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第四讲 分式方程及应用

发布时间:2014-01-27 16:52:38  

第四讲 分式方程及应用

学习目标

1、学会解分式方程。

2、学会找等量关系,通过列方程解决实际问题。

一、知识回顾

知识点1、解分式方程的基本思想:

把分式方程转化为整式方程。

知识点2、解分式方程的一般步骤:

(1)在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母,化成整式方程;

(2)解这个整式方程;

(3)验根:把整式方程的根代入最简公分母,看结果是否等于零,使最简公分母等于零的根是原方程的增根,必须舍去,但对于含有字母系数的分式方程,一般不要求检验。

知识点3、列分式方程解应用题的步骤和注意事项

列分式方程解应用题的一般步骤为:

①设未知数:若把题目中要求的未知数直接用字母表示出来,则称为直接设未知数,否则称间接设未知数;

②列代数式:用含未知数的代数式把题目中有关的量表示出来,必要时作出示意图或列成表格,帮助理顺各个量之间的关系;

③列出方程:根据题目中明显的或者隐含的相等关系列出方程;

④解方程并检验;

⑤写出答案.

注意:由于列方程解应用题是对实际问题的解答,所以检验时除从数学方面进行检验外,还应考虑题目中的实际情况,凡不符合条件的一律舍去.

367+=2的解为x=___________. xx?1x?x

11?x2.若方程+3=有增根,则增根为x=___. x?22?x

xx?1?2与3. 当x=( )时,互为相反数. x?5x课前热身:1.分式方程

A.

4.解分式方程:

(1)6532; B.; C.; D. 56232?x12x1???2 (2) =1 x?33?xx?1x

10 答案:1.x=;2. x=2;3.B 4. (1)x?1 (2)x=2 9

二、 例题辨析

例1、解下列方程

14?x?2? x?33?x

4x?3x?1??(2) 2 x?4x?2x?2(1)

(1)解:

(2)解:

14?x?2?x?33?x1?2(x?3)?x?41?2x?6?x?42x?x?6?4?1x?1经检验,可知x=1,是原方程的解. 4x?3x?1??2x?4x?2x?24?(x?3)(x?2)?(x?1)(x?2)4?x2?5x?6?x2?3x?25x?3x?2?4?68x??8x??1

经检验,可知x=-1是原方程的根.

153??的根是( C ) 1?x2x?11?x

3A. x=1 B. x=-1 C. x= D. x=2 8变式练习:1、方程

2、解方程解方程x1?1?2(答案:x=-3/2)

x?2x?4

例2、m为何值时,关于x的方2mx3???程会产生增根? x?2x?4x?2

解:去分母,方程两边都乘以经X-4,得2x?4?mx?3x?6

2 若产生增根,则使最简公分母X-4=0,解得X=±2 代入上式得m=6或-4

说明:分式方程的增根,一定是使最简公分母为零的根

2

变式练习:若解分式方

A -1或-2 B 1或-2 C 1或2 D 1或-2

2xm?1x?1程产生增根,则m的值是( ) ??x?1x?xx

例3.有一项工程,若甲队单独做,恰好在规定日期内完成,若乙队单独做,则要超过规定日

期3天完成;现在先由甲、乙两队合做2天后,剩下的工程再由乙队单独做,也刚好在规定日期内完成,问规定日期是多少天?

解:设完成该工程的规定日期为x天, 根据题意得,

解得x=6,

经检验,x?6是原分式方程的根.

答:规定日期是6天.

2x??1, xx?3

变式练习:在一次军事演习中,红方装甲部队按原计划从A地向距离150km的B地的蓝方一支部队直接发起进攻,但为了迷惑蓝方,红方先向蓝方另一支部队所在的C地前进,当蓝方在B 地的部队向 C地增援后,红方在到达D地后突然转向B地进发.一举拿下了B地,这样红方比原计划多行进了90km,且实际进度每小时比原计划增加了10km,正好是原计划所用时间的达到B地,试求红方装甲部队的实际行进速度.(由于实际地形条件的限制,速度不能超过每小时50km)

解:设红方装甲部队的实际行进速度为每小时xkm,由题意得 56

1505150?90 ??x?106x

解这个方程得x?40,

经检验,x?40是原方程的解,但实际条件限制x?50,?x?40符合题意.

例4、某超级市场销售一种计算器,每个售价48元.后来,计算器的进价降低了4%,但售价未变,从而使超市销售这种计算器的利润提高了5%.这种计算器原来每个进价是

利润?100%) 多少元?(利润?售价?进价,利润率?进价

解:设这种计算器原来每个的进价为x元, 48?x48?(1?4%)x根据题意,得?100%?5%??100%. x(1?4%)x

解这个方程,得x?40.

经检验,x?40是原方程的根.

答:这种计算器原来每个的进价是40元.

变式练习:甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料.两次饲料的价格有变化,两位采购员的购货方式也不同,其中,甲每次购买1000千克,乙每次用去800元,而不管购买多少饲料.

(1)甲、乙所购饲料的平均单价各是多少?

(2)谁的购货方式更合算?

(1)设两次购买的饲料单价分别为m元/千克和n元/千克(m,n是正数,且m≠n) 1000m?1000nm?n=(元/千克), 1000?22

2mn800?2乙两次购买饲料的平均单价为=(元/千克). m?n?mn甲两次购买饲料的平均单价为

m?n2mn4mn(m?m)2

(2)甲、乙两种饲料的平均单价的差是-=- 2m?n2(m?n)2(m?n)

m2?2mn?n2?4mn(m?n)2

==, 2(m?n)2(m?n)

m?n2mn(m?n)2

由于m、n是正数,因为m≠n时,也是正数,即->0, 2m?n2(m?n)

因此乙的购买方式更合算.

三、 归纳总结

归纳1. 分式化简的基本方法

①整体代入;②巧妙变形;③引进参数;④利用倒数等,不能一一枚举。

归纳2. 分式化简的基本思路:给已知条件变形是用代入法的前提,变形的目的是化简已

知条件,可以从两个角度上来化简:

消元的角度:方程变形、非负变形------减少字母数量,方便化简

化简 结构的角度:对应、倒数、归类变形---调整关系式结构,方便化简

代入的方法多种多样,在此不可能一一列举出来,对大部分题目,观察代数式,对已知条件适当变形再代入是最适用的方法,当然也有例外,可以先化简代数式再代用条件,事办功倍。

四、拓展延伸

例1

分析:方程中的每个分式都相当于一个假分数,因此,可化为一个整数与一个简单的分数式之和。

例2、

变式练习 已知:x+y+z=3a(a≠0,且x,y,z不全相等),求

分析 本题字母多,分式复杂.若把条件写成(x-a)+(y-a)+(z-a)=0,那么题目只与x-a,y-a,z-a有关,为简化计算,可用换元法求解.

解 令x-a=u,y-a=v,z-a=w

,则分式变为

u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=0.

由于x,y,z不全相等,所以u,v,w不全为零,所以u2+v2+w2≠0,从而有

五、课后作业

1.已知

112x?3xy?2y??5,求的值. (答案:1) xyx?2xy?y

2. 若ab?1,求

3.已知

11?的值(答案:1) 221?a1?babcab1bc1ac1?,?,?,求的值.(答案:1/6) ab?ac?bca?b3b?c4a?c5

4. 已知a2+2a-1=0,求分式(

a?2a?1a?4?)?的值.(答案:1) a2?2aa2?4a?4a?2

1x2

的值.(答案:1/12) 5、已知x??3,求4xx?x2?1

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