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二次函数知识点整理

发布时间:2014-01-28 09:47:21  

二次函数知识点整理:

1.二次函数的图象特征与a,b,c及判别式b2?4ac的符号之间的关系

(1)字母a决定抛物线的形状,即开口方向和开口大小;决定二次函数有最大值或最小值。 a>0时开口向上,函数有最小值; a<0时开口向下,函数有最大值;a相同,抛物线形状相同,可通过平移、对称相互得到; a越大,开口越小.

(2)字母b、a的符号一起决定抛物线对称轴的位置. ab=0 (a≠0,b=0), 对称轴为y轴;

ab>0(a与b同号),对称轴在y轴左侧;

ab<0(a与b异号),对称轴在y轴右侧.

(3)字母c决定抛物线与y轴交点的位置.

c=0, 抛物线经过原点;

c>0,抛物线与y轴正半轴相交;

c<0,抛物线与y轴负半轴相交.

(4)b2?4ac决定抛物线与x轴交点的个数.

b2?4ac=0,抛物线与x轴有唯一交点(顶点);

b2?4ac>0抛物线与x轴有两个不同的交点;

b2?4ac<0抛物线与x轴无交点.

2.任意抛物线y?a?x?h?2?k都可以由抛物线y?ax2经过平移得到,具体平移方法如下:

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【注意】 二次函数图象间的平移,可看作是顶点间的平移,因此只要掌握了顶点是如何平移的,就掌握了二次函数间的平移. 二次函数图象间对称变换也是同样的道理.

3.用待定系数法求二次函数的解析式

确定二次函数的解析式一般需要三个独立条件,根据不同条件选不同的设法:

(1)设一般式:y?ax2?bx?c(a,b,c为常数、a≠0)

若已知条件是图象上的三点,将已知条件代入所设一般

式,求出a,b,c的值

(2)设顶点式:y?a?x?h?2?k(a,h,k为常数,a≠0)

若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值

(或最小值),将已知条件代入所设顶点式,求出待定系

数,最后将解析式化为一般形式.

(3)设双根式:y?a?x?x1??x?x2?(a≠0,a、x1、x2为常数)

若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为

2

?x1,0??x2,0?,将第三点(m,n)的坐标(其中m,n为已知数)或其他已知条件代入所设双根式,求出待定系数a,最后将解析式化为一般形式.

4. 二次函数y?ax2?bx?c(a≠0)与一元二次方程ax2?bx?c?0的关系

(1)二次函数y?ax2?bx?c(a≠0)中,当y=0时,就变成了一元二次方程ax2?bx?c?0

(2)一元二次方程ax2?bx?c?0的根就是二次函数y?ax2?bx?c的图象与x轴交点的横坐标.

(3)二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程根的个数一致.

2(4)在它俩的关系中,判别式△=b?4ac起着重要作用.

二次函数的图象与x轴有两个交点?对应方程的△>0 二次函数的图象与x轴有一个交点?对应方程的△=0 二次函数的图象与x轴无交点 ?对应方程的△<0 5.二次函数应用 包括两方面

(1)用二次函数表示实际问题中变量之间的关系;

(2)用二次函数解决最大化问题即最值问题.

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