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初二数学下 第一章《证明(二)》

发布时间:2014-01-27 10:48:16  

____________________________________________________________________________________________

初二数学下

第一章 证明(二)

一.开心一刻 二货同学感冒了,去诊所拿药。

医生问:有20吗?

同学:没有,只有一张100的!

医生:我是问你年龄!

同学:哦,我18!

医生:发烧了?

同学:嗯

医生:多高?

同学:165.

医生:我是问你烧多少度!!!

二.大脑扫描

1.等腰三角形

(1)定义:____________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________

(2)性质定理:<1>_____________________________________________________________

<2>_____________________________________________________________

(3)等腰三角形的判定定理:____________________________________________________ __________________________________________________________________________

(4)对称性:__________________________________________________________________ __________________________________________________________________________

2.直角三角形

(1)勾股定理:_______________________________________________________________ _________________________________________________________________________

(2)勾股定理的逆定理:_______________________________________________________ _________________________________________________________________________

(3)互逆命题与互逆定理

<1>命题与逆命题:____________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________

<2>定理与逆定理:____________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________

(4)直角三角形全等的判定定理

____________________________________________________________________________________________ 1

人生因拼搏而精彩,请珍惜光阴,把握自我!

____________________________________________________________________________________________

定理:__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________

3.线段垂直平分线的性质定理

(1)线段的垂直平分线

定理:__________________________________________________________________________

(2)线段垂直平分线的判定定理

定理:__________________________________________________________________________

(3)三角形三边垂直平分线的性质定理

定理:__________________________________________________________________________ 补充:三角形外心:_____________________________________________________________

4.角平分线

(1)角平分线的性质定理

定理:__________________________________________________________________________

(2)角平分线的判定定理

定理:__________________________________________________________________________

(3)三角形的三条角平分线的性质定理

定理:_________________________________________________________________________ 补充:三角形内心:_______________________________________________________________

三.知识刷新

专题1:等腰三角形的性质

例1:等腰三角形的一个内角为70°,它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是( )

(A)35° (B)20° (C)35 °或 20°(D)无法确定

例1:如图所示,已知AB=AC, D 、E分别在AC和AB上,且BD=BC,AD=DE=BE,求∠A的度数。

C

例2:等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分,则这个等腰三角形底边的长为 。

例3:如图AOB是一钢架,且∠AOB=10FG、GH……添加的钢管长度都与OE

____________________________________________________________________________________________

挑战自我,勇攀高分

1.△ABC中,AB=AC,∠A=40°,BP=CE,BD=CP,则∠DPF= 度。

2.如图,△ABC中,AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,AD与BE相交于点F,若BF=AC,则∠ABC的大小是_________。

3.如图甲,点C为线段AB上一点,△ACM、△CBN是等边三角形,直线AN、MC交于点E,直线BM、CN交于点F。

(1)求证:AN=BM;

(2)求证:△CEF是等边三角形;

(3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°,其他条件不变,在图乙中补出符合要求的图形,并判断第(1)、(2)两小属结论是否仍然成立(不要求证明)。

4.如图,等边△ABC中,AB=2,点P是AB边上的任意一点(点P可以与点A重合,但不与点B重合),过点P作PE⊥BC于E,过点E作EF⊥AC于F,过点F作FQ⊥AB于Q,设BP= x,AQ=y。

____________________________________________________________________________________________ 3

人生因拼搏而精彩,请珍惜光阴,把握自我!

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(1)用x的代数式表示y;

(2)当PB的长等于多少时,点P与点Q重合?

专题2:等腰三角形的判定

例1:如图,AC和BD相交于点O,且AB∥DC,OA=OB,求证:OC=OD。

C

AB

例2:如图,A、B、C三点在同一直线上,分别以AB、BC为边,在直线AC的同侧作等边△ABD和等边△BCE。连结AE交BD于M,连结CD交BE于N,连结MN得△BMN,试判断△BMN的形状?为什么?

D

E

CAB

例3:如图,△ABC中,∠ABC=2∠C,AD是BC边上的高,B到点E,使BE=BD,求证:AF=FC。

例4:如图,四边形ABCD中,∠ADC+∠ABC=180°,AD、BC的延长线交于点F,DC、AB的延长线交于点E,∠E的平分线交AF于G,交BF于点M.且H为GM的中点。求证:EH⊥FH。

____________________________________________________________________________________________ 4

人生因拼搏而精彩,请珍惜光阴,把握自我!

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例5:如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=90°,BD平分∠ABC,DE⊥BC且BC=10,求△DCE的周长。

挑战自我,勇攀高分

1.如图在△ABC中,AE平分∠BAC,∠DCB=∠B-∠ACB,求证:△DCE是等腰三角形。

2.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,E、F分别是垂足。求证:AE=AF。

3. 等腰三角形底边长为5cm,一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm,则腰长为( )

____________________________________________________________________________________________ 5

人生因拼搏而精彩,请珍惜光阴,把握自我!

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A. 2cm B. 8cm C. 2cm或8cm D. 以上都不对

4. 如图,△DEF中,∠EDF=2∠E,FA⊥DE于点A,求:DF、AD、AE间有什么样的大小关系。

5.如图,△ABC中,∠1=∠2,∠EDC=∠BAC,求证:BD=ED。

专题3:等腰三角形的对称性

例1:下列命题正确的是( )

A.等腰三角形只有一条对称轴 B.直线不是轴对称图形

C.直角三角形都不是轴对称图形 D.任何角都是轴对称图形

例2:如图,在△ABC中,AB=AC,AF⊥BC,点D在BA的延长线上,点E在AC上,且AD=AE,

试探索DE与AF的位置关系,并证明你的结论。

B F

A C 例3:如图,△ABC中,角平分线BO与CO的相交点O,OE∥AB,OF∥AC,BC=10,求△OEF的周长。

挑战自我,勇攀高分

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人生因拼搏而精彩,请珍惜光阴,把握自我! E F C

____________________________________________________________________________________________

1.如图,在△ABC中,AC⊥BC,D、E为AB上的点,且AD=AC,BE=BC,求∠ECD的度数。

A E

D

C B

2.如图,△ABC是等边三角形,P为△ABC内部一点,将△ABP绕点A逆时针旋转后,能与 △ACPˊ重合,如果AP=3,求PPˊ的长。

P

3.如图,在等边△ABC中,P为△ABC内任意一点,PD⊥BC于D,PE⊥AC于E,PF⊥AB于F,AM⊥BC于M,试猜想AM、PD、PE、PF之间的关系,并证明你的猜想。

B C P′ F D M 专题4:直角三角形

____________________________________________________________________________________________ 7 人生因拼搏而精彩,请珍惜光阴,把握自我!

____________________________________________________________________________________________ 知识点一:勾股定理

例1:如图是油路管道的一部分,延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形,两直角边分别为6m和8m.按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道,则O到三条支路的管道总长(计算时视管道为线,中心O为点)是( )

A2m B.3m C.6m D.9m

例2:如图,△ABC中,∠C=90°,AC=3,∠B=30°,点P是BC边上的动点,则AP长不可

能是( )

A、3.5 B、4.2 C、5.8 D、7

例3:如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=6,D,E分别在AB,AC上,将△ABC沿DE折叠,使点A落在点A′处,若A′为CE的中点,则折痕DE的长为( )

A.1 2 B.2 C.3 D.4

挑战自我,勇攀高分

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人生因拼搏而精彩,请珍惜光阴,把握自我!

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1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6cm,AC=8cm,按图中所示方法将△BCD沿BD折叠,使点C落在AB边的C′点,那么△ADC′的面积是_________。

2.某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造.测得两直角边长为6m、8m.现要将其扩建

成等腰三角形,且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形.求扩建后的等腰三角形花..........

圃的周长。

3.如图,AB为一棵大树,在树上距地面10m的D处有两只猴子,它们同时发现地面上的C处有一筐水果,一只猴子从D处上爬到树顶A处,利用拉在A处的滑绳AC,滑到C处,另一只猴子从D处滑到地面B,再由B跑到C,已知两猴子所经路程都是15m,求树高AB。

知识点二:勾股定理逆定理

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人生因拼搏而精彩,请珍惜光阴,把握自我!

____________________________________________________________________________________________ 例1:一个正方体物体沿斜坡向下滑动,其截面如图所示.正方形DEFH的边长为2米,坡

角∠A=30°,∠B=90°,BC=6米. 当正方形DEFH运动到什么位置,即当AE= 米时,有DC=AE+BC。 222

例2:一个零件的形状如图,按规定这个零件中∠A与∠BDC都应为直角,工人师傅量得零件各边尺寸:AD=4,AB=3,BD=5,DC=12 , BC=13,这个零件符合要求吗?

挑战自我,勇攀高分

1.如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC的三个顶点均在格点上,请按要求完成下列各题:

(1)画线段AD∥BC且使AD =BC,连接CD;

(2)线段AC的长为 ,CD的长为 ,AD的长为 ;

(3)△ACD为 三角形,四边形ABCD的面积为 ;

12.如图,E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点,且AB=4,CE=

BC,F为CD 的中点,连接AF、AE,问△

AEF是什么三角形?请说明理由。

知识点三:互逆命题与互逆定理 ____________________________________________________________________________________________ 10

人生因拼搏而精彩,请珍惜光阴,把握自我!

____________________________________________________________________________________________ 例1:下列句子是命题的是( )

A.画∠AOB=45° B.小于直角的角是锐角吗?

C.连结CD D. 三角形内角和等于90°

例2:写出下列各命题的逆命题

(1)如果|a|=|b|,那么a=b

(2)同位角相等

(3)等边三角形的三个角都是60°

例3:写出下列各命题的逆命题并判断原命题和逆命题的真假

(1)如果|a|=|b|,那么a=b

(2)同位角相等

(3)等边三角形的三个角都是60°

挑战自我,勇攀高分

1.仔细阅读表中的四个命题并填表:

2.说出下列命题的逆命题:

____________________________________________________________________________________________ 11

人生因拼搏而精彩,请珍惜光阴,把握自我!

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(1)如果一个三角形是直角三角形,那么它的两个锐角互余。

(2)等边三角形的每个角都等于60°。

(3)全等三角形的对应角相等。

(4)如果a=b,那么a3=b3。

(5)全等三角形的面积相等。

3.说出下列命题的逆命题,并判断逆命题的真假:

(1)两直线平行,内错角相等。

(2)全等三角形的对应角相等。

(3)全等三角形的对应边相等。

(4)关于某一条直线对称的两个三角形全等。

(5)全等三角形的面积相等。

(6)对顶角相等。

知识点四:直角三角形全等的判定

例1:已知:如图△ABC中,BD⊥AC,CE⊥AB,BD、CE交于O点,且BD=CE, 求证:OB=OC。

例2:已知:Rt△ABC中,∠ACB是直角,D是AB上一点,BD=BC,过D作AB的垂线交AC于E,求证:CD⊥BE。

____________________________________________________________________________________________ 12

人生因拼搏而精彩,请珍惜光阴,把握自我!

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例3:已知△ABC中,CD⊥AB于D,过D作DE⊥AC,F为BC中点,过F作FG⊥DC求证:DG=EG。

挑战自我,勇攀高分

1.选择:

(1)两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等,则下列四个命题中,真命题的个数是( )个

①这两个三角形全等; ②相等的角为锐角时全等

③相等的角为钝角对全等; ④相等的角为直角时全等

A.0 B.1 C.2 D.3

(2)在下列定理中假命题是( )

A.一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形

B.一个直角三角形必能分成两个等腰三角形

C.两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形

D.两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形

(3)如图,Rt△ABC中,∠B=90°,∠ACB=60°,延长BC到D,使CD=AC则AC:BD=( )

A.1:1 B.3:1 C.4:1 D.2:3

(4)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD、CE,分别是斜边AB上的高与中线,CF是∠

ACB的平分线。则∠1与∠2的关系是( )

A.∠1<∠2 B.∠1=∠2; C.∠1>∠2 D.不能确定

(5)在直角三角形ABC中,若∠C=90°,D是BC边上的一点,且AD=2CD,则∠ADB的度数是( )

A.30° B.60° C.120° D.150°

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人生因拼搏而精彩,请珍惜光阴,把握自我!

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2.解答:

(1)已知:如图∠B=∠E=90°AC=DF FB=EC 求证:AB=DE。

(2)已知:如图AB⊥BD,CD⊥BD,AB=DC求证:AD//BC。

(3)已知如图,AC⊥BC,AD⊥BD,AD=BC,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别是E、F

求证:CE=DF。

专题五:线段的垂直平分线

知识点一:线段垂直平分线的性质

例1:如图,已知:在?ABC中,?C?90?,?A?30?,BD平分?ABC交AC于D。求证:D在AB的垂直平分线上。

例2:如图,已知:在?ABC中,AB?AC,?BAC?120?,AB的垂直平分线交AB于E,交BC于F。求证:CF?2BF。

例3:如图,已知:AD平分?BAC,EF垂直平分AD,交BC延长线于F,连结AF。求证:?B??CAF。

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人生因拼搏而精彩,请珍惜光阴,把握自我!

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例4:如图,已知直线l和点A,点B,在直线l上求作一点P,使PA?PB。

挑战自我,勇攀高分

1.如图,在△ABC中,BC=8cm,AB的垂直平分线交AB于点D,交边AC于点E,△BCE的周长等于18cm,则AC的长等于( )

A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm

2.如图,在△ABC中,AB=AC, BC=12,∠BAC =120°,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N。

(1) 求△AEN的周长。

A

(2) 求∠EAN的度数。

(3) 判断△AEN的形状。

BE

3.如图,已知线段CD垂直平分线AB,AB平分?CAD问AD与BC平行吗?请说明理由。

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人生因拼搏而精彩,请珍惜光阴,把握自我!

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4.如图,已知?AOB和?AOB内两点M、N画一点P使它到?AOB的两边距离相等,且到点M和N的距离相等。

知识点二:线段垂直平分线的判定

例1:如图,?ABC中,D为BC上一点,E、F为AD上两点,若EB=EC,FB=FC,求证:AB=AC。

例2:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB边上一点,BD=BC。过点D作AB的垂线交AC于点E,CD交BE于点F。问BE垂直平分CD吗?为什么?

挑战自我,勇攀高分

1.已知点C垂直于线段AB,且CA=CB,则点C是线段AB的( )

A.中点 B.延长线上的点 C.垂线上的点 D.垂直平分线上的点

2.下列说法中错误的是( )

A.线段的对称轴是它的垂直平分线 B.线段垂线上的点到线段两端点的距离相等

C.到线段两端距离相等的点都在一条直线上

D.轴对称图形的两个对称点到对称轴的距离相等

03.如图,已知∠MON=45,角的内部有一点P,设点P关于OM的对称点为A,点P关于ON

的对称点为B,

____________________________________________________________________________________________ 1

6

人生因拼搏而精彩,请珍惜光阴,把握自我!

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(1)求证:OA⊥OB;

(2)若AB交OM于E,交ON于F,且AB=8cm,求△PEF的周长。

4.如图所示,在等边三角形ABC中,∠B、∠C的平分线交于点O,OB和OC的垂直平分线交

BC于E、F,试用你所学的知识说明BE=EF=FC的道理。

B C

5.如图,在⊿ABC中∠ACB=90o,AC=BC,D为⊿ABC形外一点且AD=BD,DE⊥AC交CA的延长线于E。求证:DE=AE+BC。

知识点三:三角形三边垂直平分线交点(外心)

例1:已知?ABC的三边的垂直平分线的交点在?ABC的边上,则?ABC的形状为( )

A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 不能确定

o例2:在△ABC中,AB﹦AC,∠A﹦120,AB的垂直平分线MN分别交BC,AB于点M、N。求

证:CM﹦2BM。

挑战自我,勇攀高分

1.如左下图,点P为△ABC三边中垂线交点,则PA________PB________PC。

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人生因拼搏而精彩,请珍惜光阴,把握自我!

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2.如右上图,在锐角三角形ABC中,∠A=50°,AC、BC的垂直平分线交于点O,则∠1_________∠2,∠3________∠4,∠5__________∠6,∠2+∠3=__________度,∠1+∠4=_______度,∠5+∠6=__________度,∠BOC=__________度。

3.如左下图,D为BC边上一点,且BC=BD+AD,则AD________DC,点D在__________的垂直平分线上

4.如右上图,在△ABC中,DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线,则∠B_________∠1,∠C__________∠2;若∠BAC=126°,则∠EAG=_________度。

06. 已知:在直角三角形ABC中,∠ACB﹦90,AC﹦BC,D为BC的中点,CE⊥AD,垂直为点

E,BF∥AC交CE的延长线于点F,

(1) 求证:AB垂直平分FD;

(2) 若AC﹦12,求DF的长。

专题4:角平分线

知识点一:角平分线的性质

____________________________________________________________________________________________ 1

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人生因拼搏而精彩,请珍惜光阴,把握自我!

____________________________________________________________________________________________ 例1:如图,已知AB∥CD,O是∠ACD,∠CAB的平分线的交点,且OE⊥AC于E点,OE=12,

求AB与CD之间的距离。

2例2:如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于E,S△ABC=90cm,AB=18cm,BC=12cm,求DE的

长。

例3:如图,AE平分∠BAC,EB⊥AB于B,EC⊥AC于C,D是AE上一点,求证:BD=CD。

挑战自我,勇攀高分

1.如图,OA平分∠BAC,OB=OC,求证:AB=AC。

2.如图,已知∠ACB=∠DEB=90°,BD平分∠ABC,ED的延长线交BC的延长线于点F,求证:AE=CF。

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人生因拼搏而精彩,请珍惜光阴,把握自我!

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3.如图,l1、l2、 l3是三条两两相交的笔直公路,先欲修建一个加油站,使它到三条公路的距离相等,这个加油站的位置共有 处。(画出来)

l1

l2

l3

4.如图, O到△ABC的三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE,若∠A=70°,求∠BOC。

知识点二:角平分线的判定

例1:如图,AD是△ABC的中线,DE⊥AB于E,DF ⊥AC于F,且BE=CF,求证:AD是∠BAC的平分线。

A

B D C

例2:如图,BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,BE、CF相交于D,且BD=CD,求证:AD平分∠BAC

20

____________________________________________________________________________________________ E

D

A E C

例3:已知△ABC的两个外角的平分线相交于点P,连接BP,求证:BP是∠ABC的平分线

B C

挑战自我,勇攀高分

1.如图,∠B=∠C=90°,M是BC的中点,DM平分∠ADC,求证:

(1)AM平分∠DAB;

(2)∠DMA=90°。

D C

A B

2.如图,已知∠CAD=∠CDA,AC=BD,E在BC上,DE=EC,求证:AD平分∠BAE。

A

B D E C

知识点三:三角形的角平分线交点(外心)

例1:三角形ABC的角平分线AD与BE交于点l求证:点l在∠ACB的角平分线上。

四.中考体验

一、选择题

1.等腰三角形ABC在直角坐标系中,底边的两端点坐标分别是(-3,m),(5,m),则能确____________________________________________________________________________________________ 21

人生因拼搏而精彩,请珍惜光阴,把握自我!

____________________________________________________________________________________________ 定的是它的( )

A.一腰的长 B. 底边的长 C.周长 D. 面积

2.已知:一等腰三角形的两边长x、y满足方程组??2x?y?3,则此等腰三角形的周长为

?3x?2y?8,

( )

A.5 B.4 C.3 D.5或4

3.如图,在Rt?ABC中,AB?AC,D、E是斜边BC上两点,且?DAE?45?,将?ADC绕点A顺时针旋转90°后,得到?AFB,连接EF,下列结论: AEAD?; BECD

③?ABC的面积等于四边形AFBD的面积; ①?AED??AEF; ②

222④BE?DC?DE; ⑤BE?DC?DE B

其中正确的是( )

A.①②④

C.①③④ E D C B.③④⑤ D.①③⑤

4.如图,矩形OABC的边OA长为2,边AB长为1,OA在数轴上,以原点O为圆心,对角线OB的长为半径画弧,交正半轴于一点,则这个点表示的实数是( )

A、2.5 B、22错误!未找到引用源。 C、 D、

5.如图,矩形ABCD的对角线AC=10,BC=8,则图中五个小矩形的周长之和为( )

A、14 B、16 C、20 D、28

6.如图所示,圆柱的底面周长为6cm,AC是底面圆的直径,高BC= 6cm,点P是母线BC

上一点且PC=2一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离BC.3

____________________________________________________________________________________________ 22

人生因拼搏而精彩,请珍惜光阴,把握自我!

____________________________________________________________________________________________

是( )

A.(4?6

?)cm B.5cm C

. D.7cm

7.如图,AB∥CD,AD平分∠BAC,且∠C=80°,则∠D的度数为( )

0 8.如图,Rt△ABC中,∠C=90,CD是AB边上的高,CE是中线,CF是∠ACB的平分线,图

中相等的锐角为一组,则共有( ) C

A、0组 B、2组

C、3组 D、4组

AB

9.如果三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上,那么这个三角形是( )

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定

二、填空题

10.等腰三角形的腰长为2,腰上的高为1,则它的底角等于___________。

11.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,E是AC中点,若DE=5,则AB的长为___________。

12.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,若BC=3,AC=4,

长是__________。

____________________________________________________________________________________________ 2

3

人生因拼搏而精彩,请珍惜光阴,把握自我! 则AB的

____________________________________________________________________________________________

13.如图,由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形,连接小正方形的三个顶点,可得到△ABC,则△ABC中BC边上的高是_____________。

14.图,直线AB、CD相交于点O,若∠BOD=40°,OA平分∠COE,则∠AOE=_________。

三、解答题

15.已知:如图所示,在△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于点D,BE平分∠ABC,且

BE⊥AC于点E,与CD相交于点F,H是BC边的中点,连接DH与BE相交于点G.

(1)求证:BF=AC

(2)猜想CE与BG的数量关系,并证明你的结论。

16.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥DC,AB=BC,且AE⊥BC。

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人生因拼搏而精彩,请珍惜光阴,把握自我!

____________________________________________________________________________________________

⑴ 求证:AD=AE;

⑵ 若AD=8,DC=4,求AB的长。

17.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠DCB=45°,CD=2,BD⊥CD.过点C作CE⊥AB于E,交对角线BD于F,点G为BC中点,连接EG、AF。 (1)求EG的长; (2)求证:CF=AB+AF。

B

G

C

18.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于E,若AC=6,BC=8,CD=3. (1)求DE的长; (2)求△ADB的面积。

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19.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于点D,过点D作DE⊥AB于点E。

(1)求证:△ACD≌△AED;

(2)若∠B=30°,CD=1,求BD的长。

五.竞赛体验

1.如图,已知Rt?ABC中,在直线BC或AC上取一点P,使得?PAB?C?90?,?A?30?,

是等腰三角形,则符合条件的点P有( )

A 2个 B 4个 C 6个 D 8个

2.如图,?ABC中,AB=BC,M、N为BC边上两点,且?BAM??CAN,MN=AN,求?MAC的度数。

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3.如图,D是等边三角形ABC的AB边延长线上一点,BD的垂直平分线HE交AC延长线于点E,那么CE与AD相等吗?试说明理由。

4.作长为25的线段。

5.一个直角三角形的边长都是整数,它的面积和周长的数值相等,这样的直角三角形是否存在?若存在,确定它三边的长;若不存在,说明理由。

六.家庭作业

一、选择题

1.一等腰三角形的两边长x、y满足方程组??2x?y?3,则此等腰三角形的周长为( )

?3x?2y?8,

A.5 B.4 C.3 D.5或4

2.如图,等腰直角三角形ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D、E是AB上的两个点,且AD=6,BE=8,

∠DCE=45°,则DE的长为

A.14 B.9

C.10 D.11 ____________________________________________________________________________________________

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3.如图.梯形ABCD中,AD∥BC、AB=CD,AC丄BD于点O,∠BAC=60°,若BC=错误!未找到引用源。,则此梯形的面积为( )

A、2

找到引用源。 B、1+3错误!未找到引用源。 C、2?6 D、2+错误!未

04.如图,△ABC的角平分线CD、BE相交于点F,且∠A=60,则∠BFC等于( )

0000 A、80 B、100 C、120 D、140

E

5.如图,△ABC中,∠1=∠2,∠3=∠4,若∠D=36,则∠C的度数为( )

0000 A、82 B、72 C、62 D、52

D

A

6.某三角形有一个外角平分线平行于三角形的一边,而这三角形另一边上的中线分周长为2∶3两部分,若这个三角形的周长为30cm,则此三角形三边长分别是( )

A、8 cm、8 cm、14cm B、12 cm、12 cm、6cm

C、8 cm、8 cm、14cm或12 cm、12 cm、6cm D、以上答案都不对

二、填空题

7.∠C=36°,∠B=72°,∠BAD=36°,AD=4,则CD=____________。

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8.如图,△ABC中,AB=AC=13,BC=10,D为BC中点,DE⊥AB于E,则DE=___________。

A

E BCD

9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D是斜边AB的中点,DE⊥AC,垂足为E,若DE=2,

CD=BE的长为___________。

10已知三角形相邻两边长分别为20cm 和30cm.第三边上的高为10cm,则此三角形的面

积为_______cm2

三、解答题

11.如图,已知,等腰Rt△OAB中,∠AOB=90o,等腰Rt△EOF中,∠EOF=90o,连结AE、

BF.

求证:(1)AE=BF;

(2)AE⊥BF。

12.如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ABC=90°,D

为AC边上中点,过D点DE丄DF,交AB于E,交BC于F,若AE=4,FC=3,求EF长。

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13.如图,ABCD是一张边AB长为2,边AD长为1的矩形纸片,沿过点B的折痕将A角

翻折,使得点A落在边CD上的点A′处,折痕交边AD于点E。

(1)求∠DA′E的大小;

(2)求△A′BE的面积。

14.如图,Rt△ABC的∠A的平分线与过斜边中点M的垂线交于点D。求证:MA=MD。

D

B

M

AC

15.在△ABC中,AB≠AC,D、E在BC上,且DE=EC,过D作DF∥BA交AE于点F,DF=AC,求证:AE平分∠BAC。

A

F

BC

00 16.如图,在△ABC中,∠B=22.5,∠C=60,AB的垂直平分线交BC于点D,BD=62,

AE⊥BC于点E,求EC的长。

A

BDEC

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017.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90,AC=BC,D为BC的中点,CE⊥AD,垂足为E,BF∥

AC交CE的延长线于点F,求证AB垂直平分DF。

C

DA

B

七.反思总结

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