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10.4 探索三角形相似的条件1

发布时间:2014-01-27 12:42:21  

10.4相似三角形的判定(1)

寄语:数学并不神秘,不是
只有天才才能学好数学,只要 通过努力,掌握适当的方法, 人人都能学会数学。

情景创设
小明用白纸遮住了3个三角形的一 部分,你能画出这3个三角形吗?

A' A D

B

(1) C

E

(2)

F

B'

(3)

C'

A' A D

B

(1)

C

E

(2)

F

B'

(3)

C'

1.如果∠B=∠E, ∠C=∠F,BC=EF,那么 图(1)与图(2)的两个三角形全等吗?为什么? 2.若∠A=∠A′,∠B=∠B′, A′B′≠AB, 那么(1)和(3)中的两个三角形相似吗?

由此得判定方法一:如果一个三角形的 两个角与另一个三角形的两个角对应相 等,那么这两个三角形相似。
几何语言: ∵∠A=∠A″,∠B=∠B″, ∴△A″B″C″∽△ABC (两角对应相等,两三角形相似)

试一试:
2、在△ABC和△A′B′C′中,∠A=50°, ∠B=∠B′=60°,∠C′=70°,△ABC与 △A′B′C′相似吗?
A

A′

B

B′ C

C′

如图,已知点D,E分别在AB,AC或它们 的延长线上,且∠1=∠2,分别指出图中 的相似三角形。
A D 2 E B 1 C B 1 D 2 C B 1 C B 1 C A E 2 A D E 2 D A

△ADE∽ △ABC △ADE∽ △ACB △ADE∽ △ACB △ADC∽ △ACB

如图,BE、CD相交于点O,CB、ED 的延长线相交于点A,∠C=∠E,则 △ACD∽ △ AEB ,△BOC ∽ △ DOE
A B D O

C

E

试一试:
如图,DE∥BC,分别交AB、AC于点D、E, △ADE与△ABC相似吗?为什么? 【变题】如图,点A、B、D与点A、C、E 分别在一条直线上,如果DE∥BC,△ADE 与△ABC相似吗?为什么?
A B D B E C D A E D A B

C E

C

由此得:平行于三角形一边的直线与其 他两边(或两边的延长线)相交,所构 成的三角形与原三角形相似. 几何语言:∵DE∥BC

∴△ADE∽△ABC

平行于三角形一边的直线和其他两边 (或两边的延长线)相交,所构成的三角 形与原三角形相似。
A D E E A B C D

见平行

想相似

B

C

两图共同点 ∵ DE∥BC ∴ △ADE ∽ △ABC

※这是两个最常见的相似三角形基本模型:

“A”型和“Z” 型

尝试1:
如图,已知直线EF与平行四边形ABCD的 两边DA,DC的延长线分别相交于点E,F,与 AB,BC分别相交于点G,H.请写出图中所有的 D A 相似三角形. E
G B H F C

△EAG∽△EDF∽△HCF∽△HBG

发散探究

过△ABC的边AB上 一点D作一条直线与另

这样的直线有几条? 一边AC相交,截得

D●

的小三角形与△ABC相 似,这样的直线有几 条?请把它们一一作



C

出来。

A D E D

A

E

B

C

作DE,使 ∠AED=∠C(或DE∥BC) 又∠A=∠A ∴△ADE∽△ABC

B 作DE,使 ∠AED=∠B 又∠A=∠A ∴△AED∽△ABC

C

思考:若AD=4,AB=10,AC=8,求AE的长。

尝试2:
如图,在矩形ABCD中,DE⊥AC,垂足为E, 找出图中与△ABC相似的三角形,并分别用 符

号表示出来。
D C

A

E

B

通过今天的学习,我们已经有几种方法 可以证明两个三角形相似? (1)利用定义:(涉及条件太多,一般不选用) (2)相似三角形的判定定理1: 两角对应相等,两三角形相似。 (3)平行于三角形一边的直线与其他两边 (或两边的延长线)相交,所构成的三角

形与原三角形相似.

尝试3:
如图 ?1 ? ?2 ? ?3, 则图中

4 相似三角形的组数有______.
A D 1 B 3 E 2 C

尝试4:
如图,在△ABC中,∠1=∠2=∠3,
试说明:△ABC∽△DEF.
A 1 4 D 5 B E

F 3
6 C

2

尝试5:
如图,E是正方形ABCD的边AB上的动

点,EF⊥DE交BC于点F.
(1)求证:△ADE∽△BEF;

(2)设正方形的边长
为4,AE= x ,BF= y . 请用 x 的代数式 表示 y .

试一试:
1.关于三角形相似下列叙述不正确的是 (B ) A、有一个底角对应相等的两个等腰三角形相似; B、有一个角对应相等的两个等腰三角形相似; C、所有等边三角形都相似; D、顶角对应相等的两个等腰三角形相似.

如图在△ABC与△ A’ B’ C’ 中, ∠A= ∠A’ ∠C= ∠C’则△ABC∽△ A’ B’ C’ 吗?

A’

C’

B’ A
B C


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