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数列复习知识点总结

发布时间:2014-01-28 13:49:08  

老子孔子庄子教子有方 状元榜眼探花师出名门

高三数学第一轮复习——数列

一、知识梳理

数列概念

1.数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每个数称为该数列的项.

2.通项公式:如果数列an的第n,那么这个公式叫做这个数列的通项公式,即an?f(n).

3.递推公式:如果已知数列?an?的第一项(或前几项),且任何一项an与它的前一项an?1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,即an?f(an?1)或an?f(an?1,an?2),那么这个式子叫做数列?an?的递推公式. 如数列?an?中,a1?1,an?2an?1,其中an?2an?1是数列?an?的递推公式.

4.数列的前n项和与通项的公式

①Sn?a1?a2???an; ②an???S1(n?1).

?Sn?Sn?1(n?2)

5. 数列的表示方法:解析法、图像法、列举法、递推法.

6. 数列的分类:有穷数列,无穷数列;递增数列,递减数列,摆动数列,常数数列;有界数列,无界数列.

①递增数列:对于任何n?N?,均有an?1

②递减数列:对于任何n?N?,均有an?1

③摆动数列:例如: ?1,1,?1,1,?1,?.

④常数数列:例如:6,6,6,6,??.

⑤有界数列:存在正数M使?an. ?an. an?M,n?N?.

an?M. ⑥无界数列:对于任何正数M,总有项an使得

等差数列

1.等差数列的概念 如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数d,这个数列叫做等差数列,常数d称为等差数列的公差. 2.通项公式与前n项和公式

⑴通项公式an?a1?(n?1)d,a1为首项,d为公差.

?n(a1?an)1或Sn?na1?n(n?1)d. 22⑵前n项和公式Sn

3.等差中项

A叫做a与b的等差中项.

即:A是a与b的等差中项?2A?a?b?a,A,b成等差数列. 如果a,A,b成等差数列,那么

4.等差数列的判定方法

⑴定义法:an?1?an?d(n?N?,d是常数)??an?是等差数列;

⑵中项法:2an?1

⑴数列?an?an?2(n?N?)??an?是等差数列. 5.等差数列的常用性质 ?an?是等差数列,则数列?an?p?、?pan?(p

⑵在等差数列?an?中,等距离取出若干项也构成一个等差数列,即an,an?k,an?2k,an?3k,?为等差数列,公差为kd. ⑶an?am?(n?m)d;an?an?b(a,b是常数);Sn?an2?bn(a,b是常数,a?0)

⑷若m?n?p?q(m,n,p,q?N?),则am?an?ap?aq;

Sn??an?的前n项和Sn,则???是等差数列; ?n?⑸若等差数列

⑹当项数为2n(n?N?),则S偶?S奇?nd,S偶S奇?

S偶

S奇an?1an?; 当项数为2n?1(n?N?),则S奇?S偶?an,n?1. n

老子孔子庄子教子有方 状元榜眼探花师出名门

等比数列

1.等比数列的概念

如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数q(q列,常数q称为等比数列的公比.

?0),这个数列叫做等比数

2.通项公式与前n项和公式

⑴通项公式:an

?a1qn?1,a1为首项,q为公比 .

?1时,Sn?na1

⑵前n项和公式:①当q

a1(1?qn)a1?anq

?②当q?1时,Sn?.

1?q1?q

3.等比中项

如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项. 即:G是a与b的等差中项?a,

4.等比数列的判定方法 ⑴定义法:

A,b成等差数列?G2?a?b.

an?1

?q(n?N?,q?0是常数)??an?是等比数列; an

2

⑵中项法:an?1⑴数列

?an?an?2(n?N?)且an?0??an?是等比数列.

5.等比数列的常用性质

?an?是等比数列,则数列?pan?、?pan?(q?0是常数)都是等比数列;

k

⑵在等比数列?an?中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an?k,an?2k,an?3k,?为等比数列,公比为q.

⑶an

?am?qn?m(n,m?N?)

⑷若m?n

?p?q(m,n,p,q?N?),则am?an?ap?aq;

⑸若等比数列

?an?的前n项和Sn,则Sk、S2k?Sk、S3k?S2k、S4k?S3k是等比数列.

二、典型例题

A、求值类的计算题(多关于等差等比数列)

1)根据基本量求解(方程的思想)

1、已知Sn为等差数列?an?的前n项和,a4?9,a9??6,Sn?63,求n;

2、等差数列?an?中,a4?10且a3,a6,a10成等比数列,求数列?an?前20项的和S20. 3、设?an?是公比为正数的等比数列,若a1?1,a5?16,求数列?an?前7项的和.

4、已知四个实数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,首末两数之和为37,中间两数之和为36,求这四个数.

2)根据数列的性质求解(整体思想)

1、已知Sn为等差数列?an?的前n项和,a6?100,则S11? 2、设Sn、Tn分别是等差数列?an?、?an?的前n项和,3、设Sn是等差数列?an?的前n项和,若

Sn7n?2a

,则5? . ?

Tnn?3b5

a55S

?,则9?( ) a39S5

Sa2n

4、等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若n?,则n=( )

Tn3n?1bn

5、已知Sn为等差数列?an?的前n项和,Sn?m,Sm?n(n?m),则Sm?n?6、在正项等比数列?an?中,a1a5?2a3a5?a3a7?25,则a3?a5?_______。

7、已知数列?an?是等差数列,若 a4?a7?a10?17,a4?a5?a6???a12?a13?a14?77且ak?13,则

k?_________。

8、已知Sn为等比数列?an?前n项和,Sn?54,S2n?60,则S3n? .

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9、在等差数列an中,若S4?1,S8?4,则a17?a18?a19?a20的值为( )

10、在等比数列中,已知a9?a10?a(a?0),a19?a20?b,则a99?a100?11、已知?an?为等差数列,a15?8,a60?20,则a75?12、等差数列?an?中,已知SS41?,求8. S83S16

B、求数列通项公式

1) 给出前几项,求通项公式

1,0,1,0,……

1,3,6,10,15, 21,?,

3,-33,333,-3333,33333??

2)给出前n项和求通项公式

2n1、⑴Sn?2n?3n; ⑵Sn?3?1.

2、设数列?an?满足a1?3a2?3a3?…+3an?2n-1n(n?N*),求数列?an?的通项公式 3

3)给出递推公式求通项公式

a、⑴已知关系式an?1?an?f(n),可利用迭加法或迭代法;

例:已知数列?an?中,a1?2,an?an?1?2n?1(n?2),求数列?an?的通项公式; b、已知关系式an?1?an?f(n),可利用迭乘法.an?

例、已知数列?an?满足:an?(an?an?1)?(an?1?an?2)?(an?2?an?3)???(a2?a1)?a1 ann?1?(n?2),a1?2,求求数列?an?的通项公式; an?1n?1anan?1an?2aa?????3?2?a1an?1an?2an?3a2a1

c、构造新数列

1°递推关系形如“an?1?pan?q”,利用待定系数法求解

2°递推关系形如“,两边同除pn?1例、已知数列?an?中,a1?1,an?1?2an?3,求数列?an?的通项公式. 或待定系数法求解

例、

3°递推已知数列?an?中,关系形如“an?2?p?an?1?q?an”,利用待定系数法求解 例、已知数列?an?中,a1?1,a2?2,an?2?3an?1?2an,求数列?an?的通项公式. a1?1,an?1?2an?3n,求数列?an?的通项公式.

(4°递推关系形如"an?pan?1?qanan?1p,q?0),两边同除以anan?1

例2、数列?an?中,a1?2,an?1?

d、给出关于Sn和am的关系 (例1、已知数列?an?中,an?an?1?2anan?1n?2),a1?2,求数列?an?的通项公式. 2an(n?N?),求数列?an?的通项公式. 4?an

nn例1、设数列?an?的前n项和为Sn,已知a1?a,an?1?Sn?3(n?N?),设bn?Sn?3,

求数列?bn?的通项公式.

2例2、设Sn是数列?an?的前n项和,a1?1,Sn?an?Sn?

⑴求?an?的通项; ⑵设bn???1??(n?2). 2?Sn,求数列?bn?的前n项和Tn. 2n?1

C、证明数列是等差或等比数列

1)证明数列等差

老子孔子庄子教子有方 状元榜眼探花师出名门

例1、已知Sn为等差数列?an?的前n项和,bn?Sn(n?N?).求证:数列?bn?是等差数列. n

11.求证:{}是等差数列; Sn2例2、已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2Sn·Sn-1=0(n≥2),a1=

2)证明数列等比

?1?例1、设{an}是等差数列,bn=??,求证:数列{bn}是等比数列; ?2?

n例2、设Sn为数列?an?的前n项和,已知ban?2??b?1?Sn

n?1⑴证明:当b?2时,an?n?2是等比数列;⑵求?an?的通项公式 an??

例3、已知数列?an?满足a1?1,a2?3,an?2?3an?1?2an(n?N). *

⑴证明:数列?an?1?an?是等比数列;⑵求数列?an?的通项公式;

⑶若数列?bn?满足4142...4nb?1b?1b?1?(an?1)bn(n?N*),证明?bn?是等差数列.

D、求数列的前n项和

基本方法:

1)公式法,

2)拆解求和法.

例1、求数列{2?2n?3}的前n项和Sn.

例2、求数列123,?,(n?n1

214181),?的前n项和Sn. 2n

例3、求和:2×5+3×6+4×7+?+n(n+3)

2)裂项相消法,数列的常见拆项有:11111?(?);??1?n; n(n?k)knn?kn?n?1

111例1、求和:S=1+ ????1?21?2?31?2?3???n

1111例2、求和:. ?????2?13?24?3n?1?n

x2

例、设f(x)?,求: 1?x2

⑴f()?f()?f()?f(2)?f(3)?f(4); )?f()???f(⑵f()?f()?f(2)???f(2009)?f(2010). 3)倒序相加法, 4)错位相减法,

n例、若数列?an?的通项an?(2n?1)?3,求此数列的前n项和Sn.

5)对于数列等差和等比混合数列分组求和

2例、已知数列{an}的前n项和Sn=12n-n,求数列{|an|}的前n项和Tn.

E、数列单调性最值问题

例1、数列?an?中,an?2n?49,当数列?an?的前n项和Sn取得最小值时,n?例2、已知Sn为等差数列?an?的前n项和,a1?25,a4?16.当n为何值时,Sn取得最大值; 例3、数列?an?中,an?3n?28n?1,求an取最小值时n的值. 2

例4、数列?an?中,an?n?

nn2?2,求数列?an?的最大项和最小项. n*例5、设数列?an?的前n项和为Sn.已知a1?a,an?1?Sn?3,n?N. *(Ⅰ)设bn?Sn?3,求数列?bn?的通项公式;(Ⅱ)若an?1≥an,n?N,求a的取值范围.

例6、已知Sn为数列?an?的前n项和,a1?3,SnSn?1?2an(n?2).

老子孔子庄子教子有方 状元榜眼探花师出名门 ⑴求数列an的通项公式;

⑵数列?an?中是否存在正整数k,使得不等式ak?ak?1对任意不小于k的正整数都成立?若存在,求最小的正整数k,若不存在,说明理由.

例7、非等比数列{an}中,前n项和Sn??(an?1)2,

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设bn?

141m(n?N*),Tn?b1?b2???bn,是否存在最大的整数m,使得对任意的n均有Tn?总成n(3?an)32立?若存在,求出m;若不存在,请说明理由。

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