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# 初二数学下 第一章《证明(二)》

____________________________________________________________________________________________

1.等腰三角形

（1）定义：____________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________

（2）性质定理：<1>_____________________________________________________________

<2>_____________________________________________________________

（3）等腰三角形的判定定理：____________________________________________________ __________________________________________________________________________

（4）对称性：__________________________________________________________________ __________________________________________________________________________

2.直角三角形

（1）勾股定理：_______________________________________________________________ _________________________________________________________________________

（2）勾股定理的逆定理：_______________________________________________________ _________________________________________________________________________

（3）互逆命题与互逆定理

<1>命题与逆命题：____________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________

<2>定理与逆定理：____________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________

（4）直角三角形全等的判定定理

____________________________________________________________________________________________ 1

____________________________________________________________________________________________

3.线段垂直平分线的性质定理

（1）线段的垂直平分线

（2）线段垂直平分线的判定定理

（3）三角形三边垂直平分线的性质定理

4.角平分线

（1）角平分线的性质定理

（2）角平分线的判定定理

（3）三角形的三条角平分线的性质定理

（A）35° （B）20° （C）35 °或 20°（D）无法确定

C

____________________________________________________________________________________________

1.△ABC中，AB＝AC，∠A=40°，BP=CE，BD=CP，则∠DPF= 度。

3.如图甲，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E，直线BM、CN交于点F。

(1)求证：AN=BM；

(2)求证：△CEF是等边三角形；

(3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图乙中补出符合要求的图形，并判断第(1)、(2)两小属结论是否仍然成立(不要求证明)。

4.如图，等边△ABC中，AB=2，点P是AB边上的任意一点(点P可以与点A重合，但不与点B重合)，过点P作PE⊥BC于E，过点E作EF⊥AC于F，过点F作FQ⊥AB于Q，设BP= x，AQ＝y。

____________________________________________________________________________________________ 3

____________________________________________________________________________________________

(1)用x的代数式表示y；

(2)当PB的长等于多少时，点P与点Q重合?

C

AB

D

E

CAB

____________________________________________________________________________________________ 4

____________________________________________________________________________________________

1.如图在△ABC中，AE平分∠BAC，∠DCB＝∠B－∠ACB，求证：△DCE是等腰三角形。

2.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F分别是垂足。求证：AE＝AF。

3. 等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，则腰长为（ ）

____________________________________________________________________________________________ 5

____________________________________________________________________________________________

A. 2cm B. 8cm C. 2cm或8cm D. 以上都不对

5.如图，△ABC中，∠1=∠2，∠EDC=∠BAC，求证：BD=ED。

A.等腰三角形只有一条对称轴 B.直线不是轴对称图形

C.直角三角形都不是轴对称图形 D.任何角都是轴对称图形

B F

A C 例3：如图，△ABC中，角平分线BO与CO的相交点O，OE∥AB，OF∥AC，BC=10，求△OEF的周长。

____________________________________________________________________________________________ 6

____________________________________________________________________________________________

A E

D

C B

2.如图，△ABC是等边三角形，P为△ABC内部一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与 △ACPˊ重合，如果AP=3，求PPˊ的长。

P

3.如图，在等边△ABC中，P为△ABC内任意一点，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，AM⊥BC于M，试猜想AM、PD、PE、PF之间的关系，并证明你的猜想。

B C P′ F D M 专题4：直角三角形

____________________________________________________________________________________________ 7 人生因拼搏而精彩，请珍惜光阴，把握自我！

____________________________________________________________________________________________ 知识点一：勾股定理

A2m B.3m C.6m D.9m

A、3.5 B、4.2 C、5.8 D、7

A．1 2 B．2 C．3 D．4

____________________________________________________________________________________________ 8

____________________________________________________________________________________________

2.某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造．测得两直角边长为6m、8m.现要将其扩建

3.如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处上爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经路程都是15m，求树高AB。

____________________________________________________________________________________________ 9

____________________________________________________________________________________________ 例1：一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示.正方形DEFH的边长为2米，坡

1.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：

（3）△ACD为 三角形，四边形ABCD的面积为 ；

12.如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB=4，CE=

BC，F为CD 的中点，连接AF、AE，问△

AEF是什么三角形？请说明理由。

____________________________________________________________________________________________ 例1：下列句子是命题的是（ ）

A.画∠AOB=45° B.小于直角的角是锐角吗？

C.连结CD D. 三角形内角和等于90°

（1）如果|a|=|b|，那么a=b

（2）同位角相等

（3）等边三角形的三个角都是60°

（1）如果|a|=|b|，那么a=b

（2）同位角相等

（3）等边三角形的三个角都是60°

1.仔细阅读表中的四个命题并填表：

2.说出下列命题的逆命题：

____________________________________________________________________________________________ 11

____________________________________________________________________________________________

（1）如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余。

（2）等边三角形的每个角都等于60°。

（3）全等三角形的对应角相等。

（4）如果a=b，那么a3＝b3。

（5）全等三角形的面积相等。

3.说出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假：

（1）两直线平行，内错角相等。

（2）全等三角形的对应角相等。

（3）全等三角形的对应边相等。

（4）关于某一条直线对称的两个三角形全等。

（5）全等三角形的面积相等。

（6）对顶角相等。

____________________________________________________________________________________________ 12

____________________________________________________________________________________________

1．选择：

（1）两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，则下列四个命题中，真命题的个数是（ ）个

①这两个三角形全等; ②相等的角为锐角时全等

③相等的角为钝角对全等; ④相等的角为直角时全等

A．0 B．1 C．2 D．3

（2）在下列定理中假命题是（ ）

A．一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形

B．一个直角三角形必能分成两个等腰三角形

C．两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形

D．两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形

（3）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，延长BC到D，使CD=AC则AC：BD=（ ）

A．1：1 B．3：1 C．4：1 D．2：3

（4）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD、CE，分别是斜边AB上的高与中线，CF是∠

ACB的平分线。则∠1与∠2的关系是（ ）

A．∠1<∠2 B．∠1=∠2; C．∠1>∠2 D．不能确定

A．30° B．60° C．120° D．150°

____________________________________________________________________________________________ 13

____________________________________________________________________________________________

2．解答：

（1）已知：如图∠B=∠E=90°AC=DF FB=EC 求证：AB=DE。

____________________________________________________________________________________________ 14

____________________________________________________________________________________________

1.如图，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（ ）

A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm

2.如图，在△ABC中，AB=AC， BC=12，∠BAC =120°，AB的垂直平分线交BC边于点E， AC的垂直平分线交BC边于点N。

(1) 求△AEN的周长。

A

(2) 求∠EAN的度数。

(3) 判断△AEN的形状。

BE

____________________________________________________________________________________________ 15

____________________________________________________________________________________________

4.如图，已知?AOB和?AOB内两点M、N画一点P使它到?AOB的两边距离相等，且到点M和N的距离相等。

1．已知点C垂直于线段AB，且CA＝CB，则点C是线段AB的（ ）

A．中点 B．延长线上的点 C．垂线上的点 D．垂直平分线上的点

2．下列说法中错误的是（ ）

A．线段的对称轴是它的垂直平分线 B．线段垂线上的点到线段两端点的距离相等

C．到线段两端距离相等的点都在一条直线上

D．轴对称图形的两个对称点到对称轴的距离相等

03．如图，已知∠MON＝45，角的内部有一点P，设点P关于OM的对称点为A，点P关于ON

____________________________________________________________________________________________ 1

6

____________________________________________________________________________________________

（1）求证：OA⊥OB；

（2）若AB交OM于E，交ON于F，且AB=8cm，求△PEF的周长。

4.如图所示，在等边三角形ABC中，∠B、∠C的平分线交于点O，OB和OC的垂直平分线交

BC于E、F，试用你所学的知识说明BE=EF=FC的道理。

B C

A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 不能确定

o例2：在△ABC中，AB﹦AC，∠A﹦120，AB的垂直平分线MN分别交BC，AB于点M、N。求

1.如左下图，点P为△ABC三边中垂线交点，则PA________PB________PC。

____________________________________________________________________________________________ 1

7

____________________________________________________________________________________________

2.如右上图，在锐角三角形ABC中，∠A=50°，AC、BC的垂直平分线交于点O，则∠1_________∠2，∠3________∠4，∠5__________∠6，∠2+∠3=__________度，∠1+∠4=_______度，∠5+∠6=__________度，∠BOC=__________度。

4.如右上图，在△ABC中，DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线，则∠B_________∠1，∠C__________∠2；若∠BAC=126°，则∠EAG=_________度。

E，BF∥AC交CE的延长线于点F，

（1） 求证：AB垂直平分FD；

（2） 若AC﹦12，求DF的长。

____________________________________________________________________________________________ 1

8

____________________________________________________________________________________________ 例1：如图，已知AB∥CD，O是∠ACD，∠CAB的平分线的交点，且OE⊥AC于E点，OE=12，

2例2：如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC=90cm，AB=18cm，BC=12cm，求DE的

1.如图，OA平分∠BAC，OB=OC，求证：AB=AC。

2.如图，已知∠ACB=∠DEB=90°，BD平分∠ABC，ED的延长线交BC的延长线于点F，求证：AE=CF。

____________________________________________________________________________________________ 19

____________________________________________________________________________________________

3.如图，l1、l2、 l3是三条两两相交的笔直公路，先欲修建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，这个加油站的位置共有 处。（画出来）

l1

l2

l3

4.如图， O到△ABC的三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE，若∠A=70°，求∠BOC。

A

B D C

20

____________________________________________________________________________________________ E

D

A E C

B C

（1）AM平分∠DAB；

（2）∠DMA=90°。

D C

A B

A

B D E C

1.等腰三角形ABC在直角坐标系中，底边的两端点坐标分别是（-3，m），（5，m），则能确____________________________________________________________________________________________ 21

____________________________________________________________________________________________ 定的是它的（ ）

A．一腰的长 B. 底边的长 C．周长 D. 面积

2.已知：一等腰三角形的两边长x、y满足方程组??2x?y?3，则此等腰三角形的周长为

?3x?2y?8，

( )

A.5 B.4 C.3 D.5或4

③?ABC的面积等于四边形AFBD的面积； ①?AED??AEF; ②

222④BE?DC?DE; ⑤BE?DC?DE B

A．①②④

C．①③④ E D C B．③④⑤ D．①③⑤

4.如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）

A、2.5 B、22错误！未找到引用源。 C、 D、

5.如图，矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为（ ）

A、14 B、16 C、20 D、28

6.如图所示，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC＝ 6cm，点P是母线BC

____________________________________________________________________________________________ 22

____________________________________________________________________________________________

A．（4?6

?）cm B．5cm C

． D．7cm

0 8.如图，Rt△ABC中，∠C＝90，CD是AB边上的高，CE是中线，CF是∠ACB的平分线，图

A、0组 B、2组

C、3组 D、4组

AB

9.如果三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（ ）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定

10.等腰三角形的腰长为2，腰上的高为1，则它的底角等于___________。

12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=3，AC=4，

____________________________________________________________________________________________ 2

3

____________________________________________________________________________________________

13.如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中BC边上的高是_____________。

14.图，直线AB、CD相交于点O，若∠BOD=40°，OA平分∠COE，则∠AOE=_________。

15.已知：如图所示，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，且

BE⊥AC于点E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G．

(1)求证：BF＝AC

(2)猜想CE与BG的数量关系，并证明你的结论。

____________________________________________________________________________________________ 24

____________________________________________________________________________________________

B

G

C

____________________________________________________________________________________________ 25

____________________________________________________________________________________________

（1）求证：△ACD≌△AED；

（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长。

1.如图，已知Rt?ABC中，在直线BC或AC上取一点P，使得?PAB?C?90?，?A?30?，

A 2个 B 4个 C 6个 D 8个

2.如图，?ABC中，AB=BC，M、N为BC边上两点，且?BAM??CAN，MN=AN，求?MAC的度数。

____________________________________________________________________________________________ 26

____________________________________________________________________________________________

4.作长为25的线段。

5.一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等，这样的直角三角形是否存在？若存在，确定它三边的长；若不存在，说明理由。

1.一等腰三角形的两边长x、y满足方程组??2x?y?3，则此等腰三角形的周长为( )

?3x?2y?8，

A.5 B.4 C.3 D.5或4

∠DCE=45°，则DE的长为

A．14 B．9

C．10 D．11 ____________________________________________________________________________________________

27

____________________________________________________________________________________________

A、2

04.如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于点F，且∠A＝60，则∠BFC等于（ ）

0000 A、80 B、100 C、120 D、140

E

5.如图，△ABC中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，若∠D＝36，则∠C的度数为（ ）

0000 A、82 B、72 C、62 D、52

D

A

6.某三角形有一个外角平分线平行于三角形的一边，而这三角形另一边上的中线分周长为2∶3两部分，若这个三角形的周长为30cm，则此三角形三边长分别是（ ）

A、8 cm、8 cm、14cm B、12 cm、12 cm、6cm

C、8 cm、8 cm、14cm或12 cm、12 cm、6cm D、以上答案都不对

____________________________________________________________________________________________ 28

____________________________________________________________________________________________

8.如图，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，D为BC中点，DE⊥AB于E，则DE=___________。

A

E BCD

9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是斜边AB的中点，DE⊥AC，垂足为E，若DE=2，

CD=BE的长为___________。

10已知三角形相邻两边长分别为20cm 和30cm．第三边上的高为10cm，则此三角形的面

11.如图，已知，等腰Rt△OAB中，∠AOB=90o，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90o，连结AE、

BF．

（2）AE⊥BF。

12.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D

____________________________________________________________________________________________ 29

____________________________________________________________________________________________

（1）求∠DA′E的大小；

（2）求△A′BE的面积。

14.如图，Rt△ABC的∠A的平分线与过斜边中点M的垂线交于点D。求证：MA＝MD。

D

B

M

AC

15.在△ABC中，AB≠AC，D、E在BC上，且DE＝EC，过D作DF∥BA交AE于点F，DF＝AC，求证：AE平分∠BAC。

A

F

BC

00 16.如图，在△ABC中，∠B＝22.5，∠C＝60，AB的垂直平分线交BC于点D，BD＝62，

AE⊥BC于点E，求EC的长。

A

BDEC

____________________________________________________________________________________________ 30

____________________________________________________________________________________________

AC交CE的延长线于点F，求证AB垂直平分DF。

C

DA

B

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 31

____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________。 ____________________________________________________________________________________________ 32