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整数指数幂(一)

发布时间:2014-01-29 11:44:41  

温故知新 在幼儿园的时候我们就知道,给糖水加糖能使糖水 变甜,给菜汤添盐能使菜汤变咸。我们可以把这一 生活常识用数学式表达出来。设b克糖水里有a克糖, a 则原来糖水中糖的质量分数为 P1= ;

b

若加入的糖为m克,则糖水中糖的质量分数变为P2 = a+m 由上述生活现象我们可以得到不等式:
b+ m ;

对这个不等式,你能用分式的加减法进行验证吗?

a < a+m (0 < a < b , m > 0 ) b b+ m

复习回顾(正整数指数幂的运算性质)

(1) (2) (am)n = amn

aman =

am+n

. (m,n是正整数) . (m,n是正整数) . (n是正整数) . (a≠0,m,n是正整数
m>n) (n是正整数)

(3) (ab)n = anbn m-n m n a (4) a ÷a =
n

a a ? ? (5) ? ? ? n b . ?b?
n

我们还规定:

a0 =1(a≠0).
这就是说:任何不等于零的数的零次幂 都等于1.

想一想 一般地,am中指数m可以是负整数吗? 如果可以,那么负整数指数幂am表示什么? 以a3÷a5为例

当a≠0时

a3÷a5=a3-5=a-2

a 1 a ?a ? 5 ? 2 a a
3 5

3

1 ∴a-2= 2 a
一般地,当n是正整数时,a-n=

1 ( a ? 0 ) n a

我们规定

a

?n

1 ? n a

(a≠0,n是正整数)

这就是说,任何不等于零的数的-n (n 为正整数)次幂,等于这个数的n 次幂的 倒数.

(1)810÷810;

(2)10-2;

?3??? 3?

?3

?1? ?1 (4)? ? ? 10 ? 3?

0

(5) 20080 ×(-2)-2
?1

?6? ? ??1?

?2

? ?? 2?

? 1? 0 ?3 ?7?? ? ? ? 2 ? ?? ? 3.14? ? ?? 2? ? 2?

?1

想一想

1 1 ?2 3? ( ?5 ) a· a ? a ·5 ? 2 ? a ? a a a 1 1 1 ?3 ?5 ?8 ?3? ( ?5 ) a · a ? 3 ·5 ? 8 ? a ? a a a a 1 1 0 ?5 ?5 0 ? ( ?5 ) a · a ? 1· 5 ? 5 ? a ? a a a
3 ?5 3

am · an=am+n对于m,n是任意整数情形都适用

(1) (23)-2 =

8

?2

1 (2) (2×3)-3 = 6 = 3 6 1 1 -3 -3
?3

23×(-2) =

2

?6

1 1 = 2 = 64 8 1 1 = 2 6 = 64
3
3

2 ×3 =

2

3

?

=

1 216

1 = 216

整数指数幂有以下运算性质: (1)am· an=am+n (a≠0) (2)(am)n=amn (a≠0) a-3· a-9= (a-3)2=

(3)(ab)n=anbn (a,b≠0)
(4)am÷an=am-n (a≠0)

(ab)-3=
a-3÷a-5=

a a (5)( b ) ? b
n

n

n

(b≠0)

当a≠0时, a0=1。 ( 6)

a ( ) ? b
?2

例 1 计算:

(1) (a-1b2)3
?1 2 ?3 2

(2)a-2b2· (a2b-2)-3
2 2 ?1 2

(3)(a b ) ? (a b) ? (a b )

a n n ?n m n m -n ( ) ?a b (1)a ÷a =a · a ( 2) b
练习:P21

例2 下列等式是否正确?为什么?

1.下面的计算对不对,如果不对,应怎样改正? (1)(-7)0=-1 (2)(-1)-1=1 ( 3 ) a p· a-p=1(a≠0,p是正整数) 1 ?2 0 -3 (5)( ?3) ? ? (4)(x ) =1 1 9 (6)x3y-3· (x2y0)-3= 3 3
2. (a6b-4)(a-3b2)=( ) A、 a-18b-8 B、a-2b-2 C、a2b2 D、a3b-2 3. 化简ab-1(c+d)-1得( ) b a bc ? bd ac ? ad

A、 B、 C、 D、

x y

bc ? bd

b

a

ac ? ad

4.若?x ? 3? ? 2?3x ? 6? 有意义,
0 ?2

则的取值范围是 ——————。
5. 把下列结果化为只含有正整数指数的形式 (1)a2b3· (2a-1b2)3 (2)6a-1b-3÷(-3a2b-4c)

? (a ? b) ?3 (a ? b) (3) ? ( a ? b ? 0 , a ? b ? 0 ) ? ?2 0 ? ? (a ? b) (a ? b) ? ?

3 4?

例 3

计算: 1 -2 -2 0 (1)4 +4 +( ) 4 2 -3 (2)(-3) +( )-2×(-0.5)-3 3 0 1 ?1 ?4 ? 1 ? 3 ?2 ?4 ?3 7 ?3?( ) ? 4 ? ?? 2? ? ? ? ? ?2 ? .?2 ? ? 2 2 ? 2?

例4

1 ?1?若2 ? , 求x 2的值, 8
x

?2?已知2x ? 5 y ? 4 ? 0, 求4x ? 32y的值。
变式:已知 x ? 3x ? 1, 求: (1) x ? x
2
2

?1
?2

?2 ?x ? x ?3?x 4 ? x ? 4 .

1. 解关于x的方程 (x-1)|x|-1=1 分析:方程的左边是幂的形式,右边是1。 有三种情况:(1)1n=1 (2)(-1)2n=1 (3)a0=1(a≠0)

本节课学习了哪些内容? 重点掌握整数指数幂的运算法则, 注意运算顺序及符号

1. 解关于x的方程 (x-1)|x|-1=1 分析:方程的左边是幂的形式,右边是1。 有三种情况:(1)1n=1 (2)(-1)2n=1 (3)a0=1(a≠0)
4 3 2 2 x ? 9 x ? x ? 10x ? 2 2 2. 已知x -5x+1=0求 的值 2 x ?1


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