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中考数学几何图形旋转试题经典问题及解答

发布时间:2014-01-29 09:45:59  

中考数学几何图形旋转典型试题

一、填空题

1.(日照市)如图1,把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′,则它们的公共部分的面积等于 .

2.(成都市)如图2,将一块斜边长为12cm,∠B=60°的直角三角板ABC,绕点C沿逆时针方向旋转90°至△A′B′C′的位置,再沿CB向右平移,使点B′刚好落在斜边AB上,那么此三角板向右平移的距离是 cm.

3.(连云港市)正△ABC的边长为3cm,边长为1cm的正△RPQ的顶点R

与点A重合,点P,Q分别在AC,AB上,将△RPQ沿着边AB,BC,CA顺时针

连续翻转(如图3所示),直至点P第一次回到原来的位置,则点P运动路径

的长为 cm.

4.(泰州市)如图4,直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,BC=

3,∠BCD=45°,将腰CD以点D为中心逆时针旋转90°至ED,连结AE,CE,

则△ADE的面积是 .

二、解答题

5.(资阳市)如图5-1,已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合),PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F.

(1) 求证:BP=DP;

(2) 如图5-2,若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转,在旋转过程中是否总有BP=DP?若是,请给予证明;若不是,请用反例加以说明;

(3) 试选取正方形ABCD的两个顶点,分别与四边形PECF的两个顶点连结,使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等,并证明你的结论 .

6.(武汉市)如图6-1是一个美丽的风车图案,你知道它是怎样画出来的吗?按下列步骤可画出这个风车图案:在图6-2中,先画线段OA,将线段OA平移至CB

处,得到风车

的第一个叶片F1,然后将第一个叶片OABC绕点O逆时针旋转180°得到第

二个叶片F2,再将F1、F2同时绕点O逆时针旋转90°得到第三、第四个叶

片F3、F4.根据以上过程,解答下列问题:

(1)若点A的坐标为(4,0),点C的坐标为(2,1),写出此时点B的

坐标;

(2)请你在图6-2中画出第二个叶片F2;

(3)在(1)的条件下,连接OB,由第一个叶片逆时针旋转180°得到第二个叶片的过程中,线段OB扫过的图形面积是多少?

7.如图7,在直角坐标系中,已知点P0的坐标为(1,0),将线段OP0按逆时针方向旋转45°,再将其长度伸长为OP0的2倍,得到线段OP1;又将线段OP1按逆时针方向旋转45°,长度伸长为OP1的2倍,得到线段OP2;如此下去,得到线段OP3,OP4,?,OPn(n为正整数).

(1)求点P6的坐标;

(2)求△P5OP6的面积;

(3)我们规定:把点Pn(xn,yn)(n=0,1,2,3,?)的横坐标xn、纵坐标yn都取绝对值后得到的新坐标(|xn|,|yn|)称之为点Pn的“绝对坐标”.根据图中点Pn的分布规律,请你猜想点Pn的“绝对坐标”,并写出来.

8.(台州市)把正方形ABCD绕着点A,按顺时针方向旋转得到正方形AEFG,边FG与BC交于点H(如图8).试问线段HG与线段HB相等吗?请先观察猜想,然后再证明你的猜想.

9.(浙江省)如图9-1,小明将一张矩形纸片沿对角线剪开,得到两张三角形纸片(如图9-2), 量得他们的斜边长为10cm,较小锐角为30°,再将这两张三角形纸片摆成如图9-3的形状,但点B、C、F、D在同一条直线上,且点C与点F重合(在图9-3至图9-6中统一用F表示)

图9-1 图9-2 图9-3

小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题,请你帮助解决.

(1)将图9-3中的△ABF沿BD向右平移到图9-4的位置,使点B与点F 重合,请你求出平移的距离;

(2)将图9-3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图9-5的位置,A1F交DE于点G,请你求出线段FG的长度;

(3)将图9-3中的△ABF沿直线AF翻折到图9-6的位置,AB1交DE于点H,请证明:AH﹦

DH.

图9-4 图9-5 图9-6

参考答案

一、1.

二、 2. 6-2 3.2π 4.1

5. 解:(1)解法一:在△ABP与△ADP中,利用全等可得BP=DP.

解法二:利用正方形的轴对称性,可得BP=DP.

(2)不是总成立 .

当四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转,点P旋转到BC边上时,DP>DC>BP,此时BP=DP不成立.

(3)连接BE、DF,则BE与DF始终相等.

在图1-1中,可证四边形PECF为正方形,

在△BEC与△DFC中,可证△BEC≌△DFC .

从而有 BE=DF .

6. 解:(1)B(6,1)

(2)图略

(3)线段OB扫过的图形是一个半圆.过B作BD⊥x轴于D.由(1)知B点坐标为(6,1),∴OB=OD+BD=6+1=37.∴线段OB扫过的图形面积是22222.

7. 解:(1)根据旋转规律,点P6落在y轴的负半轴,而点Pn到坐标原点的距离始终

6等于前一个点到原点距离的 倍,故其坐标为P6(0,2),即P6(0,64).

(2)由已知可得,

△P0OP1∽△P1OP2∽?∽△Pn-1OPn,

设P1(x1,y1),则y1=2sin45°=,∴.

又∵,

∴.

(3)由题意知,OP0旋转8次之后回到x轴正半轴,在这8次中,点Pn分别落在坐标象限的平分线上或x轴或y轴上,但各点绝对坐标的横、纵坐标均为非负数,因此,点Pn的坐标可分三类情况:令旋转次数为n.

①当n=8k或n=8k+4时(其中k为自然数),点Pn落在x轴上,此时,点Pn的绝对坐

n标为(2,0);

②当n=8k+1或n=8k+3或n=8k+5或n=8k+7时(其中k为自然数),点Pn落在各象限的平分线上,

此时,点Pn的绝对坐标为

. ,即

③当n=8k+2或n=8k+6时(其中k为自然数),点Pn落在y轴上,此时,点Pn的绝对

n坐标为(0,2).

8. 解:HG=HB.

证法1:连结AH(如图10).

∵四边形ABCD,AEFG都是正方形,

∴∠B=∠G=90°.

由题意,知AG=AB,又AH=AH,

∴Rt△AGH≌Rt△ABH(HL).

∴HG=HB.

证法2:连结GB(如图11).

∵四边形ABCD,AEFG都是正方形,

∴∠ABC=∠AGF=90°.

由题意知AB=AG.

∴∠AGB=∠ABG.

∴∠HGB=∠HBG.

∴HG=HB.

9. 解:(1)图形平移的距离就是线段BC的长.

∵在Rt△ABC中,斜边长为10cm,∠BAC=30°,∴BC=5cm. ∴平移的距离为5cm.(2分)

(2)∵∠A1FA=30°,∴∠GFD=60°.又∠D=30°, ∴∠FGD=90°.

在Rt△EFD中,ED=10 cm,∴ . ∵FG=cm.

(3)在△AHE与△DHB1中,∠FAB1=∠EDF=30°. ∵FD=FA,EF=FB=FB1,

∴FD-FB1=FA-FE,即AE=DB1. 又∵∠AHE=∠DHB1,∴△AHE≌△DHB1(AAS). ∴AH=DH.

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