haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 初中教育 > 初中数学初中数学

中考中的全等三角形

发布时间:2014-01-28 12:56:48  

中考中的全等三角形

利用全等三角形证明线段或角相等时各地中考的必考内容之一.下面以中考试题为例介绍全等三角形在中考中的考查.希望对同学们的学习有帮助.

一、直接要求证明全等 例1、(08湖州)如图,在△ABC中,D是BC边的中点,

F,E分别是AD及其延长线上的点,CF∥BE. 求证:△BDE≌△CDF.

分析:要证明全等要三个条件,由中点可知BD?CD,

由CF∥BE可知?DBE??DCF,?DEB?

?DFC

证明:∵D是BC的中点,

∴BD=CD

∵CF∥BE

∴?DBE??DCF,?DEB??DFC

∴ASA可知△BDE≌△CDF

二、添加条件证明全等

D 例2、(08天门)如图,已知AE=CF,∠A=∠C, 要使△ADF≌△CBE,还需添加一个条件___________

C ___________(只需写一个). 解析:在△ADF和△CBE中,由AE=CF,可知AF=CE

又因为∠A=∠C;已经有了一边一角,只要再添加一个条件就可以了如果想用SAS,只要添加AD=CB;如果想用ASA,只要添加?AFD??CEB;如果想用AAS,可以添加?D??B

评注:这是一道开放性试题,添加条件不唯一.

三、利用全等证明边和角相等

例3、(08苏州)如图,四边形ABCD的对角线AC与BD

相交于O点,?BAC??DAC,?BCA??DCA

求证:(1)?ABC≌?ADC

(2)BO?DO

分析:(1)由已知的两角相等,再加上公共边AC,由ASA可以得到;

(2)要证明BO?DO,为此可以通过?ABO≌?ADO来证明,由?ABC≌不?ADC可知AB?AD,再加上?BAC??DAC和公共边AO就可以证明了. 证明:(1)∵?BAC??DAC,?BCA??DCA AC?AC

∴根据ASA可得?ABC≌?ADC

(2)∵?ABC≌?ADC

∴AB=AD

∵?BAC??DAC

AO=AO

∴?ABO≌?ADO

∴BO=DO

四、先作图后证明

例4、(08宜昌)如图,在△ABC与△ABD中,BC=BD.

设点E是BC的中点,点F是BD的中点.

(1)请你在图中作出点E和点F;(要求用尺规作图,

保留作图痕迹,不写作法与证明)

(2)连接AE,AF.若∠ABC=∠ABD,请你证明

△ABE≌△ABF. AC D

分析:(1)找中点E、F,只要用基本作图中的线段垂直平分线的自作法就可以完成了.本

题虽然不要写作法,但为了留给大家一个实践的机会,我把作法写在这里,具

体作图留给同学们自己完成.(2)图作出来了,只要根据SAS就可以证明△ABE

≌△ABF

解:(1)能看到“分别以B,C为圆心,适当长为半径画弧,两弧交于点M、N;连接MN,

交BC于E”的痕迹;能看到用同样的方法“作出另一点F(或以B为圆心,BE为

半径画弧交BD于点F)”的痕迹.

(正确作出点E,F中的一个后,另一个只要在图上标注了大致位置也可以)

(2)∵ E,F分别是BC,BD的中点 ∴BE?11BC,BF?BD 22

∵BC=BD

∴BE?BF

∵∠ABC=∠ABD,AB=AB

∴△ABE≌△ABF.

五、有关全等的小综合题

例5、(08安徽)已知:点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等,且OB=OC.

(1)如图1,若点O在BC上,求证:AB=AC;

(2)如图2,若点O在△ABC的内部,求证:AB=AC;

(3)若点O在△ABC的外部,AB=AC成立吗?请画图表示.

Rt△OEB≌Rt△OFE,则可知∠OBE=∠OCF,由OB=OC可知

?OBC??OCB,则可得?ABC??ACB(3)要说明它不一定成立,只需画一个满足题目条件,不满足题目结论的图形就可以了.

证明:(1)过点O分别作OE⊥AB,OF⊥AC,E、F分别是垂足,

由题意知,OE=OF,OB=OC,

∴Rt△OEB≌Rt△OFC

∴∠B=∠C,

∴AB=AC.

(2)过点O分别作OE⊥AB,OF⊥AC,EF分别是垂足,

由题意知,OE=OF.在Rt△OEB和Rt△OFC中,

∵OE=OF,OB=OC,

∴Rt△OEB≌Rt△OFE.

∴∠OBE=∠OCF,

又∵OB=OC

∴∠OBC=∠OCB,

∴∠ABC=∠ACD,

∴AB=AC.

解:(3)不一定成立.

(注:当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时,有AB=AC;否则,AB≠AC,如示例图3)

评注:同样的条件,由于O点的位置不同,所得到的结论也不一定尽相同.

网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com