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仪征市2013―2014学年第一学期期末考试

发布时间:2014-01-28 11:00:46  

仪征市2013―2014学年第一学期期末考试

高二数学试卷 2014.1

一、填空题(14?5??70?)

1.命题“?x?R,x2?x?0”的否定是 2. 抛物线x=8y2的焦点坐标为 .

3.已知直线l⊥平面α,直线m?平面β,给出下列命题: ①若α∥β,则l⊥m;②若α⊥β,则l∥m;③若l∥m,则α⊥β; ④若l⊥m,则α∥β. 其中正确命题的序号是________.

4.棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上,则此球的表面积为 .

5.执行右边的程序框图6,若p=0.8,则输出的n= 6. 一组数据9.8, 9.9, 10,a, 10.2的平均数为10,则该组数据的方差为 .

7. 曲线y=2lnx在点(e,2)处的切线与y轴交点的坐标为_________.

第5题

8.在区间[?9.函数y?

??

,]上随机取一个数x,cosx的值介于0到之间的概率为__ ___. 222

1

1

?2lnx的单调减区间为___________. x

10.某棉纺厂为了了解一批棉花的质量,从中随机抽取了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标),所得数据都在区间[5,40]中,其频率分布直方图如图所示,则其抽样的100根中,有________根的棉花纤维的长度小于20mm。

11.若函数f(x)=ex-2x-a在R上有两个零点,则实数a的取值范围是________.

12.已知函数f(x)?lnx?

m

(m?R)在区间[1,e]x

上取得最小值4,则m?_ __. 13.已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交C于点D,且?2,

则椭圆C的离心率为____________.

3

-3?上可导,其图象如图,记y=f(x)的导函14.已知函数y=f(x)在定义域??2?数y=f′(x),则不等式xf′(x)≤0的解集是______ __.

- 1 -

二、解答题(第15、16每题14?,17、18每题15?,19、20每题16?)

15.设命题p:函数f(x)?lg(ax?x?21a)的定义域为R;命题q:不等式3x?9x?a对一切实数均成16

立。

(1)如果p是真命题,求实数a的取值范围;

(2)如果命题“p或q”为真命题,且“p且q”为假命题,求实数a的取值范围。

16.为了让学生了解更多“奥运会”知识,某中学举行了一次“奥运知识竞赛”,共有800名学生参加了这次竞赛. 为了解本次竞赛成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数,满分为100分)进行统计.请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表,解答下列问题:

(1)若用系统抽样的方法抽取50个样本,现将所有学生随机地编号为

000,001,002,?799, 试写出第二组第一位学生的编号;

(2)填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内) ,并作出频率分布直方图;

(3)若成绩在85.5?95.5分的学生为二等奖,问参赛学生中获得二等奖的约多少人?

- 2 -

18.(文) 请您设计一个帐篷,它下部的形状是高为1m正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如下图所示)。试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时,帐篷的体积最大?

(理)某地政府为科技兴市,欲在如图所示的矩形ABCD的非农业用地中规划出一个高科技工业园区(如图中阴影部分),形状为直角梯形QPRE(线段EQ和RP为两个底边),已知

AB?2km,BC?6km,AE?BF?4km,其中AF是以A为顶点、AD为对称轴的抛物线段.试求该高科技工业园区的最大面积.

x2y219. 已知椭圆a2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点M(0,2)是椭圆的一个顶点,△F1MF2是等

腰直角三角形.

(1)求椭圆的方程;

(2)过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点,设两直线的斜率分别为k1,k2,

?1?且k1+k2=8,证明:直线AB过定点-22. ??

- 3 -

20. 已知函数f(x)=mx2-x+lnx.

(1) 当m=-1时,求f(x)的最大值;

(2) 若在函数f(x)的定义域内存在区间D,使得该函数在区间D上为减函数,求m的取值范围;

(3) 当m>0时,若曲线C:y=f(x)在点x=1处的切线l与C有且只有一个公共点,求m的值.

仪征市2013―14学年第一学期期末考试

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高二数学试卷 2014.1 一、填空题(14?5??70?)

?1??,0?2

?x?R,x?x?01.“ 2. ?32? 3.①③ 4.3? 5.4 6. 0.02 12(0,]

2 10.30 11.(2-2ln 2,+∞) 12. ?3e 7.(0,0) 8. 3 9.

1?3

13

. 14. [0,1]∪-22

??

二、解答题(15、16每题14?,17、18每题15?,19、20每题16?)

?a?0a??a?2?ax?x??0,x?R

16?△<015.解答:(1)若命题p为真命题,则恒成立

2

3x?9x?a?a?

(2)若命题q 为真命题,则

14;

1a?(,2]

4“p或q”为真命题且“p且q”为假命题,即p,q一真一假 故。[来源:

16.解: (1)编号为016;

(2)

频率

组距

16

?

0.32

(3)在被抽到的学生中获二奖的人数是9+7=16人,占样本的比例是50,即获二等奖的概率约为32%,

所以获二等奖的人数估计为800×32%=256人。 18.(文)解:设OO1为xm,则1<x<4 由题设可得正六棱锥底面边长为:

32?(x?1)2?8?2x?x2

(单位:m)

6?

故底面正六边形的面积为:

3?(8?2x?x2)2??(8?2x?x2)42(单位:m2)

v(x)?

帐篷的体积为:

31(8?2x?x2)[(x?1)?1]?(16?12x?x3)232(单位:m3)

- 5 -

v?(x)?

求导得3(12?3x2)?2,令v(x)?0解得x1??2(舍去)x2?2

??当1?x?2时,V(x)?0,V(x)为增函数;当2?x?4时,V(x)?0,V(x)为减函数

33mx?2故当时,V(x)最大. 答:当OO1为2m时,帐篷的体积最大,最大体积为

(理)解:以A为原点,AB所在直线为x轴建立直角坐标系如图,则A(0,0),F(2,4)…(2分)

2y?ax(a?0),由4?a?22得,a?1, 由题意可设抛物线段所在抛物线的方程为

2y?x∴AF所在抛物线的方程为,…………(5分)

又E(0,4),C(2,6),∴EC所在直线的方程为y?x?4,

222PQ?x,QE?4?x,PR?4?x?xP(x,x)(0?x?2)设,则,…………(9分) 11S?(4?x2?4?x?x2)?x??x3?x2?4x(0?x?2),…………(12分) 22∴工业园区的面积

2?S??3x?x?4,令S??0得∴x?43或x??1(舍去负值) ,…………(13分)

当x变化时,S?和S的变化情况如下表: x

S?

S 44(0,)3 3+ ↑ 0 4(,2)3 - ↓ 104

极大值27

x?

由表格可知,当41041043时,S取得最大值27. 答:该高科技工业园区的最大面积27.

19. (1)因为b=2,△F1MF2是等腰直角三角形,所以c=2,所以a=22,

x2y2故椭圆的方程为8+41.(2)证明:①若直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为

x2y2??841,y=kx+m,A点坐标为(x1,y1),B点坐标为(x2,y2),联立方程得,? ??y=kx+m,

2m2-84km消去y,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,则x1+x2=-,x1x2=1+2k21+2k2

y1-2y2-2kx1+m-2kx2+m-2由题知k1+k2=x1x2=8,所以=8, x1x2

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x1+x2mk1即2k+(m-2)x1x28.所以k=4,整理得m=2k-2. m+2

1?1?故直线AB的方程为y=kx+2-2,即y=kx+2-2. ??

?1?所以直线AB过定点-22. ??

②若直线AB的斜率不存在,设直线AB的方程为x=x0,A(x0,y0),B(x0,-y0),

y0-2-y0-211x0x0=8,得x0=-2此时直线AB的方程为x=-2

?1??1?显然直线AB过点-22.综上可知,直线AB过定点22. ????

20. (1) 当m=-1时,f(x)=-x2-x+lnx,

(2x-1)(x+1)1所以f′(x)=-2x-1+x, x

11所以当0<x<2f′(x)>0,当x>2,f′(x)<0,

13?1因此当x=2f(x)max=f2=-4-ln2.(3分) ??

12mx2-x+1(2) f′(x)=2mx-1+x2mx2-x+1<0在(0,+∞)上有解. x

① m≤0显然成立;

11② m>0时,由于对称轴x=4m>0,故Δ=1-8m>0m8

1综上,m<8分)

(3) 因为f(1)=m-1,f′(1)=2m,

所以切线方程为y-m+1=2m(x-1),即y=2mx-m-1,

从而方程mx2-x+lnx=2mx-m-1在(0,+∞)上只有一解.

令g(x)=mx2-x+lnx-2mx+m+1,则

12mx2-(2m+1)x+1(2mx-1)(x-1)g′(x)=2mx-1-2m+x=(10分) xx

1所以1° m=2,g′(x)≥0,

所以y=g(x)在x∈(0,+∞)单调递增,且g(1)=0,

所以mx2-x+lnx=2mx-m-1只有一解.(12分)

11??1?2° 0<m<2x∈(0,1),g′(x)>0;x∈1,2m,g′(x)<0;x∈2m,+∞,g′(x)>0 ????

?1?由g(1)=0及函数单调性可知g2m<0, ??

1??11???2+2+因为g(x)=mxx-??m??+m+lnx+1,取x=2m,则g?m?>0.

?1?因此在2m∞方程mx2-x+lnx=2mx-m-1必有一解从而不符题意(14分) ??

11??1?3° m>2x∈02m,g′(x)>0;x∈2m1,g′(x)<0;x∈(1,+∞),g′(x)>0 ????

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1? 同理在0,2m方程mx2-x ??

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