4a+4 (2)x2+4x+4y2 (3)4a2+2ab+2 4

(4)a2-ab+b2 (5)x2-6x-9 (6)a2+a+0.25

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子悦教育春季班内部资料·七年级数学·第5次 姓名:

探究新知

例1.依葫芦画瓢:(体验用完全平方公式分解因式的过程)

a2+6a+9=a2+2× × +( )2=( )2

a2-6a+9=a2-2× × +( )2=( )2

例2.把下列多项式分解因式: (1) x2+10x+25 (2) 4a2+36ab+81b2 (3)-4xy-4x2-y2

试一试你能行!

1.请补上项,使下列多项式成为完全平方式:

(1)4m2+ +n2=(2m+ )2;(2)x2- +16y2=( )2;

(3)4a2+9b2+ =( )2;(3) +2pq+1=( )2.

2.分解下列因式:

44(1)a2-4a+4 (2)9m2-6mn+n2 (3)x2+y2-xy (4)a2b2-2ab+1 93

3. 对于多项式a2-4a+4大家都会分解了,如果将a换成(m+n),你能写出替换后的式子吗?那又该如何分解呢?

例3.把下列各式分解因式

(1)(x+y)2-18(x+y)+81 (2)4-12(x-y)+ 9(x-y)2 (3)16a4+8a2+1

(变式训练 若把16a4+8a2+1变形为16a4-8a2+1会怎么样呢?学生讨论作答

变式训练对于多项式a2-4a+4误写为a2+4a+3如何分解?)

一句话点评: .

例4 .(1)简便计算20042-4008×2005+20052 (2)已知a2-2a+b2+4b+5=0,求(a+b)2005的值。

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趁热打铁:

1. 课本P75练一练

2.下列各式中能用完全平方公式分解的是 ( )

①x2?4x?4②6x2?3x?1③4x2?4x?1 ④x2?4xy?2y2 ⑤9x2?20xy?16y2

A.①③ B.①② C.②③ D.①⑤

3.把下列各式分解因式:

(1)1?1m?1m2 (2)-49a2+112ab-64b2(3)(2)16-24(a-b)+ 9(a-b)2 216

(4)16a4+24a2b2+9b4 (5)(x+y)2-10(x+y)+25

4.简便计算:9.92-9.9×0.2+0.01

5.分解因式a2+6a+9时误写为a2+6a+9-1即a2+6a+8如何分解?

(6.若a、b、c为△ABC的三边,且满足a2+b2+c2=ab+ac+bc,试判断△ABC的形状。)

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§9.6提公因式法、公式法的综合运用

★比一比,看谁算得快

①65.52-34.52 ②1012-2×101×1+1 ③482+48×24+122 5×552-5×452

思考 (1)在计算过程中,你用到了哪些因式分解的方法?

(2)能用平方差公式、完全平方公式分解因式的多项式有什么特征?

(3)计算中 ③和 ④能直接用公式吗?

★想一想:

分解因式 ①4a4-100 ②a4-2a2b2+b4

思考 (1)在解答这两题的过程中,你用到了哪些公式?

(2)你认为(2a2+10)(2a2-10)和(a2-b2)2这两个结果是因式分解的最终结果吗?如果不是,你认为还可以怎样分解?

(3)怎样避免出现上述分解不完全的情况呢?

探究新知

例1. 把下列各式分解因式

(1)18a2-50 (2)2x2y-8xy+8y (3)a2(x-y)-b2(x-y)

归纳: .

例2.把下列多项式分解因式:

(1)a4-16 (2) 81x4-72x2y2+16y4

归纳: .

例3.把下列多项式分解因式:

(1)(x2+2x)2-(2x+4)2; (2) (a2+b2) 2-4a2b2 (2)(x2+2x)2+2(x2+2x)+1

第 9 页

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归纳: .

例4 . 阅读下列材料,然后回答文后问题

已知2x+y=b,x-3y=1 求14y(x-3y)-4(3y-x)的值。

分析:先将14y(x-3y)-4(3y-x)进行因式分解,再将2x+y=6和x-3y=1整体代入。

解:14y(x-3y)-4(3y-x)=14y(x-3y)+4(x-3y)

=2(x-3y)[7y+2(x-3y)]

=2(x-3y)(2x+y)

当2x+y=6.x-3y=1时,原式=2×1×6=12,回答下列问题:

(1)上述问题体现了 思想,这种思想在求值问题中经常用到。

(2)已知a+b=5,ab=3,求代数式ab+2ab+ab的值。 322322223232323

课后延伸:

1.辨析 分解因式 a4-8a2+16

a4-8a2+16=(a2-4)2=(a+2)2(a-2)2=(a2+2a+4)(a2-2a+4)

这种解法对吗?如果不对,指出错误原因

2. 多项式①16x5-x ②(x-1)2-4(x-1)+4 ③(x+1)4-4x(x+1)2+4x2 ④-4x2-1+4x分解因式后,结果含有相同因式的是 ( )

A.①② B.③④ C.①④ D.②③

3.填空:

请写出一个三项式,使它能先提公因式,再运用公式法来分解因式,你编的三项式是 ,分解因式的结果是 .

4.把下列各式分解因式

(1)3ax2-3ay4 (2)-2xy-x2-y2 (3)3ax2+6axy+3ay2

(4)x4-81 (5)x4-2x2+1 (6)(x2-2y)2-(1-2y)2

(7)x4-8x2y2+16y4 (8)80a2(a+b)-45b2(a+b) (9)(x2-2xy)+2y2(x2-2xy)+y4

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子悦教育春季班内部资料·七年级数学·第5次 姓名:

5.已知x+y=4 xy=2 求2x3y+4x2y2+2xy3的值

6. 分解:(x+y)2-4(x2-y2)+4(x-y)2

7.已知,如图,4个圆的半径都为a

(1)用代数式表示其中阴影部分的面积 (2)

8.利用图形面积因式分解

①a2+3ab+2b2=________________ 当a=10,π取3.14时,求阴影部分的面积。

②a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=________________

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