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代数式的求值

发布时间:2014-01-28 10:59:54  

代数式的求值

代数式包括有理式和无理式,有理式又包括整式和分式.

在限制条件下,求代数式的值或求代数式的最大(小)值在竞赛题中很常见.其限制条件可以是数值、方程(组)或不等式(组).解此类题通常要先对限制条件或待求代数式进行恒等变形,再代入求值.代数式求值问题的常用解法有:整体代入法、参数法、公式法、因式分解法等.

例题:

1.将待求式变形为已知式的表达形式

例1 已知a?b?3,那么a3?b3?9ab的值是( )

A. 3 B. 9 C. 27 D. 81

例2 若x2?x?1?0,则?x3?2x?2002?444222222例3

设a2?b2?1b2?c2?1a?b?c?ab?bc?ca?

2.先将已知式变形,再代入求值

例4

若x?y?,则x6?y6?22例5 若n满足?n?1994???1995?n??1,则?1995?n???n?1994??.

a3

?例6 若a?3a?1?0,则6a?12

例7 已知a,b,c为实数,且ab1bc1ca1abc?,?,?,则?. a?b3b?c4c?a5ab?bc?ca

3.利用乘积为零或和为零的性质

111??的值( ) abc

A. 是正数 B. 是0 C. 是负数 D. 不能确定是正数、负数和0 例8 有理数a,b,c满足下列条件:a?b?c?0且abc?0,那么

例9 已知a为正数,且a??a?a?b??b???b?1,则a?b? .

例10 已知实数a,b满足ab?a?2b?2?0,则a?b?ab

222例11 如果实数x,y满足等式2x?x?xy?2??2xy,则x?y?例12 若a,b,c是两两不等的实数,且

则abc???0, b?cc?aa?ba

?b?c?2?b?c?a?2?c?a?b?2?

4.求最值

例13 设y?x4?4x3?8x2?8x?5,其中x为任意实数,则y的取值范围是( )

A. 一切实数 B. 一切正实数

C. 一切大于或等于5的实数 D. 一切大于或等于2的实数

例14 已知x,y,z为实数,且满足??x?2y?z?6,则x2?y2?z2的最小值为. ?x?y?2z?3

5.参数法

例15 已知p?q?r?9,且pqrpx?qy?rz??? ,则x2?yzy2?zxz2?xyx?y?z

x?y??y?z??z?x??x?y?zx?y?z?x?y?z??例16 已知,且??1,则zyxxyz

x?y?z?.

6.限制条件为不等式的问题

例17 若代数式2232x?y?4x?3y?17的最小值为m,另一代数式32

11?x2?y2?x?2y?2的最大值为M,则M?m?. 23

例18 如果实数x,y满足条件y?x,x?2y?2x?y?10,4x?3y?5,则x?y? .

222例19 若实数x,y,z满足x?2y?z?5?2xy?2y?4z,则xyz?7.特殊值代入法

x2?2xy?2y?1y2?1y?1例20 已知M?为一固定值,则M? . ??22x?12y?xy?y?x?1x?1

1998x2?1999y2?2000z2

例21 已知x?y?z?0,y?z?0,且xyz?0,则? . 1998x2?1999y2?2000z2例22 a?b?c,x?y?z,M?ax?by?cz,N?az?by?cx,P?ay?bz?cx,Q?az?bx?cy,则有 ( )

A. M?P?N且M?Q?N B. N?P?M且N?Q?M

C. P?M?Q且P?N?Q D. Q?M?P且Q?N?P

习题:

x3x?a(a?0)?1.若2,则6x?x?1x?x3?1

2.当x?6,y?8时,x6?y6?2x4y2?2x2y4的值是( )

A. 1200000?254000 B. 1020000?250400

C. 1200000?250400 D. 1020000?254000

3.已知a3?a2?a?1?0,则a2008?2a2000?5a1996?4.若x?y??1,则x4?5x3y?x2y?8x2y2?xy2?5xy3?y4?5.

若x?y?z?xy?yz?zx??1,则x3?y3?z3?3xyz?6.已知m,n是整数,3m?2?5n?3,且3m?2?30,5n?3?40,则mn? . 7.

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